数据拟合与最小二乘法

数据拟合与最小二乘法第1页，共17页，2023年，2月20日，星期六最小二乘原理设已知某物理过程y=f(x)在n个互异点的观测数据求一个简单的近似函数p(x)，使之“最好”地逼近f(x)，而不必满足插值原则。称函数y=p(x)为经验公式或拟合曲线。这就是曲线拟合问题。广泛用于工程中的参数标定问题。

xi

x1x2…..xnyi

y1y2…..yn第2页，共17页，2023年，2月20日，星期六多项式拟合1、直线拟合

超定方程组曲线拟合问题中的偏差：第3页，共17页，2023年，2月20日，星期六令：最小二乘原理：求出使R取最小值时的a、b

R取最小值的条件：第4页，共17页，2023年，2月20日，星期六法方程组

解法方程组，求出a、b第5页，共17页，2023年，2月20日，星期六【例1】已知：u-k观测数据，试采用Greenshields速度—密度线性模型在Matlab平台上进行数据拟合，P.22clearall;closeallx=[2030405060708090100110120

];y=[10796888673675848423829];p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,'r*',x,y1)u_f=p1(2)k_jam=-u_f/p1(1)ki

2030405060708090100110120ui

10796888673675848423829第6页，共17页，2023年，2月20日，星期六【例2】已知：u-k观测数据，试采用Greenberg速度—密度模型在Matlab平台上进行数据拟合，P.22ki

80859095100105110115120ui

323329262726.525.82422lnki4.384.444.54.554.614.654.74.744.79第7页，共17页，2023年，2月20日，星期六Greenberg速度—密度模型在Matlab平台上的数据拟合clearall;closeallx=[log(80)log(85)log(90)log(95)log(100)log(105)log(110)log(115)log(120)];y=[423937353229.523.82119];p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,'r*',x,y1)u_m=abs(p1(1))k_jam=exp(p1(2)/u_m)第8页，共17页，2023年，2月20日，星期六【例3】已知：u-k观测数据，试采用Underwood速度—密度模型在Matlab平台上进行数据拟合，P.23ki

10152025303540455055606570ui

99948985807673696462595552lnui第9页，共17页，2023年，2月20日，星期六Underwood速度—密度模型在Matlab平台上的数据拟合clearall;closeallx=[10152025303540455055606570];

y=[log(99)log(94)log(89)log(85)log(80)log(76)log(73)log(69)log(64)log(62)log(59)log(55)log(52)];p1=polyfit(x,y,1)%拟合一次多项式，返回系数向量y1=polyval(p1,x);plot(x,y,'r*',x,y1)u_f=exp(p1(2))k_jam=abs(1/p1(1))第10页，共17页，2023年，2月20日，星期六2、推广到2次多项式拟合物理过程y=f(x)为2次多项式超定方程组曲线拟合问题中的偏差：第11页，共17页，2023年，2月20日，星期六令：最小二乘原理：求出使R取最小值时的a、b、c

R取最小值的条件：第12页，共17页，2023年，2月20日，星期六法方程组

解法方程组，求出a、b、c第13页，共17页，2023年，2月20日，星期六【例4】交通事故预测模型（7-2），P.93试在Matlab平台上进行数据拟合clearall;closeallx=[05001000150020002500300035004000];y=[0.751.11.451.81.781.751.521.23];p2=polyfit(x,y,2)%拟合一次多项式，返回系数向量y2=polyval(p2,x);plot(x,y,'r*',x,y2)qi

05001000150020002500300035004000mi

0.751.11.451.81.881.751.521.23第14页，共17页，2023年，2月20日，星期六3、推广到一般多项式拟合物理过程y=f(x)为高次多项式（设为m次）考察2次多项式拟合的法方程组

第15页，共17页，2023年，2月20日，星期六写成矩阵形式为：