数学必修两个计数原理

数学必修两个计数原理第1页，共21页，2023年，2月20日，星期六3.四名研究生各从A、B、C三位教授中选一位作自己的导师，共有______种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有_____种选法.2.在1~20共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?答.(10×9+10×9)/2=90（种）.43

1.某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?答：3×3×3×3=34=81（种）课前热身练习

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4.今有4名同学要争夺3个比赛项目的冠军,冠军获得者共有

种可能.43=64第2页，共21页，2023年，2月20日，星期六5.已知集合，则从集合A到集合B的映射个数最多有_______;6.满足AB={1,2}的集合A,B共有________种;解析:由A,B均是{1,2}的子集:Ø,{1},{2},{1,2},但不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含AB的两元不定方程,其全部解分为四类:(1)当A=Ø时,只有B={1,2}得1组解;(2)当A={1}时,B={2}或{1,2},得2组解;(3)当A={2}时,B={1}或{1,2},得2组解;(4)当A={1,2}时,B=Ø或{1}或{2}或{1,2},得4组解,由加法原理,共有1+2+2+4=9组解.第3页，共21页，2023年，2月20日，星期六7.已知甲、乙两个自然数的最大公约数为60，则甲、乙两数的公约数共有________个;

故有公约数3×2×2=12个8.集合A={1,2,-3},B={-1,-2,3,4}．从A,B中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标．（1）可以得到多少个不同的点？（2）这些点中，位于第一象限的有几个？

3×4＋4×3＝242×2＋2×2＝8第4页，共21页，2023年，2月20日，星期六★分类计数原理做一件事情,完成它可以有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。

★分步计数原理做一件事情,完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。注:本原理又称加法原理.注:本原理又称乘法原理.第5页，共21页，2023年，2月20日，星期六

EX1某班级三好学生中男生有5人,女生有4人

(1)从中任选一人去领奖,有多少种不同的选法？

分析:(1)完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有2类办法,

第一类办法,从男三好学生中任选一人,共有m1=5种不同的方法;

第二类办法,从女三好学生中任选一人,共有m2=4种不同的方法;所以,根据加法原理,得到不同选法种数共有N=5+4=9.

(2)从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？强化巩固第6页，共21页，2023年，2月20日，星期六分析:

(2)完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事,需分2步完成,

第一步,选一名男三好学生,有m1=

5种方法;

第二步,选一名女三好学生,有m2=4种方法;

所以,根据乘法原理,得到不同选法种数共有N=5×4=20种。点评:解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成”,还是“分步完成”。“分类完成”用“加法原理”;“分步完成”用“乘法原理”。第7页，共21页，2023年，2月20日，星期六EX2一个三位密码锁,各位上数字由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字组成,(1)可以设置多少种三位数的密码(各位上的数字允许重复)？问:若设置四位、五位、六位、…、十位等密码,密码数分别有多少种？解:它们的密码种数依次是104,105,106,……1010

种。

(3)个位数字不为0的密码数是多少？

(2)个位数字是0的密码数又是多少？分析:ƓƓƓ

101010××=103(种)个十百解:N=10

×10=102(种)解:N=10×10×9=900(种)第8页，共21页，2023年，2月20日，星期六

加法原理和乘法原理

点评:(1)加法原理中的“分类”要全面,不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的,也就是说,完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法。若完成某件事情有n类办法,即它们两两的交集为空集,n类的并为全集。

(2)乘法原理中的“分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;若完成某件事情需n步,则必须且只需依次完成这n个步骤后,这件事情才算完成。

(3)在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,才能保证不重复、不遗漏。第9页，共21页，2023年，2月20日，星期六EX3如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,问不同的涂色方案有多少种？解:按地图A、B、C、D四个区域依次分四步完成,

第一步,m1=3种,

第二步,m2=2种,

第三步,m3=1种,

第四步,m4=1种,根据乘法原理,得到不同的涂色方案种数共有N=3×2×1×1=6种。第10页，共21页，2023年，2月20日，星期六第11页，共21页，2023年，2月20日，星期六EX3如图,要给地图A、B、C、D四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种,允许同一种颜色使用多次,但相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有多少种？问:若用4色、5色等,结果又怎样呢？提示:它们的涂色方案种数分别是(1)4×3×2×2=48种；(2)5×4×3×3=180种；第12页，共21页，2023年，2月20日，星期六

EX4如图,从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通,从丁地到丙地有2条路可通。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地乙地丙地丁地

解:从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法,第一类由甲经乙去丙,又需分两步,所以m1=2×3=6种不同的走法;

第二类,由甲经丁去丙,也需分两步,所以m2=4×2=8种不同的走法;

故从甲地到丙地共有N=6+8=14种不同的走法。第13页，共21页，2023年，2月20日，星期六分类计数原理与分步计数原理区别

分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．第14页，共21页，2023年，2月20日，星期六………...ABABm1m1m2m2mnmn点评:我们可以把加法原理看成“并联电路”;乘法原理看成“串联电路”.如图示第15页，共21页，2023年，2月20日，星期六第16页，共21页，2023年，2月20日，星期六示例1.书架的第1层放有4本不同计算机书,第2层放有3本不同的文艺书,第3层放有2本不同的体育书。（1）从书架上任取1本书，有多少种不同的取法?（2）从书架的第1、2、3层各取1本不同的书，有多少种不同的取法？解(1)从书架上任取1本书，有3类办法：

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，可分3个步骤完成：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种办法；第2类办法是从第2层取1本文艺书，有3种办法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2种办法；根据分类计数原理，不同取法的种数是N=4+3+2=9.答:从书架上任取1本书，有9种不同的取法。第1步从第1层取1本计算机书，有4种办法；第2步从第2层取1本文艺书，有3种办法；第3步从第3层取1本体育书，有2种办法；根据分步计数原理，不同取法的种数是N=4×3×2=24答:从书架的第1、2、3层各取1本书,有24种不同的取法。第17页，共21页，2023年，2月20日，星期六示例2一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?本题的特点是数字可以重复使用，如:0000,1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数m=10，有n=4个步骤,结果是总个数N=10×10×10×10=104

解：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1数字组成的个数是答：可以组成10000个四位数字号码。N=104

一般的，完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法数相同，都是m,则完成这件事共有种不同方法。（牢记：步骤数n是指数！）mn第18页，共21页，2023年，2月20日，星期六示例3.现要安排一份5天值班表，每天有一个人值班。共有5个人，每个人都可以值多天班或不值班，但相邻两天不能由同一个人值班，问此值班表由多少种不同的排法？解：分5步进行：第一步：先排第一天，可排5人中的任一个，有5种排法；第二步：再排第二天，此时不能排第一天的人，有4种排法;第三步：再排第三天，此时不能排第二天的人，有4种排法;第四步：同前第五步：同前由分步计数原理可得不同排法有5×4×4×4×4＝1280种第19页，共21页，2023年，2月20日，星期六示例4①用0，1，2，……，9可以组成多少个8位号码；

②用0，1，2，……，9