南京林业大学交通系统分析

§5排队论第一页，共五十八页。在一定的时间间隔内到达的车辆数，或在一定的路段上分布的车辆数，是所谓的随机变数，描述这类随机变数的统计规律用的是离散型分布§5-1交通流的统计分布特性一、离散型分布泊松分布二项分布离散分布第二页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性1.泊松分布车流密度不大，车辆之间相互影响较小，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的。(1)适用条件(2)基本公式k=0,1,2,…Pk—在计数间隔t内到达k辆车的概率λ—单位时间间隔的平均到达率，辆/st—每个计数间隔持续的时间(s)e—自然对数的底，取值2.71828第三页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性1.泊松分布(3)递推公式分布的均值M和方差D都等于(4)特征计数间隔t内平均到达的车辆数第四页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性【例5-1】设60辆车随机分布在4km长的道路上，服从泊松分布，求任意400米路段上有4辆及4辆车以上的概率。解：t=400m，λ=60/4000辆/m，m=λt=6辆第五页，共五十八页。【例5-2】Adams数值例题对某一交叉口观测数据如下第六页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性解：t=10s，λ=111/（180*10）辆/s，m=λt=0.617辆第七页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性2.二项分布车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。(1)适用条件(2)基本公式k=0,1,2,…nPk一在计数间隔t内到达k辆车的概率；λ一平均到车率(辆/s)；t一每个计数间隔持续的时间(s)n一正整数，观测间隔t内可能到达的最大车辆数。p=λt/n一辆车到达的概率

第八页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性2.二项分布(3)递推公式均值方差(4)特征D<M第九页，共五十八页。车流到达的统计规律除了可用计数分布来描述外，还可用车头时距分布来描述，这种分布属于连续型分布。§5-1交通流的统计分布特性二、连续型分布负指数分布移位负指数分布连续分布第十页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布，它常与计数的泊松分布相对应，若车辆到达符合泊松分布，则车头时距就是负指数分布。(1)适用条件第十一页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布(2)基本公式

式中，P(h>t)—到达的车头时距h大于t秒的概率。

λ—车流的平均到达率(辆/s)。第十二页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性【例5-3】对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于10s的概率。解：车头时距大于10s的概率也就是10s以内无车的概率。

由λ=360/3600=0.1辆/s

同样，车头时距小于或等于10s的概率为：第十三页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性1.负指数分布由上例可见，设车流的单向流量为Q（辆/h），则λ=Q/3600，于是负指数公式可改写成：负指数分布的均值M和方差D分别为：第十四页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性2.移位负指数分布适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。移位负指数分布公式:分布的均值M和方差D分别为：第十五页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性【例5-4】在一条有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h，1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少。第十六页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性解：行人横过单向行车道所需要的时间：

t=7.5/1=7.5s

因此，只有当h≥7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为：对于Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：第十七页，共五十八页。§5-1交通流的统计分布特性当Q=900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为：1h内车头时距次数为900，其中h≥7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：第十八页，共五十八页。§5-2排队论的应用一、引言1.定义：排队论是研究服务系统因“需求”拥挤而产生等待行列(即排队)的现象，以及合理协调“需求”与“服务"关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称"随机服务系统理论"。【食堂、医院、超市、银行、买火车票等等】第十九页，共五十八页。§5-2排队论的应用一、引言2．发展：1905年：丹麦爱尔朗提出并应用于电话自动交换机设计；1936年：亚当斯用以考虑未设置交通信号交叉口的行人延误问题1951年：唐纳予以推广应用1954年：伊迪应用排队模型估计收费亭的延误摩斯柯维茨的报告中，将其应用于车辆等候交通流空档的实验报告。

第二十页，共五十八页。§5-2排队论的应用一、引言3．应用：研究排队论实质上是解决最优化问题，在交通设计和管理方面有动态优化和静态优化动态优化：是指排队系统的运营，也就是按什么方式接收服务，常见的例子有：行人管理、交通信号控制、对车行道上延滞的处理静态优化：是指合理的设计方案，比如：高速公路收费口的设计、地上地下停车场的设计、加油站的设计等。第二十一页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理(1)顾客：要求服务的人或物（车）。(2)服务台：为顾客服务的人或物。（交叉口、收费站）(3)排队：等待服务的顾客，不包括正在被服务的顾客。(4)排队系统：既包括了等待服务的顾客，又包括了正在被服务的顾客。1．基本概念第二十二页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理(5)队长：有排队顾客数与排队系统中顾客数之分，平均顾客数（期望值）。(7)等待时间：顾客到达时起至开始接受服务时止的这段时间。(8)逗留时间：一个顾客在系统中停留的时间。(9)忙期：服务台连续繁忙的时期。1．基本概念第二十三页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理(1)输入过程：就是指各种类型的"顾客(车辆或行人)"按怎样的规律到达。有各式各样的输入过程，例如：D—定长输入：顾客等时距到达。M—泊松输入：顾客到达时距符合负指数分布。Ek—爱尔朗输入：顾客到达时距符合爱尔朗分布。2．排队系统的组成第二十四页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理(2)排队规则：指到达的顾客按怎样的次序接受服务。例如：损失制：顾客到达时，若所有服务台均被占，该顾客就自动消失，永不再来。等待制：顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排成队伍，等待服务，服务次序有先到先服务(这是最通常的情形)和优先权服务(如急救车、消防车优先)等多种规则。混合制：顾客到达时，若队伍长小于L，就排入队伍；若队伍长大于等于L，顾客就离去，永不再来。2．排队系统的组成第二十五页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理服务次序：先到先服务（FCFS）：按顾客到达的先后次序给予服务。后到先服务（LCFS）：电梯；钢板。优先服务（PR）：按照轻重缓急给予服务，重病号/轻病号、主干路/支路。随机服务（RSS）：当一个顾客服务完了，在排队中随机取一个，电话总机。2．排队系统的组成第二十六页，共五十八页。§5-2排队论的应用二、排队论的基本原理(3)服务方式：指同一时刻多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多少时间。每次服务可以成批接待，例如公共汽车一次就装载大批乘客。D—定长分布：每一顾客的服务时间都相等；M—负指数分布：即各顾客的服务时间相互独立，服从相同的负指数分布。Ek—爱尔朗分布：即各顾客的服务时间相互独立，具有相同的爱尔朗分布。2．排队系统的组成第二十七页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理3．服务台的排列方式第二十八页，共五十八页。§5-2

排队论的应用二、排队论的基本原理4．排队模型的表示方法肯道尔(D.G.Kendall)1971年国际排队符号标准会议到达过程/服务过程/服务台数目/在系统中最大顾客数/在顾客源中顾客数/排队规则M/M/1/K/∞/FCFS第二十九页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务（收费站）μ输出输入λM/M/1系统第三十页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用主要参数：设平均到达率为λ，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/λ；设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为μ，则平均服务时间为1/μ

；比率：

称为交通强度或利用系数，由比率ρ即可确定各种状态的性质。第三十一页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用当ρ<1（即λ<μ），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当ρ≥1（即λ≥μ），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是ρ<1。例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即:1/λ=10s；1/μ=8s如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。第三十二页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）：在系统中有n个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）：在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：第三十三页，共五十八页。§5-2

排队论的应用系统中顾客数的方差：当ρ≥0.8以后，平均排队长度迅速增加，排队系统变得不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。排队系统中平均消耗时间：是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。三、M/M/1系统及其应用第三十四页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用排队中的平均等待时间：这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。第三十五页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用平均排队长度：

这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。第三十六页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用平均非零排队长度：即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。第三十七页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用系统中顾客数超过k的概率：

第三十八页，共五十八页。§5-2

排队论的应用三、M/M/1系统及其应用系统中排队等候的顾客数超过k的概率：

即系统中顾客数超过k+1的概率第三十九页，共五十八页。§5-2

排队论的应用【例5-5】某条道路上设一观测统计点，车辆到达该点是随机的，单向车流量是800辆/h，所有车辆到达该点要求停车领取OD调查卡片，假设工作人员平均能在4s内处理一辆汽车，符合负指数分布。试估计在该点上排队系统中的：平均车辆数；平均排队长度；非零平均排队长度；平均消耗时间；平均等待时间；第四十页，共五十八页。§5-2

排队论的应用

解：这是一个M/M/1系统，λ=800(辆/h),μ=1/4(辆/s)=900(辆/h)

ρ=λ/μ=0.89<1，排队系统是稳定的。系统中的平均车辆数平均排队长度非零平均排队长度系统中的平均消耗时间排队中的平均等待时间第四十一页，共五十八页。§5-2

排队论的应用【例5-6】某收费公路入口处设有一收费亭，汽车进入公路必须向收费亭交费。收费亭的收费时间服从负指数分布，平均每辆车的交费时间为7.2秒，汽车到达率为400辆/h，并服从泊松分布。求：收费人员空闲的概率；收费亭前没有车辆排队的概率；收费亭前排队长度超过12辆的概率；平均排队长度；车辆通过收费亭所花费时间的平均值；车辆的平均排队时间。第四十二页，共五十八页。§5-2排队论的应用

解：M/M/1系统，λ=400(辆/h),μ=3600/7.2=500(辆/h)

ρ=λ/μ=0.8<1，排队系统是稳定的。即系统中没有车辆的概率：P0=1-ρ=1-0.8=0.2当系统中没有车辆或只有1辆车时，便没有排队：排队超过12辆：

第四十三页，共五十八页。§5-2

排队论的应用【例5-7】修建一个服务能力为100辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，车辆到达率为60辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳6辆车，是否合适。解：λ=60（辆/h）,μ=100（辆/h）

ρ=λ/μ=0.6<1，排队系统是稳定的。进入停车场的引道长度能够容纳6辆车,如果系统中的平均车辆数小于6辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。第四十四页，共五十八页。§5-2

排队论的应用验证系统中平均车辆数超过6辆车的概率P(n＞6)，如果P(n＞6)很小，则得到“合适”的结论正确。由：验证结果表明：系统中平均车辆数超过6辆车的概率P(n＞6)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。第四十五页，共五十八页。§5-2

排队论的应用【例5-8】有一超市的收款员平均每小时服务30人，顾客平均每小时25人的速率到达。问（1）有一名顾客或更多顾客排队的平均队长？（2）欲使平均队长减少一人，服务时间要如何改进才能适应需求？解：λ=25（人/h）,μ=30（人/h）

ρ=λ/μ=0.83<1，排队系统是稳定的。（2）（1）则得到ρ=0.8，

ρ=λ/μ得到μ=31（人/h）第四十六页，共五十八页。§5-2

排队论的应用【例5-9】一无信号控制交叉口，主干道有优先通行权，即主干道的汽车通行不受次干道的影响；次干道汽车必须等候主干道汽车流中的较大的车头时距时横穿通过。两条道路上的车流到达均服从泊松分布，假设次干道的交通量为350辆/小时，次干道车辆从停车线到通过交叉口的平均服务时间为10秒，试分析交叉口的交通运行状况？车头时距停车线主干道次干道第四十七页，共五十八页。解：次干道排队车流中的第一辆汽车从停车线到通过交叉口的时间就是服务时间。由于主干道车流到达服从泊松分布，则主干道车头时距就是服从负指数分布。因此，该交叉口是一个标准的M/M/1分布。依题意得：次干道没有车辆到达的概率：第四十八页，共五十八页。次干道排队系统中的平均车辆数：车辆从到达到通过交叉口所需的平均时间：

可以看出，该交叉口是相当拥挤的，排队系统中的平均车辆数达35辆，车辆从到达到通过交叉口的平均时间为6分钟，阻塞相当严重，应采取改善措施，如拓宽次干道进口，增加进口车道数，或采取信号控制。第四十九页，共五十八页。§5-2

排队论的应用四、M/M/N系统及其应用单路排队多通道服务系统：等待服务的顾客排成一队等待数条通道服务的情况。系统保持稳定的条件是：多路排队多通道服务系统：每个