数字电路技术逻辑代数基础

数字电路技术逻辑代数基础第1页，共83页，2023年，2月20日，星期六几个基本概念⒈逻辑：⒉逻辑学：⒊逻辑代数：⒋逻辑状态：⒌逻辑变量：⒍逻辑函数：⒎逻辑电路：指事物的规律性和因果关系。研究思维的形式和规律的科学。逻辑学中的数学分支。在电子领域用二值变量进行描述，称布尔代数，统称逻辑代数。完全对立、截然相反的二种状态，如：好坏、美丑、真假、有无、高低、开关等。代表逻辑状态的符号，取值0和1。输出是输入条件的函数。电路的输入和输出具有一定的逻辑关系。第2页，共83页，2023年，2月20日，星期六§1基本逻辑运算一、“与”运算（逻辑乘）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件都具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“与”逻辑。打开有两把锁的自行车。打开有两个串联开关的灯。例1：例2：例3：楼道里自动感应灯。第3页，共83页，2023年，2月20日，星期六打开有两个串联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0⒉真值表全部输入条件的所有组合与输出的关系。ABF000010100111真值表例：+uABF由“与”运算的真值表可知“与”运算法则为：00=010=0

01=011=1有0出0全1为1第4页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒊表达式逻辑代数中“与”逻辑关系用“与”运算描述。“与”运算又称逻辑乘，其运算符为“”。两变量的“与”运算可表示为：

F＝AB简写为：F＝AB

读作：F等于A与B第5页，共83页，2023年，2月20日，星期六二、“或”运算（逻辑加）⒈定义：决定一个事情发生的多个条件中，有一个或以上的条件具备，事情就发生，这种逻辑关系叫“或”逻辑。打开有两个并联开关的灯。例：A+uBF第6页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒉真值表打开有两个并联开关的灯。设开关为A、B，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0ABF000011101111真值表例：由“或”运算的真值表可知“或”运算法则为：0＋0=01＋0=1

0＋1=11＋1=1有1出1全0为0第7页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒊表达式逻辑代数中“或”逻辑关系用“或”运算描述。“或”运算又称逻辑加，其运算符为“＋”。两变量的“或”运算可表示为：

F＝A＋B读作：F等于A或B第8页，共83页，2023年，2月20日，星期六三、“非”运算（逻辑非）⒈定义：某一事情的发生，取决于对另一事情的否定，这种逻辑关系叫“非”逻辑。如下电路中灯的亮灭。例：+uKF第9页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒉真值表打开上例电路中的灯。设开关为k，合上为1，断开为0；灯为F，灯亮为1，灭为0真值表例：由“非”运算的真值表可知“非”运算法则为：K F0 11 0

0

1

=10=第10页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒊表达式“非”逻辑用“非”运算描述。“非”运算又称求反运算，运算符为“－”，“非”运算可表示为：F=A 读作“F等于A非”，意思是若A＝0，则F为1；反之，若A=1,则F为0。第11页，共83页，2023年，2月20日，星期六§2逻辑代数的基本公式和规则

一、基本公式⒈基本运算与或00＝0 0＋0＝001＝0 0＋1＝110＝0 1＋0＝111＝1 1＋1＝1

1=00=1非数值与数值的关系第12页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒈基本运算（续）0A＝00＋A＝A1

A＝A1＋A＝1 变量与数值的关系0－1律A＝AAA＝AA＋A＝AA

A＝0A＋A＝1 变量与变量的关系⒉与普通代数相类似的公式A(B

＋C)＝AB＋AC, A＋BC＝(A＋B)(A＋C)

交换律结合律分配律A＋B＝B＋AA＋(B

＋C)＝(A＋B)＋C重叠律对合律、非非律第13页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒊逻辑代数的特有公式吸收律: A＋AB＝AA(A+B)＝A吸收律:

A＋AB＝A+BA(A+B)＝AB摩根定理:

A＋B＝AB AB＝A＋B包含律:

AB+AC+BC＝AB+AC(A+

B)(A+C)(B+C)=(A+

B)(A+C)尾部变换:

AB＝

AAB第14页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒋两种常用的运算

⑴异或:

AB＝AB＋

AB

⑵同或:

A⊙B＝AB＋

AB变量相异为1,反之为0变量相同为1,反之为0

A0＝A

A1＝A

A⊙0＝A

A⊙1＝A

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB第15页，共83页，2023年，2月20日，星期六？AB=ACB=C?A+B=A+CB=C?请注意与普通代数的区别！第16页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒌证明方法

真值表法：检查等式两边函数的真值表是否相等。代数法：应用已证明的公式、定理来推导。

例1证明摩根定理:

A＋B＝AB AB＝A＋B证：用真值表法证明。同理可证A＋B＝AB第17页，共83页，2023年，2月20日，星期六例2：证明

AB＝A

⊙B

A⊙B＝AB1+0＝10+0＝0110+0＝00+1＝1010+0＝01+0＝1100+1＝10+0＝000AB＋ABAB＋ABA⊙BA

BBA证：用真值表法证明。证毕第18页，共83页，2023年，2月20日，星期六证明：推广之：CAABBCCAABBCD(G+E)BCCAABBCD(G+E)CAAB+=++=+++=++1吸收吸收例3：证明包含律CAABBCAABCCAAB+=+++=第19页，共83页，2023年，2月20日，星期六二、基本规则⒈反演规则F＝(A+B)(C+D)例1：已知F＝AB＋CD，根据反演规则可得到:如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；原变量变成反变量；反变量变成原变量；所得到的新函数是原函数的反函数。即:“”,“+”,“0”,“1”,“原变量”,“反变量”“+”,“”,“1”,“0”,“反变量”,“原变量”第20页，共83页，2023年，2月20日，星期六使用反演规则时,应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变。例2：已知例3：已知长非号不变与变或时要加括号第21页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒉对偶规则如果将逻辑函数F中所有的“”变成“+”；“+”变成“”；“0”变成“1”；“1”变成“0”；则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F'。如果F'是F的对偶式，则F也是F'的对偶式，即F与F'互为对偶式。即:“”,“+”,“0”,“1”,“变量”“+”,“”,“1”,“0”,不变例:求某一函数F的对偶式时，同样要注意保持原函数的运算顺序不变。第22页，共83页，2023年，2月20日，星期六推理：若两个逻辑函数F的G相等，则其对偶式F’和G’

也相等。例:证明包含律：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证:已知AB＋AC＋BC=AB＋AC等式两边求对偶：(A+B)∙(A+C)∙(B+C)=(A+B)∙(A+C)证毕例：如则第23页，共83页，2023年，2月20日，星期六f(A1,A2,…,An)＋f(A1,A2,…,An)＝1任何一个含有变量A的逻辑等式，如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F，则等式仍然成立。例如：给定逻辑等式A(B+C)=AB+AC，若用A+BC代替A，则该等式仍然成立，即：

(A+BC)(B+C)=(A+BC)B+(A+BC)C

由式(A+A=1)，故同样有等式：⒊代入规则第24页，共83页，2023年，2月20日，星期六§3逻辑函数的化简一、逻辑函数的表达形式函数表达式：真值表：卡诺图：例：函数F=AB+ACABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0卡诺图是一种用图形描述逻辑函数的方法。010100110100011110CAB第25页，共83页，2023年，2月20日，星期六二、函数表达式⒈基本表达形式按逻辑函数表达式中乘积项的特点以及各乘积项之间的关系，可分5种一般形式。例：与或式与非－与非式与或非式或与式或非－或非式第26页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒉

最小项表达式⑴最小项及最小项表达式如果一个具有n个变量的函数的“积”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“积”项被称为最小项，也叫标准积。假如一个函数完全由最小项的和组成,那么该函数表达式称为最小项表达式。第27页，共83页，2023年，2月20日，星期六变量的各组取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1对应的最小项及其编号最小项编号例：三变量函数的最小项：编号规则:原变量取1,反变量取0。第28页，共83页，2023年，2月20日，星期六即n个变量的所有最小项之和恒等于1。所以=m2+m3+m6+m7注意：变量的顺序.=m(2,3,6,7)第29页，共83页，2023年，2月20日，星期六2）当时，。⑵最小项的性质：1）只有一组取值使mi＝1。3）全部最小项之和等于1，即∑mi＝1。第30页，共83页，2023年，2月20日，星期六最小项的性质(续)5）当函数以最小项之和形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最小项填“1”）。4）n变量的最小项有n个相邻项。一对相邻项之和可以消去一个变量。相邻项：只有一个变量不同（以相反的形式出现）。第31页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑶最小项表达式的求法一般表达式：→除非号→去括号→补因子真值表除非号去括号补因子方法第32页，共83页，2023年，2月20日，星期六用真值表求最小项表达式例：函数F=AB+ACABC F000 001 010 011 100 101 110 111 1111其余补00000第33页，共83页，2023年，2月20日，星期六由一般表达式直接写出最小项表达式例：函数F=AB+AC所以:

F=∑m(1,3,4,5)第34页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒊

最大项表达式⑴最大项及最大项表达式如果一个具有n个变量的函数的“和”项包含全部n个变量,每个变量都以原变量或反变量形式出现,且仅出现一次，则这个“和”项被称为最大项，也叫标准和。假如一个函数完全由最大项的积组成,那么该函数表达式称为最大项表达式。第35页，共83页，2023年，2月20日，星期六变量的各组取值ABC0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1对应的最大项及其编号最大项编号例：三变量函数的最大项：编号规则:原变量取0,反变量取1。第36页，共83页，2023年，2月20日，星期六所以与最小项类似，有注意：变量顺序.例如：最大项表达式:F第37页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑵最大项的性质：1）只有一组取值使Mi＝0。3）全部最大项之积等于0，即∏Mi＝0。2）当时，。第38页，共83页，2023年，2月20日，星期六最大项的性质(续)4）n变量的最大项有n个相邻项。一对相邻项之积可以消去一个变量。5）当函数以最大项之积形式表示时，可很容易列出函数及反函数的真值表（在真值表中，函数所包含的最大项填“0”）。第39页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒋两种标准形式的转换

以最小项之和的形式表示的函数可以转换成最大项之积的形式，反之亦然。=m(2,3,6,7)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)而:所以,有F(A,B,C)=∑m(2,3,6,7)=∏M(0,1,4,5)F(A,B,C)=m(0,1,4,5)同理第40页，共83页，2023年，2月20日，星期六三、逻辑函数的化简

同一个逻辑函数可以有多种表达形式，一种形式的表达式，对应一种电路，尽管它们的形式不同，但实现的逻辑功能相同，所以在实现某种函数的电路时，重要的是如何处理函数，以尽量少的单元电路、以及电路类型来达到目的。化简的意义：电路简单使用已有器件化简的方法：代数化简法（公式法）卡诺图化简法

第41页，共83页，2023年，2月20日，星期六该方法运用逻辑代数的公理、定理和规则对逻辑函数进行推导、变换而进行化简，没有固定的步骤可以遵循，主要取决于对公理、定理和规则的熟练掌握及灵活运用的程度。有时很难判定结果是否为最简。⒈代数化简法第42页，共83页，2023年，2月20日，星期六1）表达式中"与项"的个数最少；2）在满足1）的前提下,每个"与项"中的变量个数最少。解：函数表达式一般化简成与或式，其最简应满足的两个条件：第43页，共83页，2023年，2月20日，星期六第44页，共83页，2023年，2月20日，星期六例：反演被吸收被吸收配项第45页，共83页，2023年，2月20日，星期六⒉卡诺图化简法将n个输入变量的全部最小项用小方块阵列图表示，并且将逻辑相邻的最小项放在相邻的几何位置上，所得到的阵列图就是n变量的卡诺图。卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。第46页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑴变量卡诺图

二变量卡诺图（A，B）mo

m2m1

m30 101ABAB0 101mo

m1m2

m30 101BABA0 101第47页，共83页，2023年，2月20日，星期六mo

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA三变量卡诺图mo

m1m2m3m6m7

m4

m50100011110CAB0001111001BCA第48页，共83页，2023年，2月20日，星期六0001111000011110CDAB01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB四变量卡诺图第49页，共83页，2023年，2月20日，星期六五变量卡诺图000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310对称轴n≥5变量的卡诺图，可由n－1变量卡诺图在需要增加变量的方向采用镜像变换而生成。第50页，共83页，2023年，2月20日，星期六说明：⑴2个或以上变量，按循环码规则排列；⑵每个小方格对应一个最小项；⑶相邻方格的最小项，具有逻辑相邻性，即有一个变量互为反变量；⑷具有逻辑相邻性的方格有： 相接——几何相邻的方格； 相对——上下两边、左右两边的方格； 相重——多变量卡诺图，以对称轴相折叠，重在一齐的方格。逻辑相邻的最小项可以消去互补变量第51页，共83页，2023年，2月20日，星期六三变量卡诺图逻辑相邻举例0001111001BCA相接相对0001111001BCA第52页，共83页，2023年，2月20日，星期六四变量卡诺图逻辑相邻举例相接相对相对0001111000011110CDAB第53页，共83页，2023年，2月20日，星期六五变量卡诺图逻辑相邻举例000

00101101000011110CDEAB110

111101100202123221819171628293130262725241213151410119845762310相重对称轴第54页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑵函数卡诺图

用卡诺图法对逻辑函数进行化简时，首先要确定函数与卡诺图的关系，将函数用卡诺图的形式表现出来。方法真值表→填卡诺图表达式→一般与或式→填卡诺图化成最小项表达式→填卡诺图真值表、表达式、卡诺图都可以表达一个逻辑函数。第55页，共83页，2023年，2月20日，星期六由真值表填卡诺图ABC F000 0001 1010 0011 1100 1101 1110 0111 0mo

m1m2m3m6m7

m4

m50100011110CAB

0100011110CAB对应最小项填1其余补0

01

101

1

000001111001BCAmo

m1m3

m2m4

m5m7

m60001111001BCA11110000第56页，共83页，2023年，2月20日，星期六例如：01

324

5

76121315148911100001111000011110CDAB

1

1

111110001111000011110CDAB第57页，共83页，2023年，2月20日，星期六由一般与或式填卡诺图示例:三变量11

11

0001111001BCA0001111001BCA1

11

1第58页，共83页，2023年，2月20日，星期六示例:四变量0001111000011110CDAB111111111110001111000011110CDAB1111111

11第59页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑶函数的卡诺图化简方法：1）填写函数卡诺图；2）合并最小项，对邻项方格画卡诺圈（含2n方格）；3）消去互补变量，直接写出最简与或式。第60页，共83页，2023年，2月20日，星期六画圈原则：圈尽量大→消去的变量多圈尽量少→结果乘积项少要有新成份→没有冗余项使用方法：圈1→得到F原函数圈0→得到F反函数画的圈不同，结果的表达式形式可能不同，但肯定是最简的结果。圈1个格→消0个变量圈2→1圈4→2圈8→3

…………第61页，共83页，2023年，2月20日，星期六0 101AB110 101AB110 101AB111二变量卡诺图的典型合并情况第62页，共83页，2023年，2月20日，星期六0001111001BCA1111BC0001111001A1111111101BCA00011110三变量卡诺图的典型合并情况第63页，共83页，2023年，2月20日，星期六10001111000011110CDAB11111110001111000011110CDAB111111110001111000011110CDAB1111111111四变量卡诺图的典型合并情况第64页，共83页，2023年，2月20日，星期六ABCD0001111000011110不是矩形无效圈示例1第65页，共83页，2023年，2月20日，星期六无效圈示例2ABCD0001111000011111111111111101没有新变量.无效圈.第66页，共83页，2023年，2月20日，星期六ABC0001111001ABBCF=AB+BC例1：卡诺图化简第67页，共83页，2023年，2月20日，星期六F(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11,12,13,14,15)ABCD0001111000011110A例2：化简第68页，共83页，2023年，2月20日，星期六ABCD0001111000011110ABD例3：化简第69页，共83页，2023年，2月20日，星期六F(A,B,C,D)=m(0,5,7,9,10,12,13,14,15)10001111000011110CDAB11111111解：110001111000011110CDAB1111111例4：用卡诺图化简逻辑函数第70页，共83页，2023年，2月20日，星期六CD0001111000011110AB1111111110001111000011110CDAB11111不同的圈法，得到不同的最简结果

F(A,B,C,D)=m(2,3,8,9,10,12,13)例5：用卡诺图化简逻辑涵数第71页，共83页，2023年，2月20日，星期六最小项互补,即编号互为补充例6：用卡诺图把逻辑函数

F(A,B,C,D)=M(3,4,6,7,11,12,13,14,15)

化简成最简"或与"表达式。第72页，共83页，2023年，2月20日，星期六10001111000011110CDAB011001110000001原函数为0时,反函数为1.此处圈0,应理解为对反函数是圈1.第73页，共83页，2023年，2月20日，星期六⑴包含无关最小项的逻辑函数的化简无关最小项：一个逻辑函数,如果它的某些输入取值组合因受特殊原因制约而不会再现,或者虽然每种输入取值组合都可能出现,但此时函数取值为1还是为0无关紧要,那么这些输入取值组合所对应的最小项称为无关最小项。无关最小项用“d”或者“×”表示。⒊逻辑函数化简中两个实际问题的考虑无关最小项可以随意加到函数表达式中，或不加到函数表达式中，并不影响函数的实际逻辑功能。其值可以取1，也可以取0。第74页，共83页，2023年，2月20日，星期六无关最小项举例例1:十字路口红绿灯,设控制信号G=1→绿灯亮;控制信号R=1→红灯亮;则GR可以为GR=00、01、10，但GR≠11。例2:电动机正反转控制,设控制信号F=1→正传;控制信号R=1→反转;则FR可以为FR=00、01、10，但FR≠11。例3:8421BCD码中，从1010～1111的六种编码不允许出现，可视为无关最小项。第75页，共83页，2023年，2月20日，星期六ABCD F0000 d0001 d0010 d0011 10100 10101 10110 00111 01000 010