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文档简介

§2幂级数

1.幂级数的概念

2.收敛定理

3.收敛圆与收敛半径

4.收敛半径的求法

5.幂级数的运算和性质.1.幂级数的概念定义设复变函数列：---称为复变函数项级数级数的最前面n项的和---级数的部分和

.若级数(1)在D内处处收敛，其和为z的函数---级数(1)的和函数特殊情况，在级数(1)中称为幂级数.2.收敛定理同实变函数一样，复变幂级数也有所谓的收敛定理：定理1(阿贝尔(Able)定理）.证明.(2)用反证法，3.收敛圆与收敛半径由Able定理，幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况：(i)若对所有正实数都收敛，级数(3)在复平面上处处收敛。(ii)除z=0外，对所有的正实数都是发散的，这时，级数(3)在复平面上除z=0外处处发散。.显然，<否则，级数(3)将在处发散。将收敛部分染成红色，发散部分染成蓝色，逐渐变大，在c内部都是红色,逐渐变小，在c外部都是蓝色，红、蓝色不会交错。故播放.

(i)幂级数在收敛圆内部收敛，在收敛圆外部发散，在圆周上可能收敛可能发散，具体问题要具体分析。定义这个红蓝两色的分界圆周cR叫做幂级数的收敛圆；这个圆的半径R叫做幂级数的收敛半径。(ii)幂级数(3)的收敛范围是以0为中心，半径为R的圆域；幂级数(2)的收敛范围是以z0为中心,半径为R的圆域..4.收敛半径的求法定理2(比值法)证明..定理3(根值法).例1解

综上.例2求下列幂级数的收敛半径:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。.

综上该级数发散。该级数收敛，.故该级数在复平面上是处处收敛的。.5.幂级数的运算和性质

代数运算

---幂级数的加、减运算---幂级数的乘法运算.---幂级数的代换(复合)运算幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用.例3解代换.解代换

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