2018高考天津理科数学带答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)理科数学注意事项：.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第I卷注意事项：.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。.本卷共8小题，每小题5分，共40分。参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B).如果事件A,B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B).棱柱的体积公式V=S鼠其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高.E棱锥的体积公式V=3Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高.一.选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)设全集为R,集合A={x0<x<2},B={x|x>1},则AI(B)=R(A){x|0<x<1}(B){x0<x<1}(C){x|1<x<2} (D){x|0<x<2}x+y<5,2x—y<4, 0口(2)设变量x,y满足约束条件1 则目标函数z=3x+5y的最大值为-x+y<1，y>0,(A)6(B)19(C)21(D)45(A)6(B)19(C)21(D)45(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为20,则输出T的值为(A)1(B)2(C)3 (D)4/版:N/0J,1,1 .(4)设xgR，则“IX--1<-"是“x3<1”的乙乙(A)充分而不必要条件(B)必要而不重复条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件1(5)已知a=loge，b=ln2，c=log鼻，则a，b，c的大小关系为2 132(A)a>b>c(B)b>a>c(C)c>b>a(D)c>a>b(6)将函数y=sin(2x+5)的图象向右平移1o个单位长度，所得图象对应的函数一一、「3兀5兀 3兀(A)在区间［彳,—］上单调递增 (B)在区间［彳,兀］上单调递减

「5兀3兀 3k (C)在区间［才,--］上单调递增 ①) 「5兀3兀 3k (C)在区间［才,--］上单调递增 ①)在区间［f,2兀］上单调递减X2 V2(7)已知双曲线一一=1(〃>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交a2 b2于4B两点.设4B到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1和4，且d1+d2=6，则双曲线的方程为X2V2 X2V2(a)w一五=1⑻记-T=1 (C)X2 V2---=13 9(8)如图，在平面四边形4BCD中，AB1BC，AD1CD，/BAD=120。，AB=AD=1,若uuruur点E为边CD上的动点，则AE•BE的最小值为21 3 25(A)16 (B)2 (C)16(D)3/1第(S)联图2018年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)

数学(理工类)

第n卷注意事项：.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。.本卷共12小题，共110分。二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。6+7i(10)在(x-的展开式中,(9)1(10)在(x-的展开式中,X2的系数为

(Il)已知正方体ABCDfB£D的棱长为1,除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图)，则四棱锥M—EFGH的体积为.第(11)题图_।<2X——1+—t,(12)已知圆(12)已知圆X2+y2—2X=0的圆心为C，（t为参数）与该圆相交于A，B两点，—2+'2y—3-12则AABC的面积为 1(13)已知。,beR，且a-3b6-0，则2a十了的最小值为八“、 X2+2ax+a,x<0, 〜、(14)已知a>0，函数f(x)—\ 八若关于x的方程f(x)—ax恰有2个互异的实—x2+2ax—2a,x>0.

I数解，则a的取值范围是 .三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(15)(本小题满分13分)在AABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，仁已知bsinA—acos(B—；).6(I)求角B的大小；(II)设a=2，c=3，求b和sin(2A—B)的值.(16)(本小题满分13分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.(I)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?

（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.(17)(本小题满分13分)如图，AD//BC且AD=2BC，AD1CD,EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG1平面ABCD，DA=DC=DG=2.（I）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN1平面CDE；（II）求二面角E—BC—F的正弦值;（III）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长.AA（18）（本小题满分13分）设｛0J是等比数列，公比大于0，其前n项和为Sn（neN*），｛bn｝是等差数列.已知q=1，a-a+2，a-b+b，a=b+2b.（I）求｛an｝和｛bn｝的通项公式;（II）设数列｛Sn｝的前n项和为Tn（neN*），⑴求T；

n — —2(neN*).n+2n（ii）证明Zk-1

(T,+bk12叱(k+1)(k+2)（19）（本小题满分14分）x2 x2 5设椭圆瓦十加=">°)的左焦点为「上顶点为B.已知椭圆的离心率为T,点A的坐标为(b,0)，且但卦|AB|=60.(I)求椭圆的方程；(II)设直线l：y=kx(k>0)与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若AQ_5dAQ_5d西一丁sinZAOQ(O为原点)求k的值.(20)(本小题满分14分)已知函数f(x)=ax，g(x)=logax，其中a>1.(I)求函数h(x)=f(x)—xIna的单调区间；(II)若曲线y=f(x)在点(xi，f(x»处的切线与曲线y=g(x)在点(x2,g(x2))处的切线平行,证/、2lnlna明xi+g(x2)=-1na1(III)证明当a>ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.TOC\o"1-5"\h\z(1)B (2)C (3)B (4) A(5)D (6)A (7)C (8) A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分.(9)4- (10)5 (11)—2 12(12)1 (13)1 (14)(4,8)2 4三、解答题(15)本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力.满分13分.(I)解：在△ABC中，由正弦定理-a-=—，可得bsinA=asinB，又由sinAsinB一. 九 冗 冗bsinA=acos(B——)，得asinB=acos(B——)，即sinB=cos(B——)，可得tanB=x3.又因为6 6Bg(0,加)，可得B=-.3

n(II)解：在△ABC中，由余弦定理及a=2,c=3,B=—，有b2=a2+c2-2accosB=7,故3TOC\o"1-5"\h\zn v3由bsinA=acos(B-^),可得sinA=—=.因为a<c4v3 1sin2A=2sinAcosA= ,cos2A=2cos2A-1=—.711<33<3x11<33<3x x = 272 14所以，sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=7(16)本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.KS5U(I)解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3：2：2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人.(II)(i)解：随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.Ck-C3-kP(X=k)=43 (k=0,1,2,3).C37所以，随机变量X的分布列为(ii)解：设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人"，则A=BUC,且B与6C互斥，由(i)知，P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(BUC)=P(X=2)+P(X=1)=7-.所以，事件A发生的概率为6.(17)本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

uuuruuuruuur依题意，可以建立以D为原点，分别以DA,DC,DG的万向为x轴，y轴，z轴的正万向的(2, 0, 2),F (0, 1, 2), G (0, 0, 2),(2, 0, 2),F (0, 1, 2), G (0, 0, 2),M (0, 3,1),N(1, 0, 2).uurn-DC=0, uurn-DC=0, f2y=0,0皿 即Jn0-DE=0, 〔2x+2z=0,所以MN〃平面CDE.uuur(II)解：依题意，可得BC=(-1,0,uur umr0),BE=(1,-2,2),CF=(0,-1,2).设n=(x,y,z)为平面BCE的法向量，umrn-BC=0

umrn-BE=0，[-x=0,即｛x-2y+2z=0,不妨令z4可得一一、uur uur(I)证明：依题意DC=(0,2,0),DE=(2,0,2).设n0=(x,y,z)为平面CDE的法uuuur不妨令z=-1,可得n0=(1,0,-1).又MN=(1,uuur可得MN-n0=0，又因为直线MN亡平面CDE,设m设m=(x,y,z)为平面BCF的法向量，则《uuurm-BC=0, f-x=0,uur即| 不妨令z=1,可得m-BF=0, 〔一y+2z=0n=(0,1,1).因此有cos<m因此有cos<m,n>=ImIInI10，于是sin<m,n>=W010m=(0,2,1).mmruuurmmruuurBP-DC

umrmmr

BPDC所以，二面角E-BC-F的正弦值为00.10uur(III)解:设线段DP的长为(h£[0,2]),则点P的坐标为(0,0,h),可得BP=(-1,-2,h).一, umr易知，DC=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，故uurumrcos<BP-DC>=

由题意，可得<^=sin60°=立，解得任立£[0,2].h2+5 2 3J3所以线段DP的长为上.3(18)本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.(I)解：设等比数列ij｛an｝的公比为［.由4=1,a3=a2+2,可得q2—q—2=0.因为q>0，可得q=2，故a=2n-1.设等差数列｛b｝的公差为d，由a4=b3+4，可得%+3d=4.由a5=b4+2b6,可得3b+13d=16,从而b=1,d=1,故b=n.所以数列｛an｝的通项公式为a：2n-1,数列｛bn｝的通项公式为bn=n.c 1-2n - ,(II)(i)由(I),有S=——=2n-1,故n1—2T〉 八2义(1-2n)T="(2k—1)="2k—n= -n=2n+1—n—2TOC\o"1-5"\h\zn 1—2k=1 k=1(ii)证明：因为(T+b)b_(2k+1—k—2+k+2)k_k-2k+1 _2k+2 2k+1(k+1)(k2+2)= (k+1)(k+2) —(k+1)(k+2)―k+2-k+1所以,£(T所以,£(TJbk+2))bk=苣-刍+之—2+L+((k+1)(k+2) 3 2 4 3k=12n+2 2n+12n+2)=———2

n+2(19)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分14分.c2 5(I)解：设椭圆的焦距为2c，由已知知一=-,又由a2=b2+c2,可得2a=3b.由已知可得，a29|fb|=a,IABI=%2b，由|fb|-|ab|=6<2，可得ab=6,从而a=3,b=2.所以,椭圆的方程为,咛=1.(II)解：设点P的坐标为(%1,y1),点Q的坐标为(%2,y2).由已知有y1>y2>0,故TOC\o"1-5"\h\z|PQ|sinZAOQ=y-y.又因为|AQ|=.："，而NOAB=「，故Aq|=U%.由12 sinZOAB 4 2|A25<2,, ,面=-sin/AOQ，可得5匕=9y?.y=k%， 小6k由方程组《%2y2［消去％，可得y=1 .易知直线AB的方程为%+y2=0,由方程了+亍=1, 19kk2+4Iy=k%,组1 …%+y—2=0,2k消去％，可得y2=Ry.由5y1=9y2,可得5(k+1)=3后:4，两边平方，整理得56k2—50k+11=0，解得k=1,或k=11.2 28所以，k的值为1或11.2 28(20)本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法.考查函数与方程思想、化归思想考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力满分14分.(I)解：由已知，h(%)=a%—%lna，有h'(%)=a%Ina-Ina.令h'(%)=0，解得%=0.由a>1,可知当%变化时，h'(%),h(%)的变化情况如下表:%(—8,0)0(0,+8)h'(%)0+h(%)]极小值Z所以函数h(%)的单调递减区间(-8,0)，单调递增区间为(0,+8).(II)证明：由ff(%)=a%lna，可得曲线y=f(%)在点(%1,f(%1))处的切线斜率为a%11na.1 1由g(%)= ，可得曲线y=g(%)在点(%,g(%))处的切线斜率为 一%1na 2 2 %Ina21因为这两条切线平行，故有a%11na= ，即%a%1(1na)2=1.%Ina22

2lnlna

lna两边取以a为底的对数，得logx+x+2loglna=0，所以x+g(x)=—(III)证明：曲线y=f(x)在点3,ax1)处的切线11：y-a=ax11na-(x2lnlna

lna曲线y=g(x)在点(x2，logax2)处的切线12：y-logax211需证明当a>ee时，存在xe(-8,+8)

1，x2e(0,+8)，使得11和12重合.学*科网1即只需证明当a>ee时1a1需证明当a>ee时，存在xe(-8,+8)

1，x2e(0,+8)，使得11和12重合.学*科网1即只需证明当a>ee时1ax11na= ①x2lna有解，零点八、、.a5-xa5lna=log1x- a2lna, 1 12lnlna代入②，得ax1-xax11na+x+ +一1 1lnalna因此，只需证明当a>ee时，关于x1的方程③有实数解./、 [ 12lnlna 1设函数u(x)=ax-xaxlna+x+ + ，即要证明当a>ee时lnalnau'(x)=1一(Ina)2xax，可知xe(一8,0)时，u'(x)>0；xe(0,+s)时u'(0)=1>0，u'1(lna)2—1-=1-a(lna)2<0，故存在唯一的x0，且x0>0=0.③函数y=u(x)存在u'(x)单调递减，又使得/a。)：0,即1-(lna)2xax0=0.0由此可得u(x)在(一%x)上单调递增，在(x,+8)上单调递减.u(x)在x=x处取得极大值u(x0).1因为a>ee，故ln(lna)>-1，所以2lnlna2+2lnlna2+2lnlna八+x+ > >00lnalnau(x)=ax0

0—xax0u(x)=ax0

00 0lnalnax(lna)20下面证明存在实数K使得u(t)<0.由(I)可得ax>1+xlna，当x>，时，lna1,2lnlna 1,2lnIna有u(x)<(1+xIna)(1一xIna)+x+ + =-(lna)2x2+x+1+ +一lnalna lnalna所以存在实数K使得U(t)<01因此，当a>ee时，存在xG(-8,+8)，使得u(x)=0.1 11所以，当a>ee时，存在直线l，使l是曲线y=f(x)的切线，也是曲线y=g(x)的切线.

即sinJ?2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答L 7TtanB=J^.又因为甘£（明而），可得旧=彳.即sinJ?2018年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答L 7TtanB=J^.又因为甘£（明而），可得旧=彳.6'it-c'-litccosB7r故b,i/7.由bsinA,_,J3 2 ,,J=-j=,因为n.t；,故4=7^-为此OCOE；ff——、&数学（天烟卷•理工》答案第1位（:拉7页）绝密*启用前本题考查某本知识和基本运茸.每小题5分.耦牧的茶就关系,两的？•的正强与余弦公式-二信房的三，MM（15）.衣小遽主要茗市同危正弦与余弦公式,以及倏:£座、余弦定理等菱础知识.考隹运算求解道力.满仆13分.,由正弦定理一^二」一r可用hsdriU二仃5itiH*又由smj4si门B⑴持“F&sinArtcos|J?--J,trainZ?--选择题:U）B⑸D二.填空建：（2）C （3）BwJjZ（6）A C7JC A本题考直基本知承和基本运算.每小题5分，满分C1LJ解：在建7中.由余殖定理及。=2，。4百 1sin2J-2ainAcfkA4百 1sin2J-2ainAcfkA- ■hcns2A-2cns'A-i--.朋乩72 14P(Ar-t)-所以.司机专曰"¥的分布列为所以.琪件X01P】123535E充足的员工有1人.睡眠内是为员工在的於一有3A.睡眠不足的员，有1人”•总小建主要考者熊布抽祥、离题型随R变量的分布列与粮学期里、互斥事件的概率加法究式等堇础知识.考百达可概率幅识解决筒羊实际问题的能力,满分H分，口：解：由已如「甲、乙.内三个部门的员工人数之比为3二2二2.由于采用分层抽样的匕法#、中抽取了人，国此应从甲、乙、丙三多部门的易二中分别抽取3人，2人，W人.UI3Li）解：附机变量工的所有可能以值为0.1.2，1随机变量，的数学期望E（x）=。，宣Cii＞解e谕恭件E为“抽取的31人”；事件C为“抽取的3人中，喇则,4一方11匚,且则,4一方11匚,且E甘C互斥.n力木小趣主要考告直线与平面平打，一面世、直域与平面所成的角等基础知识，若否用空间向后癣决立休几何句庖的方.法，考音空间想象能力.罡莫求解能力和推理论证能力.满分打分.依题就•三段建立MD为原点,分别式“LDC.》的方向为X轴，F粕.T轴的正方向的空间直角坐标票Cin图只可得口（口，0.。）/（2.0,0）.5（1.2,0）,C（0,2,0）,宜(3包之).A'(0.].2],白(口.0,三).MU,gl,Af(HD,2).教学E天津卷*理工1答察第？页（打了贝）

/=（•■],、内）.易知，所=（仇2,口）为平面如反而妁一八法向量，故7 R F由SL意+口怨而「；"一一'.解得人二竿.0,引，数学（天津卷•理工》答案第/=（•■],、内）.易知，所=（仇2,口）为平面如反而妁一八法向量，故7 R F由SL意+口怨而「；"一一'.解得人二竿.0,引，数学（天津卷•理工》答案第3度f共7页》CDE.所以4/V白•注而CDE.（11）孵t依麴窟.可部成•:=（1.0,口）.血3-。.不妨令m-BC-0,m-CjF-0r（工川⑶为平面晓F的法孱因此有f（加."）三—―，「里5所以，二面♦冬日:尸的正弦值为噜士?不妨令y।2工=0.G1J>出线段U尸的长为力（匕[0.2]匕则点尸的坐标为（5仇川,可得造x（比，卜.工！为平面灰缶的汶.句瞪.刚（1）证明：俵.第意所=：0.2.0].工定=口,0.2）.设%=（父*_-.工）为平面仃加？的法时值.-小⑴!=口,即HjW口b"2v=0i.. 一，，不妨令£=-］，可得惴=0,0,-1).又2x-2:=0,,可得加/。口，又因为直蛙MV二平面所以，线段口尸的长为，一<18）本小觊主要考查等差数列的通功公式.等比数列的通项公式及其前口现和公式等基础如iR.号范威列求和的基不方法和逵算求解能力,满分门分.（［）解f设等比数列M｝的公比为g.由2=1,q=/+2,可得k—”2=0.因为tj>0-也得守=2.故七=2“a设等堂鼓列涉J的会电为4.由4=电十由.可得目十鼠=4.由③=包十电.用得3b.+1HT6串从而向一】卧d=I1!故与一九所以，甄列I%｝的通项公式为4-广'.数列｛%｝的通网父图3%<口）<i>M由（I*^«„=yy=2"-l（行）证明才因为 一为十优一43向（产「百定望外 :,卢】.一户（£+l）（A-+2） （Jt+l）（t+2）"k+2~7+T'：1加木小题=要泻古怫I剧的标淮方程和匚何性盾、立域方量等妻鼬如恨.当哲用比数方法的究限锥而续的性质，茗膏运算求箝能力.以及同方程思崽解袱问题的循订.调行U分，尸Af】］解『设牺圆的住距为左.由已知有㈢--二.又由4-方+―n肾加一动，3以,9已知可得，\AB\-^2b.±|FB|-pe|-6V2-可得4=6,从而&=W.b=l7n所以，腌圆的方程为二+乙7.9 4（U）Mi设点尸的坐标为底，尾人点Q的坐标为（三.真）.由己即有,：,无力教学f天津徐♦理工〕翳案第4应：依7页,5tH版匚i.两边平方，整理得56卜5tH版匚i.两边平方，整理得56卜?OJt+11=0,fI）解上由已知.夙*）=4令/{#）_［）,解得了一口.白".1,可女1嗯矍二岂必消"—♦由…「得导数矫究指数函.数与对数的用想.考查抽双概话能力,壕6(*0)0(Q.41»)‘元3—04岭）\极小值■产故归0M/川火?=月7「又.因为|/@=窄巾，"力H.而上HB愕|=手*而/工口D，可得5月二凯.由方程组y招-去工，可得用=*=.易k□宜线4日的方程为一+;=I• J9K+49 4