磁流体力学之二

磁流体力学之二第1页/共89页2如何研究流体流体力学基础流体元（流体质点）把流体分割成流体元，考察所有流体元的运动；在流体中尽量多设定观察位置，观察流过该位置流体元的运动。第2页/共89页表达复杂,方法重要,但不常用表达简单,方法重要,常用流体力学基础第3页/共89页回顾1)

拉格朗日法（随体法）追随每一个流体质点的运动，从而研究整个流场。或者说：以流场中某一点作为描述对象描述它们的位置及其它的物理量对时间的变化速度：加速度：第4页/共89页2）欧拉法（局部法、当地法）以流场中每一空间位置作为描述对象，描述这些位置上流体物理参数对时间的分布规律速度加速度：时变加速度位变加速度局部（当地）微商迁移（随流）微商物质导数第5页/共89页6应力张量在某一给定的瞬间，从流动的不可压缩性理想流体中任取一微平行六面体。体积力可以忽略作用在任意一个以en为单位矢量的斜面上的应力可以表示为：作用于流体质元的力清楚了,下面建立描述流体的基本方程第6页/共89页7关于应力张量的说明：体积元取很小应力张量是坐标的单值函数，和体积力一样，仅仅与坐标点有关，与面元方向无关！任意一个面元任意方向上的表面力为：第7页/共89页8流体力学基础磁流体力学方程组磁压力与磁张力磁扩张与磁冻结垂直于B的流体漂移磁流体力学内容流体力学基础磁流体力学方程组磁压力与磁张力磁扩张与磁冻结垂直于B的流体漂移第8页/共89页3.1.3基本方程(流体方程)第9页/共89页第10页/共89页一、连续性方程不管流体进行何种流动，流体必须满足质量守恒方程。下面我们针对微元体从质量守恒定律来推导流体流动的连续性方程（连续性方程：由于流体连续，流入量、流出量之间有对应关系）。考虑一个体积为的流体流体的总质量：我们要考察从这个体积里流出和流入的质量质量守恒定律目的：体积中质量的变化第11页/共89页单位时间从这个体积里流出的质量为：单位时间从这个体积里流入的质量为：单位时间体积里质量变化(减少)：第12页/共89页根据质量守恒定律：[单位时间流入微元体质量]-[单位时间流出微元体质量]=[单位时间微元体内质量增量]一个物理量对一个封闭曲面的面积分可以转换成这个物理量散度对于该体积的积分。or连续性方程常定流体不可压缩流体第13页/共89页二、运动方程重力表面力动量守恒总动量的改变等于所受到的合力运动方程动量守恒第14页/共89页运动方程纳维－斯托克斯方程第15页/共89页二、能量方程能量守恒考察一个封闭物质体系的能量变化率内能：物体内部由于分子原子的热运动所具有的能量，叫做物体的内能，可以包括分子相互作用势能，分子内原子的振动能等第16页/共89页封闭物质体系的能量流密度封闭物质体系的能量封闭物质体系的能量变化率封闭物质体系第17页/共89页忽略第18页/共89页表示单位时间通过单位面积流出的热量，称为热流矢量。导热率傅立叶定律第19页/共89页取任意一界面，如图能量守恒：体积内流体的动能和内能的改变率等于单位时间内体积力和表面力所做的功减去从表面流出的热能。体积力做功面积力做功边界热传导第20页/共89页标量函数第21页/共89页考虑一个流体单元，体积为任意一个标量函数考察该标量函数的体积积分随时间的变化第22页/共89页时间体积面积沿法向移动距离：体积为第23页/共89页考察任意一个标量函数这个函数的体积积分的随体导数应该为（定义）：设：第24页/共89页第25页/共89页体积元边界随时间的变化第26页/共89页这个体积元的表面?积分范围如何确定?第27页/共89页第28页/共89页第29页/共89页能量方程第30页/共89页能量方程运动方程连续性方程小结：描述流体的基本方程描述流体描述磁流体第31页/共89页3.2磁流体力学方程组导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变。对这类问题进行理论探讨，必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。磁流体力学方程组是导电流体在磁场中运动所遵循的物理规律的数学表达式，用来研究运动的导电流体和磁场相互作用中各物理量间的变化关系，求解电磁场和流场中各物理量的分布。导电流体电磁场第32页/共89页磁流体力学基本方程组包括考虑介质运动的电动力学方程组和考虑磁场力的流体力学基本方程组，此方程组应用于等离子体的充分条件是碰撞起支配作用，即粒子碰撞的平均自由程远小于宏观变化的特征长度，而粒子碰撞的时间间隔远小于宏观变化的特征时间。电动力学方程组：麦克斯韦方程组、洛伦兹力公式和欧姆定律，但在许多情况下，必须把电动力学方程组中的欧姆定律推广为广义欧姆定律，即把导电气体当作电子、带电粒子和中性粒子三种不同的单独流体，考虑气体中的电流与电磁场的关系；在流体力学基本方程组中的运动方程上必须添加电磁场作用于导电流体的力，即洛伦兹力；在能量方程上必须添加电磁场引起的热能增加率。第33页/共89页343.2.1电磁场方程组导电流体在电磁场里运动时，流体中就会产生电流。此电流与磁场相互作用，产生洛伦兹力，从而改变流体的运动，同时此电流又导致电磁场的改变，对这类问题必须既考虑其力学效应，又考虑其电磁效应。麦克斯韦方程组法拉第定律安培定律泊松方程无散度条件第34页/共89页麦克斯韦方程组第35页/共89页欧姆定律这个方程是在假设介质相对于场是静止的,没有运动项.相对于流体静止的坐标系中注意：实际上，导电流体相对于K系一般是运动的，假设相对运动的速度为u。在K’参照系中，显然有：K’参照系中电场下的定向运动第36页/共89页如果没有磁场的存在，两个坐标系中的电场没有区别！存在磁场以后，两个坐标系中的电场有区别！运动流体切割磁力线所产生的感应电场。显然，流体在相应坐标系中的速度两坐标系中的相对速度第37页/共89页欧姆定律传导电流感应电流运流电流等离子体一般可以看成良导体，所以传导电流远大于运流电流，可以忽略运流电流。第38页/共89页洛伦兹力欧姆定律导电流体电磁场流体运动第39页/共89页麦克斯韦方程组洛伦兹力欧姆定律导电流体中电磁场方程组等离子体中的电磁场方程组第40页/共89页41由于等离子体的特殊性，有必要对以上的方程组进行简化。假设：等离子体中的电磁场方程组作用于等离子体场的波长远大于流体运动的特征长度电导率与场频率之间有如下关系即场变化的特征时间大于粒子的碰撞时间一般是可以满足的称为准静态电磁场第41页/共89页麦克斯韦方程组洛伦兹力欧姆定律近似条件第42页/共89页近似条件第43页/共89页近似条件第44页/共89页近似条件第45页/共89页麦克斯韦方程组洛伦兹力欧姆定律准静态电磁方程组、欧姆定律和洛伦兹力公式可以写成：第46页/共89页能量方程运动方程连续性方程描述流体的基本方程麦克斯韦方程组洛伦兹力欧姆定律导电流体的电磁场方程组等离子体是一种流体，所以考虑其流体特性，它必须服从流体的基本方程。第47页/共89页483.2.2考虑电磁力的流体力学方程能量方程运动方程连续性方程没有电磁力的流体力学方程当这些方程用到等离子体时候，需要做适当的改变第48页/共89页连续性方程等离子体是一种流体，它必须服从流体的连续性方程。这个方程无需改变。没有电离，复合，化学反应等等过程第49页/共89页运动方程是有动量守恒推导出来的，动量守恒：总动量的改变等于所受到的合力，涉及到力，就必须考虑电磁力：洛伦兹力。运动方程洛伦兹力第50页/共89页一般情况下：如果磁流体是无粘性流体（可以满足的）运动方程第51页/共89页能量方程由于带电粒子的运动必然会产生热量，所以在能量方程中必须考虑焦耳热.能量方程第52页/共89页连续性方程运动方程能量方程考虑到电磁力的流体力学方程，或者说是适用于等离子体这样的磁流体体系的流体方程组：第53页/共89页54流体方程组连续性方程运动方程能量方程电磁方程组伦兹力欧姆定律麦克斯韦方程组不封闭！第54页/共89页是有一定的关系状态方程这个是作为流体的自然状态所决定的—状态方程用联系p和n的热力学状态方程一般可以表示为：

这里C是常数，γ是比热Cp/Cv。是质量密度定压和定容热容第55页/共89页关于状态方程的讨论两边微分:对理想气体的等温过程有：第56页/共89页这个关系称为泊松(S.D.Poisson)公式。问题关于理想气体的状态方程Z叫着多方指数,凡是满足上式的过程，就称为多方过程。i:自由度数气体常数第57页/共89页单原子分子双原子分子刚性多原子分子CVCP比热容比351.67571.4681.30等压过程等温过程(i+2)/i绝热过程无穷等容过程理想气体准静态绝热过程:第58页/共89页一般的情况下：关于状态方程的讨论理想气体等温过程：

状态方程的正确性要求忽略热流，即要有低的热传导率。另外，状态方程在平行于B方向比垂直于B方向显得更准确些。和自由度的数目有关，N是自由度状态方程一般可以写成：第59页/共89页完整的磁流体力学方程组：连续性方程运动方程能量方程欧姆定律麦克斯韦方程组状态方程边界条件－求解！其中第60页/共89页理想磁流体力学方程组：如果磁流体是无粘性的：不导热的：理想导体：

运用流体力学模型，考虑等离子体流体元的运动而忽略个别粒子运动。这样可以将研究等离子体行为的工作大大简化。欧姆定律14未知数-14方程完备方程组能量方程?对于理想流体,可以从运动方程推导出来第61页/共89页62等离子体与普通流体之间有很大区别：等离子体受电磁场影响等离子体有多种粒子存在我们上面讨论时把等离子体看成只有一种成分的导电流体，在实际的等离子体中，是由两个或更多相互贯穿的电荷粒子组成。在只存两种带电的最简单的情况下，需要两个方程（电子流体方程与离子流体方程）；在部分电离气体中，还需要一个中性原子的流体方程。电子和离子由于产生E和B场，在没有碰撞时彼此也有相互作用；而中性流体仅能通过碰撞才同电子和离子作用。第62页/共89页633.2.3双成分的磁流体力学、广义欧姆定律对于高度电离的等离子体，可以把系统看成是由电子气体和离子气体两种导电流体所组成，分别考虑它们的运动，同时要考虑它们之间的耦合，这就是双流模型。由于电子和离子质量差别很大，所以它们对于电磁场的相应速度也有很大差别，所以通常，在双流模型中，电子和离子都被认为是独立运动的，可以分别写出它们的流体力学方程组。这两种粒子之间通过碰撞产生相互的联系。下面建立双成分的磁流体力学方程组第63页/共89页64双磁流体力学方程组：双磁流体连续性方程双磁流体连续性方程注意：这里没有考虑电荷粒子之间的复合，也没有考虑中性粒子的电离导电流体连续性方程电子离子第64页/共89页65双磁流体力学方程组：双磁流体运动方程导电流体运动方程假设等离子体满足电中性条件必须考虑碰撞过程中粒子动量之间的传递相等单位时间内电子流传给离子流的动量单位时间内离子流传给电子流的动量第65页/共89页则对每一种成分可以写出运动方程：等离子体中电荷粒子碰撞时满足牛顿第三定律电子离子其中：碰撞项?第66页/共89页关于碰撞项根据理论力学可以知道，两个粒子做弹性碰撞时动量的变化：α类粒子β类粒子等离子体第67页/共89页对于密度为n，平均碰撞频率为的等离子体，因此单位时间内动量的传递可以表示成：运动方程最终形式：碰撞频率第68页/共89页由于电子的质量远小于离子的质量已知：两项相加：离子的速度运动方程形式相同讨论第69页/共89页双磁流体力学方程组：双磁流体广义欧姆定律第70页/共89页碰撞项第71页/共89页第72页/共89页广义欧姆定律一般的形式：广义欧姆定律改写洛伦兹力项霍尔电动力项电子热压力项第73页/共89页广义欧姆定律欧姆定律相比之下多出两项关心其大小量级电子热压力项霍尔电动力项第74页/共89页一般：压强力项和洛伦兹力项在运动方程中具有相同的数量级。运动方程：结果：在广义欧姆定律具有相同的数量级通常很小数量级第75页/共89页利用电导率公式：回旋频率第76页/共89页讨论：回旋频率远远小于碰撞频率回归一般的欧姆定律形式数量级与？有关频繁的碰撞消除了压强力项和洛伦兹力项影响第77页/共