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文档简介
数字逻辑基础卡诺图化简第1页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2122.4逻辑函数的卡诺图化简法2.4.1最小项及最小项表达式
2.4.2用卡诺图表示逻辑函数2.4.3卡诺图化简法
2.4.4含有无关项的逻辑函数的化简
第2页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2132.4逻辑函数的卡诺图化简法
公式化简法评价:优点:变量个数不受限制。缺点:目前尚无一套完整的方法,结果是否最简有时不易判断。
利用卡诺图可以直观而方便地化简逻辑函数。它克服了公式化简法对最终化简结果难以确定等缺点。卡诺图是按一定规则画出来的方框图,是逻辑函数的图解化简法,同时它也是表示逻辑函数的一种方法。卡诺图的基本组成单元是最小项,所以先讨论一下最小项及最小项表达式。
第3页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2142.4.1最小项及最小项表达式
(1)最小项
具备以上条件的乘积项共八个,我们称这八个乘积项为三变量A、B、C的最小项。
设A、B、C是三个逻辑变量,若由这三个逻辑变量按以下规则构成乘积项:①每个乘积项都只含三个因子,且每个变量都是它的一个因子;②每个变量都以反变量(A、B、C)或以原变量(A、B、C)的形式出现一次,且仅出现一次。
AB是三变量函数的最小项吗?ABBC是三变量函数的最小项吗?
推广:一个变量仅有原变量和反变量两种形式,因此N个变量共有2N个最小项。第4页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/215
最小项的定义:对于N个变量,如果P是一个含有N个因子的乘积项,而且每一个变量都以原变量或者反变量的形式,作为一个因子在P中出现且仅出现一次,那么就称P是这N个变量的一个最小项。表1-17三变量最小项真值表
第5页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/216(2)最小项的性质
①对于任意一个最小项,只有一组变量取值使它的值为1,而变量取其余各组值时,该最小项均为0;②任意两个不同的最小项之积恒为0;③变量全部最小项之和恒为1。第6页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/217
最小项也可用“mi”
表示,下标“i”即最小项的编号。编号方法:把最小项取值为1所对应的那一组变量取值组合当成二进制数,与其相应的十进制数,就是该最小项的编号。
表1-18三变量最小项的编号表
第7页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/218
(3)最小项表达式
任何一个逻辑函数都可以表示为最小项之和的形式——标准与或表达式。而且这种形式是惟一的,就是说一个逻辑函数只有一种最小项表达式。例1:将Y=AB+BC展开成最小项表达式。解:或:第8页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/219例2:写出三变量函数的最小项表达式。解利用摩根定律将函数变换为与或表达式,然后展开成最小项之和形式。第9页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2110练习:1:将逻辑函数展开为最小项表达式2:若最小项表达式为Y(A,B,C)=Σm(0,1,2,7),写出其对应的最小项与或表达式第10页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/21112.4.2用卡诺图表示逻辑函数
(1)卡诺图及其构成原则
卡诺图是把最小项按照一定规则排列而构成的方框图。构成卡诺图的原则是:
①N变量的卡诺图有2N个小方块(最小项);
②最小项排列规则:几何相邻的必须逻辑相邻。
逻辑相邻:两个最小项,只有一个变量的形式不同,其余的都相同。逻辑相邻的最小项可以合并。
几何相邻的含义:一是相邻——紧挨的;二是相对——任一行或一列的两头;三是相重——对折起来后位置相重。在五变量和六变量的卡诺图中,用相重来判断某些最小项的几何相邻性,其优点是十分突出的。第11页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2112图1-11三变量卡诺图的画法
(2)卡诺图的画法首先讨论三变量(A、B、C)函数卡诺图的画法。①3变量的卡诺图有23个小方块;②几何相邻的必须逻辑相邻:变量的取值按00、01、11、10的顺序(循环码)排列。相邻相邻第12页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2113图1-12四变量卡诺图的画法相邻相邻不相邻
正确认识卡诺图的“逻辑相邻”:上下相邻,左右相邻,并呈现“循环相邻”的特性,它类似于一个封闭的球面,如同展开了的世界地图一样。对角线上不相邻。第13页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2114
(1)从真值表画卡诺图根据变量个数画出卡诺图,再按真值表填写每一个小方块的值(0或1)即可。需注意二者顺序不同。
例3:
已知Y的真值表,要求画Y的卡诺图。表1-19逻辑函数Y的真值表ABCY00000011010101101001101011001111图1-12例3的卡诺图第14页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2115练习:三变量表决逻辑真值表填入卡诺图ABCY00000010010001111000101111011111第15页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2116
(2)从最小项表达式画卡诺图
把表达式中所有的最小项在对应的小方块中填入1,其余的小方块中填入0。例4:
画出函数Y(A、B、C、D)=∑m(0,3,5,7,9,12,15)的卡诺图。
图1-14例4的卡诺图第16页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2117
(3)从与-或表达式画卡诺图把每一个乘积项所包含的那些最小项(该乘积项就是这些最小项的的公因子)所对应的小方块都填上1,剩下的填0,就可以得到逻辑函数的卡诺图。
例5:已知,画卡诺图。第17页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/21181ABCD=01111+1ACD=101最后将剩下的填01111AB=11熟悉后也可以直接由表达式填卡诺图。第18页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2119
(4)从一般形式表达式画卡诺图
先将表达式变换为与或表达式,再画出卡诺图。
第19页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2120例6:
解:(1)利用摩根定律去掉非号,直到最后得到一个与或表达式,即
(2)根据与或表达式画出卡诺图,如下图所示。第20页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2121第21页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2122
(1)卡诺图中最小项合并的规律合并相邻最小项,可消去变量。合并两个最小项,可消去一个变量;合并四个最小项,可消去两个变量;合并八个最小项,可消去三个变量。合并2N个最小项,可消去N个变量。2.4.3卡诺图化简法
由于卡诺图两个相邻最小项中,只有一个变量取值不同,而其余的取值都相同。所以,合并相邻最小项,利用公式A+A=1,AB+AB=A,可以消去一个或多个变量,从而使逻辑函数得到简化。
第22页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2123图1-15两个最小项合并
m3m11BCD第23页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2124图1-16四个最小项合并
第24页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2125图1-17八个最小项合并第25页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2126(2)利用卡诺图化简逻辑函数
A.基本步骤:
①画出逻辑函数的卡诺图;②合并相邻最小项(圈组);③从圈组写出最简与或表达式。
关键是能否正确圈组。
B.正确圈组的原则①必须按2、4、8、2N的规律来圈取值为1的相邻最小项;②每个取值为1的相邻最小项至少必须圈一次,但可以圈多次;③圈的个数要最少(与项就少),并要尽可能大(消去的变量就越多)。第26页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2127
C.从圈组写最简与或表达式的方法:
①将每个圈用一个与项表示
圈内各最小项中互补的因子消去,相同的因子保留,相同因子取值为1用原变量,相同因子取值为0用反变量;
②将各与项相或,便得到最简与或表达式。第27页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2128例7:用卡诺图化简逻辑函数
Y(A、B、C、D)=∑m(0,1,2,3,4,5,6,7,8,10,11)
解:相邻A第28页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2129相邻BCA第29页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2130BCABD第30页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2131
例8:
化简图示逻辑函数。解:多余的圈11223344第31页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2132
圈组技巧(防止多圈组的方法):
①先圈孤立的1;
②再圈只有一种圈法的1;③最后圈大圈;④检查:每个圈中至少有一个1未被其它圈圈过。第32页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2133图1-18例9卡诺图化简过程例9:化简函数解:化简步骤如下:①函数的卡诺图如图1-18所示,“0”可以不填。②画卡诺圈:如图1-18所示第33页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2134
③按消去不同、保留相同的方法写出逻辑表达式。
例10:
化简
Y(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,4,5,8,10,11)解(1)画出函数的卡诺图,如图1-19所示。(2)
按合并最小项的规律可画出三个卡诺圈,如图1-19所示。(3)
写出化简后的逻辑表达式。第34页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2135
图1-19例10的卡诺图
第35页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2136卡诺图化简最简结果不一定唯一例:解1:解2:第36页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2137练习:卡诺图化简将三变量表决逻辑用卡诺图化简化简:F(A,B,C,D)=Σm(0,1,2,4,5,6,8,9,12,13,14)化简:化简:化简:第37页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/21382.4.4具有无关项的逻辑函数及其化简
①无关项的概念
对应于输入变量的某些取值下,输出函数的值可以是任意的(随意项、任意项),或者这些输入变量的取值根本不会(也不允许)出现(约束项),通常把这些输入变量取值所对应的最小项称为无关项或任意项,在卡诺图中用符号“×”表示,在标准与或表达式中用∑d()表示。例:当8421BCD码作为输入变量时,禁止码1010~1111这六种状态所对应的最小项就是无关项。
第38页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2139
②具有无关项的逻辑函数及其化简
因为无关项的值可以根据需要取0或取1,所以在用卡诺图化简逻辑函数时,充分利用无关项,可以使逻辑函数进一步得到简化。第39页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2140
例11:设ABCD是十进制数X的二进制编码,当X≥5时输出Y为1,求Y的最简与或表达式。表1-20例11的真值表
XABCDY00
000010
001020
010030
011040
100050
101160
110170
111181
000191
0011/1010×/1011×/1100×/1101×/1110×/1111×解:列真值表,见表1-20所示。
画卡诺图并化简。
第40页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2141图1-20例11的卡诺图
充分利用无关项化简后得到的结果要简单得多。注意:当圈组后,圈内的无关项已自动取值为1,而圈外无关项自动取值为0。利用无关项化简结果为:Y=A+BD+BC第41页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2142
例12:化简逻辑函数Y(A、B、C、D)=∑m(1,2,5,6,9)+∑d(10,11,12,13,14,15)式中d表示无关项。图1-21例12的卡诺图
解:画函数的卡诺图并化简。结果为:Y=CD+CD
第42页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2143例13:
十字路口的交通信号灯,红、绿、黄灯分别用A、B、C来表示。灯亮用1来表示,灯灭用0来表示。车辆通行状态用Y来表示,停车时Y为0,通车时Y为1。用卡诺图化简此逻辑函数。解:
(1)在实际交通信号灯工作时,不可能有两个或两个以上的灯同时亮(灯全灭时,允许车辆感到安全时可以通行)。根据题目要求列出真值表,如表1-21所示。
(2)根据真值表画卡诺图,如图1-22所示。第43页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2144表1-21例13的真值表ABCY000001010011100101110111101×0×××第44页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2145
图1-22例13的卡诺图
(3)画卡诺圈合并最小项,其中约束项可以当作0或1,目的是要得到最简的结果。
第45页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2146练习:1:F(A,B,C,D)=∑m(3,5,6,7,10)+∑d(0,1,2,4,8)2:F(A,B,C,D)=∑m(2,3,7,8,11,14)+∑d(0,5,10,15)第46页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2147逻辑代数应用举例:例14:给定条件:A从来不说话;B只有A在场时才说话;C在任何情况下甚至一个人时也说话;D只有C在场时才说话。问房中没有人说话的条件。设:没人说话时,输出为1。对变量(A,B,C,D)而言,不在场时为0,在场时为1。列真值表:第47页,共53页,2023年,2月20日,星期六2023/4/2148
ABCDY0000000100100011010001010110011110001001101010111100110111
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