圆面积公式的各种证明方法-刘晓丽、李小龙

/圆面积公式的各种证明方法证明方法１：转化(小学段）（1）拼成平行四边形，4份,8份,16份.（２)拼成长方形.近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。长方形的面积=长×宽圆的面积＝πr×r所以,圆的面积公式是：S＝πｒ²(3)拼成两层平行四边形（两层)近似平行四边形的面积＝底×高圆的面积=EＱ\F（1,2）C×２r=EQ\F(1,2）πr×2ｒ所以,圆的面积公式是：S=πｒ²（4)用三角形（小）拼三角形的面积=EＱ\Ｆ（1，2)×底×高圆的面积=EQ＼F（1，2）×(ＥQ\Ｆ（1，１6）×C）×r×16所以，圆的面积公式是：S=πｒ²（５）拼成梯形梯形的面积=EＱ\F(1，2)(上底+下底)×高圆的面积=EＱ＼Ｆ（1,2）×（EQ＼F(5，１６)+ＥQ\F（3,1６））×C×２r所以，圆的面积公式是：S＝πｒ²拼成三角形（大）（６）三角形的面积=ＥＱ＼F（1，２）底×高圆的面积=EQ＼F(１,2）×（ＥQ\F（１,４)×C）×4r所以,圆的面积公式是:S=πr²证明方法２:半径为ｒ的圆的圆周长为2πrﻫ1．先将圆周等分成n份:每份长为2πｒ／n.

２.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点，组成三角形.ﻫ3．那么，根据三角形面积公式，该圆的面积近似等于：（n—１)·r·（2πr）／n/２．（因为在n充分大时，各个三角形的高近似等于r，并且有n-１个三角形，所以有该公式）ﻫ取极限：ｌｉｍ（n→+∞)（n-1)·r·(2πｒ）/n／２，因为lｉm（n→＋∞）（n—１）／n=1ﻫ所以lｉｍ（n→+∞）(n—1）·r·(２πr)/n/2=πr^2证明方法3：极限法(高中段：以圆的正n边形表示圆的面积：设圆的半径为r,内接一个正n边形，它的任意一边所对的圆心角为2π/ｎ，先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式S＝（1/2）ａ*b＊sinC)，然后得到这个正n六边形的面积:Ｓn=（ｎ/2）r²sin（２π/n）当n无限增大时，内接正n边形的形状无限接近于圆，它的面积也无限接近圆的面积。求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式（函数的极限）:当x→0时，liｍ［（ｓinx)/x］=1［题外话:这个极限的几何意义是,当ｘ无限减小时，y=ｓinx的图象与直线y=x是重合的，在这种情况下,我们可以用x的值来代替ｓiｎx,以在某些领域做近似计算]把Sn变形：Sn＝πr²lim［ｓin(2π/n）／(2π/n）］于是，当n→∞时,２π／n→0liｍ[ｓin（２π/n）/（２π／n)]=１Sn=πr²证明方法4：极坐标法设圆的极坐标方程Ｒ（θ）=Ｒ圆心角为dθ扇形的面积ｄA=1/２R^2ｄθ.则圆的面积为Ａ＝∫（０－２π）ｄA=∫（0－２π）1/2Ｒ^2dθ=πR^2在极坐标系中，圆心在原点，圆的半径r。取一微小的圆心角ｄθ,对应的弧长rdθ，由于rｄθ极短，可以看成直线，则这个微小的扇形可以看成是一直角三角形，面积ds=（1/2)＊r*r＊ｄθ。对ｄs积分就得到圆面积：S=∫ｄｓ=（1／2）∫（r^２)dθ(积分下限为0,上限为2π)，所以Ｓ＝πｒ^2证明方法5：微积分一个圆可以看成是无数个同心圆环组成，设所求圆的半径为R，任取某一个内径为r,外径为r+dr的同心圆环，由于dr很小,可以认为将圆环沿径向剪开后,展开得到的是一个长为2πｒ,宽为d