数字逻辑基础卡诺图化简

数字逻辑基础卡诺图化简第1页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2122.4逻辑函数的卡诺图化简法2.4.1最小项及最小项表达式

2.4.2用卡诺图表示逻辑函数2.4.3卡诺图化简法

2.4.4含有无关项的逻辑函数的化简

第2页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2132.4逻辑函数的卡诺图化简法

公式化简法评价：优点：变量个数不受限制。缺点：目前尚无一套完整的方法，结果是否最简有时不易判断。

利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图，是逻辑函数的图解化简法，同时它也是表示逻辑函数的一种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项，所以先讨论一下最小项及最小项表达式。

第3页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2142.4.1最小项及最小项表达式

（1）最小项

具备以上条件的乘积项共八个，我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。

设A、B、C是三个逻辑变量，若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项：①每个乘积项都只含三个因子，且每个变量都是它的一个因子；②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式出现一次，且仅出现一次。

AB是三变量函数的最小项吗？ABBC是三变量函数的最小项吗？

推广：一个变量仅有原变量和反变量两种形式，因此N个变量共有2N个最小项。第4页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/215

最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次，那么就称P是这N个变量的一个最小项。表1-17三变量最小项真值表

第5页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/216（2）最小项的性质

①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；②任意两个不同的最小项之积恒为0；③变量全部最小项之和恒为1。第6页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/217

最小项也可用“mi”

表示，下标“i”即最小项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十进制数，就是该最小项的编号。

表1-18三变量最小项的编号表

第7页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/218

（3）最小项表达式

任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的，就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例1:将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解：或：第8页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/219例2:写出三变量函数的最小项表达式。解利用摩根定律将函数变换为与或表达式，然后展开成最小项之和形式。第9页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2110练习：1：将逻辑函数展开为最小项表达式2：若最小项表达式为Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7),写出其对应的最小项与或表达式第10页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/21112.4.2用卡诺图表示逻辑函数

（1）卡诺图及其构成原则

卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是：

①N变量的卡诺图有2N个小方块（最小项）；

②最小项排列规则：几何相邻的必须逻辑相邻。

逻辑相邻：两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。

几何相邻的含义：一是相邻——紧挨的；二是相对——任一行或一列的两头；三是相重——对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中，用相重来判断某些最小项的几何相邻性，其优点是十分突出的。第11页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2112图1-11三变量卡诺图的画法

（2）卡诺图的画法首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块；②几何相邻的必须逻辑相邻：变量的取值按00、01、11、10的顺序（循环码）排列。相邻相邻第12页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2113图1-12四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻

正确认识卡诺图的“逻辑相邻”：上下相邻，左右相邻，并呈现“循环相邻”的特性，它类似于一个封闭的球面，如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。第13页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2114

（1）从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图，再按真值表填写每一个小方块的值（0或1）即可。需注意二者顺序不同。

例3：

已知Y的真值表，要求画Y的卡诺图。表1-19逻辑函数Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111图1-12例3的卡诺图第14页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2115练习：三变量表决逻辑真值表填入卡诺图ABCY00000010010001111000101111011111第15页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2116

（2）从最小项表达式画卡诺图

把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1，其余的小方块中填入0。例4：

画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。

图1-14例4的卡诺图第16页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2117

（3）从与－或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项（该乘积项就是这些最小项的的公因子）所对应的小方块都填上1，剩下的填0，就可以得到逻辑函数的卡诺图。

例5：已知，画卡诺图。第17页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/21181ABCD=01111+1ACD=101最后将剩下的填01111AB＝11熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。第18页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2119

（4）从一般形式表达式画卡诺图

先将表达式变换为与或表达式，再画出卡诺图。

第19页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2120例6：

解：（1）利用摩根定律去掉非号，直到最后得到一个与或表达式，即

（2）根据与或表达式画出卡诺图，如下图所示。第20页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2121第21页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2122

（1）卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项，可消去变量。合并两个最小项，可消去一个变量；合并四个最小项，可消去两个变量；合并八个最小项，可消去三个变量。合并2N个最小项，可消去N个变量。2.4.3卡诺图化简法

由于卡诺图两个相邻最小项中，只有一个变量取值不同，而其余的取值都相同。所以，合并相邻最小项，利用公式A+A=1，AB＋AB＝A，可以消去一个或多个变量，从而使逻辑函数得到简化。

第22页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2123图1-15两个最小项合并

m3m11BCD第23页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2124图1-16四个最小项合并

第24页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2125图1-17八个最小项合并第25页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2126（2）利用卡诺图化简逻辑函数

A．基本步骤：

①画出逻辑函数的卡诺图；②合并相邻最小项（圈组）；③从圈组写出最简与或表达式。

关键是能否正确圈组。

B．正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项；②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次，但可以圈多次；③圈的个数要最少（与项就少），并要尽可能大（消去的变量就越多）。第26页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2127

C．从圈组写最简与或表达式的方法：

①将每个圈用一个与项表示

圈内各最小项中互补的因子消去，相同的因子保留，相同因子取值为1用原变量，相同因子取值为0用反变量；

②将各与项相或，便得到最简与或表达式。第27页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2128例7：用卡诺图化简逻辑函数

Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)

解：相邻A第28页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2129相邻BCA第29页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2130BCABD第30页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2131

例8：

化简图示逻辑函数。解：多余的圈11223344第31页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2132

圈组技巧(防止多圈组的方法)：

①先圈孤立的1；

②再圈只有一种圈法的1；③最后圈大圈；④检查：每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过。第32页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2133图1-18例9卡诺图化简过程例9：化简函数解：化简步骤如下：①函数的卡诺图如图1-18所示，“0”可以不填。②画卡诺圈：如图1-18所示第33页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2134

③按消去不同、保留相同的方法写出逻辑表达式。

例10：

化简

Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)解（1）画出函数的卡诺图,如图1-19所示。（2）

按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈，如图1-19所示。（3）

写出化简后的逻辑表达式。第34页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2135

图1-19例10的卡诺图

第35页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2136卡诺图化简最简结果不一定唯一例：解1：解2：第36页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2137练习：卡诺图化简将三变量表决逻辑用卡诺图化简化简：F(A,B,C,D)=Σm（0，1，2，4，5，6，8，9，12，13，14）化简：化简：化简：第37页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/21382.4.4具有无关项的逻辑函数及其化简

①无关项的概念

对应于输入变量的某些取值下，输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项)，或者这些输入变量的取值根本不会（也不允许）出现(约束项)，通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项，在卡诺图中用符号“×”表示，在标准与或表达式中用∑d（）表示。例：当8421BCD码作为输入变量时，禁止码1010～1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。

第38页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2139

②具有无关项的逻辑函数及其化简

因为无关项的值可以根据需要取0或取1，所以在用卡诺图化简逻辑函数时，充分利用无关项，可以使逻辑函数进一步得到简化。第39页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2140

例11：设ABCD是十进制数X的二进制编码，当X≥5时输出Y为1，求Y的最简与或表达式。表1-20例11的真值表

XABCDY00

000010

001020

010030

011040

100050

101160

110170

111181

000191

0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解：列真值表，见表1-20所示。

画卡诺图并化简。

第40页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2141图1-20例11的卡诺图

充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意：当圈组后，圈内的无关项已自动取值为1，而圈外无关项自动取值为0。利用无关项化简结果为：Y＝A＋BD＋BC第41页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2142

例12：化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示无关项。图1-21例12的卡诺图

解：画函数的卡诺图并化简。结果为：Y＝CD＋CD

第42页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2143例13：

十字路口的交通信号灯,红、绿、黄灯分别用A、B、C来表示。灯亮用1来表示，灯灭用0来表示。车辆通行状态用Y来表示，停车时Y为0，通车时Y为1。用卡诺图化简此逻辑函数。解：

(1)在实际交通信号灯工作时，不可能有两个或两个以上的灯同时亮(灯全灭时,允许车辆感到安全时可以通行)。根据题目要求列出真值表，如表1-21所示。

(2)根据真值表画卡诺图，如图1-22所示。第43页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2144表1-21例13的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××第44页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2145

图1-22例13的卡诺图

(3)画卡诺圈合并最小项,其中约束项可以当作0或1,目的是要得到最简的结果。

第45页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2146练习：1：F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,7,10)+∑d(0,1,2,4,8)2：F(A,B,C,D)=∑m(2,3,7,8,11,14)+∑d(0,5,10,15)第46页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2147逻辑代数应用举例：例14：给定条件：A从来不说话；B只有A在场时才说话；C在任何情况下甚至一个人时也说话；D只有C在场时才说话。问房中没有人说话的条件。设：没人说话时，输出为1。对变量（A，B，C，D）而言，不在场时为0，在场时为1。列真值表：第47页，共53页，2023年，2月20日，星期六2023/4/2148

ABCDY0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111