弹塑性有限元方法

PAGEPAGE7第三章弹塑性有限元方法的实施§3.1增量平衡方程和切线刚度矩阵1、分段线性化的求解思想塑性变形的特点决定了塑性本构关系的非线性和多值性，上面由塑性增量理论给出了塑性应力—应变关系其中

说明当前应力状态不仅与当前应变有关，而且和达到这一变形状态的路径（加载历史）有关。这里包含了屈服准则、强化条件和加卸载准则。由此，对物理非线性问题，通常采用分段线性化的纯增量法和逐次迭代的方法求解。即将加载过程分成若干个增量步，选择其中任意一个增量步建立它的增量平衡方程并求解，对整个过程的求解有普遍意义。2、增量平衡方程和切线刚度矩阵设t时刻（加载至i-1步终），结构（单元）在当前载荷（广义体力和表面力）的作用下处于平衡状态，此时物体内一点的应力、应变状态为。在此基础上，施加一个载荷增量，即从时刻，则在体内必然引起一个位移增量和相应的、，只要足够小，就有。倘若初始状态已知，加载过程已知，则可以确定（即可以确定，然后可在硬化曲线上得到所对应的硬化系数）于是上面的方程成为线性的。在这一增量过程中，应用于虚功原理可得到如下虚功方程：（1）根据小变形几何关系，再由虚位移的任意性，并设，展开后，其中单元在t时刻载荷等效节点力：；内增量载荷的等效力。这样，由方程（1）可得平衡方程：（2）即：因为t时刻（第i步终）结构处于平衡状态（3）这样（2）式变为:即：（4）将和代入上式得增量平衡方程：（5）对增量位移求导：（6）于是（5）式成为（7）为单元切向刚度矩阵。集合所有单刚后得到结构总的增量平衡方程（8）方程（8）是线性的，可以直接求解。硬化系数的数值表示根据单一曲线定理，对于一般稳定性硬化材料，在其简单加载过程中，和之间存在着一一对应的确定的函数关系，这一关系可用单向拉伸实验来确定。例如，对于Mises各向同性硬化材料（8）在有限元分析中，作为初始参数应把这一曲线输入（用函数或数字的形式），在加载过程中弹塑性矩阵不断地修改，根据当前的应力或应变来确定。目前，硬化曲线的输入格式有两种：解析表达式根据单一曲线定理，由单向拉伸试验曲线直接得出硬化曲线的解析式。例如：（a）Mises各向同性线性硬化材料单向拉伸曲线有：当当（9）则有（10）附：对于一般材料的硬化曲线的求法（求）如单拉曲线则硬化曲线根据===》===》其中单拉时等效应变为因为，，平均应变为所以，当时（b）Mises各向同性幂硬化材料单向拉伸曲线有：当当（11）由屈服点条件：得据（8）式得（12）其中：根据离散的单拉实验数据，采用样条插值计算（参看清华大学孟凡中教材：弹塑性有限变形理论和有限元方法）3.3过渡单元弹塑性矩阵的确定三种变形状态弹塑性变形体中，在一个载荷增量步内可能有三种变形状态：弹性区：加载前后均处于弹性状态，故采用弹性阵不变。塑性区：加载前后均处于塑性状态，其弹塑性矩阵由塑性增量理论确定（与当前应力水平和塑性变形增量的总量有关）过渡区：加载前处于弹性状态，加载后进入塑性状态，所以，在这一过程中采用弹性矩阵或最终的都不合适，必须寻找一个合适的弹塑性矩阵。加权平均的弹塑性矩阵过渡单元在加载后的应力计算（以单拉状态为例）在时间步内施加一个增量载荷后，讨论某单元的应力应变状态。设某单元加（卸）载前的应力状态，相应的应变（A点）处于弹性状态（弹性区间O’C）。加载后，按弹性计算得到应变增量，到达B点。显然B点不是实际的应力状态，因为已经超过了C点，进入了塑性变形阶段，假设实际应到达D点。该增量步的弹塑性矩阵是未知的，它的大小应该和该增量步内弹塑性应变所占比例有关，只能经过迭代试算得出。因为:（13）且设（14）则（15）显然，，且m=0时是全弹性，m=1时是全塑性。实际应力增量为（16）推广到一般的应力状态，为（17）（18）－加权平均弹塑性矩阵；m－比例系数。2）比例系数m的迭代公式已知A点的和，同时由到达A点的路径确定和由定义：（19）过渡单元m的确定确定是过渡单元。即在第（i-1）个增量步终（求解结束时）某单元是弹性的应力、应变状态和，且（或），进入第i个增量步（内载荷增量），按弹性计算到达B点，其应力，应变，可以确定该单元在第i个增量步内是过渡单元。关于m的迭代过程：按弹性矩阵计算该单元的切线刚度矩阵，然后和其他单元集合成总刚，代入结构的增量平衡方程并求解得总位移向量，从中提取该单元的，并求出，及。代入（19）式，计算出，再将代入（18）得，中的与当前应力和应变状态有关。当前应力为：，（a）按第1次迭代的计算值代入该单元计算切线刚度阵，并与其他单元集合组装求解总的增量方程得及相应的，及。此时和没有改变，再代入（19）式计算。将和（若是硬化材料，还要根据当时塑性应变总量确定的值）代入计算。依次类推，求出；…………直至前后两次的m值十分接近（到达给定的允许误差范围）停止迭代。(c）将迭代终止时的作为该单元的弹塑性矩阵，求单刚集合，解方程，求出及相应的，将其累加到上一步的终值上作为下一步的初值。总位移并记下每个单元的和，以此作为（i+1）步的初始状态，继续加载。3)讨论上面采用的是最简单的纯增量法，并取其中一个增量步（i步）内对m值的迭代，最终确定加权平均的弹塑性矩阵采用加权平均的弹塑性矩阵，在同一增量步内，对过渡单元的m值往往要迭代若干次，每次迭代都要重新计算单元的切线刚度阵，并重新组装总刚和解方程。显然求解过程比较复杂繁琐，由此增加了许多工作量，但从提高精度和加速收敛两方面是大有好处的。实践证明：即使加载步长比较大，势必在这一步内新进入屈服的单元（过渡元）比较多，然而采用对m迭代计算出比较准确的后，仍能获得比较满意的结果。如果不采用对过渡单元迭代的办法，则为了保证解的精度，必须控制每个增量步的大小，以保证每一步内新增加的塑性单元较少，否则将越来越偏离正确解，使求解失真，甚至发散。迭代收敛准则：m值的迭代从理论上讲要求两次值非常接近时方可结束。而大量实践说明，一般迭代2~3次就可以，所以往往用迭代次数来控制即可，这是对一个过渡单元而言，而从整个结构来看，还要求在前后两次迭代中不再有新的塑性单元产生来决定是否可进入下一增量步的计算。§3.4采用纯增量法作弹塑性有限元分析的步骤以下仅限于简单加载过程（无反复加卸载过程）和Mises各向同性强化材料开始，输入初始参数（几何；材料性质，，；边界条件；外载荷P）将外载荷一次加上作线弹性分析（Mi.条件）如果不存在塑性区则为弹性问题直接输出结果结束！否则作弹塑性分析计算弹性极限设，则并可输出弹性极限载荷下的结果。对剩余载荷作弹塑性分析如果采用等增量步格式，则将等分为N个增量步，即每一增量步载荷为：。下面5.中是对N个增量步循环。在i步上施加一个增量载荷。已知当前状态下（i-1步终），各单元的（or高斯点），，。判断三种类型的单元：1）弹性2）塑性3）过渡单元。对本增量步内所有过渡单元经过2~3次迭代得到合适的，