福建省泉州市南安炉邨中学高三数学文上学期期末试卷含解析

福建省泉州市南安炉邨中学高三数学文上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（09年宜昌一中10月月考文）关于的函数的极值点的个数有

（

）A．2个

B．1个

C．0个

D．由确定参考答案：C2.已知数列，若点在经过点的定直线上，则数列的前15项和A.12 B.32 C.60 D.120参考答案：C可设定直线为,知,则是等差数列且，所以，选C.3.设a为实数，函数f（x）=x3+ax2+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线：y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为（）A．9x﹣y﹣16=0 B．9x+y﹣16=0 C．6x﹣y﹣12=0 D．6x+y﹣12=0参考答案：A【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先由求导公式求出f′（x），根据偶函数的性质，可得f′（﹣x）=f′（x），从而求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+（a﹣3），∵f′（x）是偶函数，∴3（﹣x）2+2a（﹣x）+（a﹣3）=3x2+2ax+（a﹣3），解得a=0，∴f（x）=x3﹣3x，f′（x）=3x2﹣3，则f（2）=2，k=f′（2）=9，即切点为（2，2），切线的斜率为9，∴切线方程为y﹣2=9（x﹣2），即9x﹣y﹣16=0．故选：A．4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为(

)

A.

B.

C.

D.参考答案：C略5.已知集合，，则（

）A．

B．

C.

D．参考答案：【知识点】交集及其运算．A1

【答案解析】B

解析：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣2）≥0，解得：x≤﹣1或x≥2，即A=（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），∵B=[﹣2，2），∴A∩B=[﹣2，﹣1]．故选：B．【思路点拨】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出A与B的交集即可．6.下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如下图．其中真命题的个数是

A．3

B．2

C．1

D．0参考答案：A本题考查了对三棱柱、四棱柱、圆柱在不同放置情况下的三视图的识别能力，难度较大。①存在，只要三棱柱放置时三角形在侧面即可；②存在，四棱柱底面与侧面相同；③存在，圆柱的圆面为侧面即可；三个命题都正确，故选A。7.设全集U=R，集合A={x|x2+x≥0}，则集合CuA=

（

）

A．[-1,0]

B．（-1,0）

C．（-∞，-1][0,+） D．[0,1]参考答案：B略8.设，，在中，正数的个数是A．25

B．50

C．75

D．100参考答案：D9.为了得到函数的图象,只需将函数的图象 A．向左平移个长度单位 B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位 D．向右平移个长度单位参考答案：A略10.若复数为纯虚数，则实数a的值为（

）A．1

B．0

C．

D．-1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是

．参考答案：．试题分析：因为关于的方程有实根，两边除以得，，设，则，即有根，分离变量得，在或时，是减函数，当时，；当时，．所以或．所以实数的取值范围为．故应填．考点：函数的零点与方程根的关系．12.已知集合，，且，则实数的值是

．参考答案：1略13.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点，且法向量为的直线（点法式）方程为，化简得．类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面（点法式）方程为

．参考答案：x+2y?z?2＝014.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则该球的表面积是_________参考答案：答案：

15.对任意两个实数，定义若，，则的最小值为

．参考答案：【知识点】函数的图象与图象变化。B8

【答案解析】-1解析：因为对任意两个实数x1，x2，定义，又f（x）=x2﹣2，g（x）=﹣x，由x2﹣2≥﹣x，得x≤﹣2或x≥1，则当x2﹣2＜﹣x时，得﹣2＜x＜1．所以y=max（f（x），g（x）），其图象如图，由图象可知函数max（f（x），g（x））的最小值为﹣1．故答案为﹣1．【思路点拨】通过求解不等式x2﹣2≥﹣x，得出f（x）≥g（x）和f（x）＜g（x）的x的取值范围，结合新定义得到分段函数max（f（x），g（x））的解析式，在平面直角坐标系中作出分段函数的图象，则分段函数的最小值可求．16.函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数为

． 参考答案：2【考点】根的存在性及根的个数判断． 【专题】函数的性质及应用． 【分析】根据f（x）解析式确定出x大于0，求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数，利用图象求出即可． 【解答】解：由题意可得x＞0， 求函数f（x）=x2﹣4x+5﹣2lnx的零点个数，即求方程lnx=（x﹣2）2+的解的个数， 数形结合可得，函数y=lnx的图象和函数y=（x﹣2）2+的图象有2个交点， 则f（x）=lnx﹣x2+2x+5有2个零点， 故答案为：2 【点评】此题考查了根的存在性及根的个数判断，利用了数形结合的思想，画出相应的图象是解本题的关键． 17.函数的零点个数为

。参考答案：2略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）

求不等式的解集；（2）

若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.参考答案：(1);(2)或.【试题分析】（1）借助绝对值的性质运用分类整合思想分类求；（2）依据绝对值的定义，运用绝对值的几何意义求解：（1）①，解得：；②无解；③解得：；∴原不等式的解集为；

19.参考答案：解解：⑴当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升）⑵设速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得

令，得当时，，是减函数,当时，，是增函数∴当时，取得极小值此时

（升）答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙耗油量少，最少为11.2升20.已知函数f（x）=x3+2x2+ax+b，g（x）=ex（cx+d），且函数f（x）的导函数为f′（x），若曲线f（x）和g（x）都过点A（0，2），且在点A处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，mg（x）≥f′（x）+2恒成立，求实数m的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：（I）对f（x），g（x）进行求导，已知在交点处有相同的切线及曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P（0，2），从而解出a，b，c，d的值；（II）令φ（x）=2mex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，求出导函数，令φ'（x）=0得x1=﹣lnm，x2=﹣2，通过对m的讨论，确定函数的单调性，可得最值，即可求出m的范围．解答： 解：（I）由已知得f（0）=2，g（0）=2，f'（0）=4，g'（0）=4，而f'（x）=x2+4x+a，g'（x）=ex（cx+d+c）故b=2，d=2，a=4，c=2…（Ⅱ）令φ（x）=2mex（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则φ'（x）=2mex（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（mex﹣1）因φ（0）≥0，则m≥1令φ'（x）=0得x1=﹣lnm，x2=﹣2…（1）若1≤m＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而x∈（﹣2，x1）时φ'（x）＜0；当x∈（x1，+∞）时φ'（x）＞0，即φ（x）在（﹣2，x1）单调递减，在（x1，+∞）单调递增，故φ（x）在[﹣2，+∞）的最小值φ（x1），故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．

…（2）若m=e2，则φ'（x）=2e2（x+2）（ex﹣e﹣2），从而当x≥﹣2时φ'（x）≥0，即φ（x）在[﹣2，+∞）单调递增，而φ（﹣2）=0，故当x≥﹣2时φ（x）≥0，即mg（x）≥f'（x）+2恒成立．（3）若m＞e2，则φ（﹣2）=﹣2me﹣2+2=﹣2e﹣2（m﹣e2）＜0，从而当x≥﹣2时，mg（x）≥f'（x）+2不可能恒成立．

…综上：m的取值范围是[1，e2]…点评：此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．21.（本小题满分12分）如图,平面平面为等边三角形,,过作平面交分别于点,设.（1）求证：平面；（2）求的值,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为.参考答案：（1）详见解析（2）根号下3-1.试题解析：（1）证明：如图,以点为原点建立空间直角坐标系,不妨设,则,由

,得,则.易知是平面的一个法向量,且,故,又因为平面,平面.22.（12分）已知函数f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1）（其中e为自然对数的底数），记f（x）的导函数为f′（x）．（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）求证：当x＞0时，不等式f′（x）≥1+lnx恒成立．参考答案：考点： 利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题： 导数的综合应用．分析： （1）利用导数判断函数的单调性，求出单调区间；（2）当x＞0时，令h（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，求出导数h′（x），当x=1时，h′（x）=0，由（1）得，ex﹣ex≥0，讨论当x＞1时，当0＜x＜1时，导数的符号，从而得到h（x）的最大值，即可得证．解答： （1）解：）∵f（x）=x2﹣ex3+ex（x﹣1），∴f′（x）=﹣ex2+x+ex（x﹣1）+ex=x（ex+1﹣ex），令y=ex+1﹣ex，则y′=ex﹣e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，则x=1取极小，也是最小，则y≥1．即ex+1﹣ex＞0恒成立，则g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．故g（x）的增区间为（0，+∞），减区间为（﹣∞，0）．（2）证明：当x＞0时，1+lnx﹣f′（x）=1+lnx+ex2﹣x﹣exx，令h