小波变换编码

小波变换编码第1页，共139页，2023年，2月20日，星期六2第2页，共139页，2023年，2月20日，星期六3Wavesondeletre第3页，共139页，2023年，2月20日，星期六4傅立叶变换用三角函数(正弦波/余弦波）作为正交基函数.第4页，共139页，2023年，2月20日，星期六5第5页，共139页，2023年，2月20日，星期六6符号解释：：一维的平方可积函数空间，：二维的平方可积函数空间。平方可积的数学定义：，物理含义=能量有限。结论：能量有限的函数的全体。

：复数空间；：n维内积空间，n维欧氏空间（有限维、实的内积空间）。希尔伯特空间（HibertSpace）：完备的内积空间（无限维内积空间）。设则u可由uk线性展开，uk为基函数。当使u=1时，则称为归一化（normalization）。

第6页，共139页，2023年，2月20日，星期六7LoG算子第7页，共139页，2023年，2月20日，星期六86.1.1傅里叶变换的不足引言：平稳信号可以通过傅里叶变换，将复杂的时域信号转换到频域，用频谱特性去表示和分析时域信号的特性；非平稳信号，例如语音信号、图像信号等的频域特性随时间而变。对于非平稳信号，经常需要了解它的某些局部时间段的主要频率特性，或者某些频率信息所出现的时间段，即需要了解短时域信号的局部频域特性：时-频局部化特性.

第5章小波变换编码

5.1时频局部化第8页，共139页，2023年，2月20日，星期六9傅里叶变换对时-频局部化分析（表示）无能为力，因为：对于一个能量有限的时域信号f（t），其傅里叶变换定义为由式（5.1.1）可以看出，为了得到信号f（t）的频谱特性F（ω），需要用f（t）在整个定义域内的全部信息。第9页，共139页，2023年，2月20日，星期六10另一方面，若信号f（t）只在某个时刻的较小邻域内发生变化，则整个频谱特性F（ω）就要受到影响。例如：δ函数，它定义为δ函数时域只有一个点t0的支撑，而它的傅里叶变换(ω)=e-jωt0，即其频谱覆盖整个频域。第10页，共139页，2023年，2月20日，星期六11结论：对傅里叶变换来说，信号在时域的瞬时变化会影响到整个频谱，频谱不能反映信号时域的局部变化，无法解决信号某一时刻的变化对某一点的频域变化的影响。因此，对于非平稳信号的分析与处理，只靠傅里叶变换是不够的，或者说傅里叶变换对于信号时-频局部特性的描述（表示）无能为力，需要新的方法来解决这一问题。第11页，共139页，2023年，2月20日，星期六121.定义为了克服傅里叶变换的不足，D.Gabor于1946年提出一种加窗傅里叶变换，又称Gabor变换。在Gabor变换中引入一个局部化窗函数g(t-b)，其中，用参数b在时域上移动窗口，设g（t）满足条件

定义Gabor变换为5.2Gabor变换第12页，共139页，2023年，2月20日，星期六13窗函数的选取：一般选择窗函数g（t）为在|t|＞b时快速衰减为零的所谓“钟形”函数（例如，Gabor用的窗函数是高斯函数），这样，信号f(t）在乘以滑动窗g（t-b）后，便可有效地抑制t=b的领域以外的信号，所以式（5.2.1）对f（t）g（t-b）进行的傅里叶变换所得到的结果反映的是t=b时刻附近的局部信号的频谱信息，从而达到时域局部化的目的。第13页，共139页，2023年，2月20日，星期六14加窗傅里叶变换在频域局部化方面的作用：设根据傅里叶变换的性质可得：式（5.2.4）、（5.2.5）表明，Gf(ω，b)实际上描述的是频谱F（ω）经过G（ω）卷积平滑的结果（相差一个相位因子）。若G（ω）在ω附近有局部化作用（使得g（t）满足此条件），则频域信息F（ω）就在ω附近被局部化。第14页，共139页，2023年，2月20日，星期六15结论：通过加窗傅里叶变换Gf（ω，b）可在t=b附近观察时域信号f(t),在ωb附近观察频域信号F(ωb)，即只要合理选择窗函数g（t），就可同时达到时-频局部化的要求。第15页，共139页，2023年，2月20日，星期六162.时窗、频窗和时-频窗时窗的定义：设g（t）是窗函数，称为时窗中心，称为时窗半径。则时窗函数g（t）的窗口为[t*-△t,t*+△t]（5.2.6），窗口宽度为2△t。同理可定义窗函数g（t-b）的时窗中心为t*+b，时窗半径仍为△t.第16页，共139页，2023年，2月20日，星期六17频窗中心和频窗半径定义如下：定义：设g（t）是时窗函数，则称其傅里叶变换G（ω）为频窗函数，称为频窗中心，称频窗半径。第17页，共139页，2023年，2月20日，星期六18则频窗函数G（ω）的窗口为窗口宽度为2△ω。由上述定义可知，g（t）和G（ω）分别起时窗和频窗作用。频窗平移η后，即频窗函数G（ω-η）的频窗中心和频窗半径分别为ω*+η,△ω。时-频平面，时窗和频窗共同作用的结果就形成了时-频窗或称分辨率单元，时-频局部化的几何直观描述，如下图所示。时-频平面又称相平面，在非平稳信号、突发信号的分析和处理中它有着重要作用.第18页，共139页，2023年，2月20日，星期六19图5.2.1第19页，共139页，2023年，2月20日，星期六203.窗函数条件：若g（t）是满足局部化要求的时窗函数，则要求t*和△t均为有限值，即要求或只需同理，若G（ω）是满足要求的频窗函数，则要求第20页，共139页，2023年，2月20日，星期六21示意说明第21页，共139页，2023年，2月20日，星期六22结论：若选一个函数g（t）作为时窗，其频谱函数G（ω）作为频窗，则g（t）和G（ω）应同时有较强的衰减特性，应满足式（5.2.9）和（5.2.10）的要求。根据局部化要求，为了提高时间分辨率和频率分辨率，希望△t，△ω越小越好，但它们之间存在着相互制约的关系，必须服从信号的海森堡测不准原则（HeisenburgUncertainityPrinciple）,即

,这意味着只能以时间分辨率交换频率分辨率，或者以频率分辨率交换时间分辨率。第22页，共139页，2023年，2月20日，星期六23

引起测不准原理的最初问题是爱因斯坦提出的。海森伯发现要知道粒子现在之位置,必须利用光射上这个粒子令它绕射而指出其位置。

补充第23页，共139页，2023年，2月20日，星期六24测不准原理表明：同时严格确定两个共轭变量（例如，位置和速度）的数值是不可能的，它们的数值的准确度有个下限。这是一条自然定律。它说明，在原子层次上，同时得到一个粒子的位置和速度的严格准确的测量在原则上是不可能的。如果以△p表示粒子位置的测量误差，以△x表示粒子动量的测量误差，则同时测定二者时，精确度极限为：式中h为Planck常数，6.626×10-34J·s补充第24页，共139页，2023年，2月20日，星期六254.Gabor变换的局限性由式（5.2.6）、（5.2.7）和图5.2.1可以看出，对于给定的窗函数g（t），Gabor变换的时-频窗在时-频相平面上的大小是不变的。对于任意时刻b和任意频率ω，Gabor变换的时-频窗以（b，ω）为中心，窗宽为2△t，窗高为2△ω。但在实际应用中，由于信号的频率与其持续时间成反比，故对高频信号检测时，因其持续时间较短，需要较窄的时间窗，以保证一定的精度；而对低频信号检测时，由于其持续时间相对较长，因而要求有较宽的时间窗，以便获得充分的信息。[t*-△t,t*+△t]（5.2.6）第25页，共139页，2023年，2月20日，星期六26图5.2.1第26页，共139页，2023年，2月20日，星期六27结论：即需要一个灵活可变的分辨率单元，使其面对高频成分（以较高的频率值为分辨率中心）时自动变窄，空间局部化程度相对减弱，具有”变焦“功能。这种较理想的分辨率单元（时-频窗）在时间-频率相平面上的分布如图5.2.2所示。显然，Gabor变换不能满足这种实际问题的要求，从而引出了满足上述要求的小波变换。第27页，共139页，2023年，2月20日，星期六28图5.2.2第28页，共139页，2023年，2月20日，星期六295.3小波变换的引出引言：小波分析是当前数学界一个迅速发展新领域，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。小波变换的概念是由法国地球物理学家J.Molet

1974年首先提出，并通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学界的认可。正如1807年法国的热工学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到著名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。第29页，共139页，2023年，2月20日，星期六30幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似于现在的小波基；1986年著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作创建了构造小波基的方法及其多尺度分析方法，小波分析才开始蓬勃发展起来。其中，比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲》（TenLecturesonWavelets），A.Cohen，I.Daubechies,J.C.Feauveau构造了紧支撑双正交小波基，是图像编码领域最常用的小波内核。Antonini，Daubechies对小波的推广应用起了重要作用。第30页，共139页，2023年，2月20日，星期六31小波分析与Fourier变换、窗口Fourier变换（Gabor变换）相比，它是一个时间和频率的局部变换，因而能有效的从信号中提取信息（有效地表示信号），通过伸缩和平移等运算对函数或信号进行多尺度细化分析（MultiscaleAnalysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，因而小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的发展（贡献）。第31页，共139页，2023年，2月20日，星期六32小波分析的应用，是与小波分析的理论研究紧密地结合在一起的。现在，它已经在科技信息产业领域取得了令人瞩目的成就。电子信息技术是六大高新技术中重要的一个领域，它的一个重要分支是图象和信号处理。现今，信号处理已经成为当代科学技术工作的重要部分，信号处理的目的就是：准确的分析、诊断（特征提取与识别）、编码压缩和量化、快速传递和存储、精确地重构（或恢复）。从数学角度来看，信号和图象处理可统一看作是信号处理（图象可以看作二维信号），小波分析的许多应用，都可以归结为信号处理问题。现在，对于平稳信号的处理，理想工具仍然是傅立叶分析。但实际应用中的绝大多数信号是非平稳的，适用于非稳定信号处理的有效工具就是小波变换。第32页，共139页，2023年，2月20日，星期六33小波分析的应用领域十分广泛，它包括：数学领域的许多学科；信号分析与图象处理；量子力学与理论物理；军事电子对抗与武器智能化；模式分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等。例如在数学方面，用于数值分析、构造快速数值计算方法、曲线与曲面构造、微分方程求解、控制论等；信号处理方面的滤波、去噪、压缩、传输等；图象处理方面的压缩、分类、识别，特征提取，去噪，增强，分割等；医学成像方面的减少B超、CT、核磁共振成像的时间，以提高分辨率等。第33页，共139页，2023年，2月20日，星期六34小波变换用于信号与图象压缩是小波分析应用的一个重要方面。它的特点是：①压缩比高②压缩速度快③压缩后能保持信号与图象的特征不变④传输中抗干扰。基于小波变换的数据压缩方法很多，较为成功的有小波包，小波域纹理模型，小波变换向量压缩。小波编码有EZW，SPIHT，EBCOT，基于小波的可伸缩编码和视频压缩等。第34页，共139页，2023年，2月20日，星期六35小波发展的历史：1910年，Haar就是用方波构建了小波，对不同的尺度，构成一个正交系(当时未称为小波)。1982年德国数学家Strömberg第一个建立出小波，是用样条函数来构造小波函数。1993年，Y.Meyer在《Waveletalgorithms》SocietyforIndustrialandAppliedMathematics，一书中对小波的形成历史有详细的归纳。1996年，Daubechies在《Wheredowaveletscomefrom-Apersonalpointofview》中，从工程应用角度归纳了小波的发展历史。tψ(t)-1+11/21Haar函数第35页，共139页，2023年，2月20日，星期六36小波变换的含义：利用基小波[母小波：motherwavelet]ψ(t)作平移τ后，再在不同尺度a下与待分析信号f(t)作内积：其频域表示为：其中，F(ω),

Ψ

(ω)为信号f(t)和小波函数ψ(t)的Fourier变换。第36页，共139页，2023年，2月20日，星期六37小波变换的粗略解释：用镜头观察目标x（t）[待分析信号]，ψ(t)代表镜头所起的作用（滤波或卷积）。相当于使镜头相对于目标平行移动，a的作用相当于镜头向目标推进或远离。a越大相当于频率越低。小波被誉为分析信号的数学显微镜。小波变换的特点：（1）多分辨率特性：具有多分辨率（multi-resolution）[多尺度（multi-scale）]的特点，可以由粗到精地逐级观察（表示）信号；可看成采用基频为Ψ(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波。第37页，共139页，2023年，2月20日，星期六38+0-小大a值ψ(t)由粗到精地逐级观察（表示）信号；可看成采用基频为Ψ(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波图5.3.1第38页，共139页，2023年，2月20日，星期六39小波变换的特点（续）：(2)恒Q性：由Fourier变换的尺度特性可知，若ψ(t)的Fourier变换为Ψ(ω),

则ψ(t/a)的Fourier变换为|a|Ψ(aω)。因此这组滤波器具有品质因数恒定[带宽与中心频率之比恒定]的特点。如下图所示。（3）时频局部化特性：基小波ψ(t)在时域上为有限支撑(紧支),Ψ(ω)在频域上较为集中，这样可使WT在时、频两域都具有表征信号局部特性的能力，因此有利于检测信号的瞬态或奇异点。(4)与人类感知机理的相似性：人类感知过程（视觉，听觉）的生理过程机制与小波分析极为类似，因此小波同时也引起生物医学，神经生理学工程界的关注。第39页，共139页，2023年，2月20日，星期六40第40页，共139页，2023年，2月20日，星期六41红蓝绿红蓝绿第41页，共139页，2023年，2月20日，星期六42第42页，共139页，2023年，2月20日，星期六43图像多尺度分解，(a)一层分解，(b)二层分解第43页，共139页，2023年，2月20日，星期六44Forexample:FourierBasisTheoriginalsignalhasN=1024samples.TheapproximatedsignalsarereconstructedfromM=64Fouriercoefficientsthatarethelinearapproximationorthenon-linearapproximation.Notethatthepeakinthemiddleoftheoriginalsignaliscompletelymissedinbothschemes.第44页，共139页，2023年，2月20日，星期六45Continue:WaveletBasisWaveletbasiswithtwovanishingmomentsandsixlevelsofdecomposition.Thesignalisalmostperfectlyrecoveredinthenon-linearapproximationscheme.第45页，共139页，2023年，2月20日，星期六46小波变换的硬件上实现：基于小波压缩技术的良好性能，美国生产DSP的著名厂商AnalogDevices公司，已开始提供支持小波压缩的编码/解码芯片。Intel公司更是利用小波压缩算法重新设计了它的Indeo视频交互系统。在新的Indeo视频交互系统中，舍弃了原来的压缩技术，而采用了性能更加良好的小波压缩的算法。第46页，共139页，2023年，2月20日，星期六47希尔伯特变换第47页，共139页，2023年，2月20日，星期六48希尔伯特变换(续)第48页，共139页，2023年，2月20日，星期六49注释：内积可表示为：，*：代表共轭5.4连续小波变换5.4.1连续小波变换的定义1.定义：设f(t)是平方可积函数[f(t)∈L2(R)]，ψ(t)是基小波或称为母小波函数（motherwavelet），则小波变换的时域表示：称为f(t)的小波变换。式中a>0是尺度因子，反映位移，其值可正可负，即

∈R。CWT：continuouswavelettransform

第49页，共139页，2023年，2月20日，星期六502.连续小波变换的物理意义：Fourier变换可表示为物理意义：任意一个信号可表示为不同频率的正弦波的线性叠加，积分核(核函数/变换核)为ejωt，如图5.4.1所示。小波变换表示为：物理意义：任意一个信号可表示为不同频率的小波的线性叠加，积分核（核函数/变换核）为小波基(t)。第50页，共139页，2023年，2月20日，星期六51图5.4.1

不同频率的正弦波的线性叠加第51页，共139页，2023年，2月20日，星期六523.尺度因子a的作用：①将基小波ψ(t)作伸缩，a越大ψ(t/a)越宽。对一个持续时间有限的小波，ψ(t)与ψa(t)间的关系如图5.4.2所示。不同尺度下小波的支撑区间a加大而变宽，幅度则与图5.4.2成反比减小，但波形不变。图5.4.3表示不同a值下小波分析区间的变化。图5.4.2图5.4.3第52页，共139页，2023年，2月20日，星期六53②小波

前的尺度因子使不同a值下ψa(t)的能量守恒。简单证明如下：设是基小波的能量，则ψa(t)的能量为令：，则有证毕第53页，共139页，2023年，2月20日，星期六544.小波变换的频率特性：小波变换的频域表示为①若()是幅频特性较为集中的带通函数，则小波变换具有描述信号f(t)在频域上F()局部特性的能力。证明（略）例如，Morlet小波的频谱它是中心频率在0的高斯型函数，如图5.4.4所示，只要改变0，小波就可描述F()在0附近的局部特性。第54页，共139页，2023年，2月20日，星期六55图5.4.4不同尺度下的小波频率特性第55页，共139页，2023年，2月20日，星期六56②不同a值的(a)，虽然中心频率和带宽都不同，但品质因数不变（小波函数具有恒Q性），图5.4.5表示不同a值下小波变换的频率范围。从频率上看，用不同尺度a作小波变换等同于用一组带通滤波器对信号进行滤波。举例说明：Morlet小波，当a=2时，(t/2)的傅里叶变换是可见，中心频率由0降到0/2，带宽由降到。第56页，共139页，2023年，2月20日，星期六57图5.4.5不同a值下小波的频率范围小大小大第57页，共139页，2023年，2月20日，星期六58红（高频）蓝（中频）绿（低频）红蓝绿第58页，共139页，2023年，2月20日，星期六59+0-小大a值ψ(t)由粗到精地逐级观察（表示）信号；可看成采用基频为Ψ(ω)的带通滤波器在不同尺度a下对信号作滤波图5.3.1补充对信号进行细节分析对信号进行全貌分析大小值镜头的滤波或卷积第59页，共139页，2023年，2月20日，星期六60第60页，共139页，2023年，2月20日，星期六61实验结果分析：①从频域来看，用不同尺度作小波变换等同于用一组带通滤波器对信号进行滤波。②结合上述分析，小波变换在时-频平面上的基本分析单元如图5.4.6所示，当a值小时，时轴上观察范围小，而在频域上相当于用高频作分辨率较高的分析，即用高频小波作细节观察。③当a值大时，时轴上观察范围大，而在频域上相当于用低频作分辨率较低的分析，即用低频小波作概貌观察。④虽然分析频率有高有低，但在各频段内分析的品质因数Q保持不变。第61页，共139页，2023年，2月20日，星期六62图5.4.6典型小波函数分析特点(a)尺度变化的影响(b)基本分析单元的特点a小a大高频小波作细节观察低频小波作概貌观察分析频率有高有低，但在各频段内的品质因数Q不变。第62页，共139页，2023年，2月20日，星期六63第63页，共139页，2023年，2月20日，星期六641Q2=50Q3=100Q1=20Q越大，谐振曲线越尖锐1谐振曲线Q3=100Q2=50Q1=20Q越大，相频曲线越陡峭。谐振频率附近，相频特性曲线近似为直线。1第64页，共139页，2023年，2月20日，星期六65结论（1）：小波这一特性正好符合很多实际工程的需要。若需要在时域上观察的越细致，就越要缩短观察范围，以提高分析频率，这一点与人类视觉特点一致。结论（2）：生理学研究表明，听觉起关键作用的耳蜗基底膜，其作用相当于一组具有恒Q特性的带通滤波器。结论（3）：人类生理信号的高频分量持续时间较短，低频分量持续时间较长，这一特性与小波变换完全吻合。第65页，共139页，2023年，2月20日，星期六665.4.2连续小波变换的数学特性小波变换是以(t)为核函数对f(t)的线性变换。其基本特性为：1.叠加性：若x(t)的CWT为WTx(a,)，y(t)的CWT为WTy(a,)，则有z(t)=k1x(t)+k2y(t)的CWT是k1WTx(a,)+k2WTy(a,)。2.时移性：若f(t)的CWT是WTf(a,)，则f(t-t0)的CWT是WTf(a,-t0)。3.尺度转换：若f(t)的CWT是WTf(a,)，则f(t/)的CWT为物理意义：当信号f(t)作某一倍数伸缩时，则小波变换在a，两轴上也作同一比例的伸缩，不发生形状失真。这是使小波变换成为“数学显微镜”的重要依据。第66页，共139页，2023年，2月20日，星期六674.无交叉项：由于CWT是线性变换，满足叠加性，因此不存在交叉项。但它的能量分布函数|WTx(a,)|2仍有交叉项，设x(t)=x1(t)+x2(t)，则有|WTx(a,)|2=|WTx1(a,)|2+|WTx2(a,)|2+2|WTx1(a,)||WTx2(a,)|cos(x1-x2)式中，x1，x2为WTx1（a，），WTx2（a，）的幅角。说明：小波变换的交叉项只出现在WTx1和WTx2同时不为零的（a，）处，即两者互相交叠的区域，小波有抑制交叉项的作用。第67页，共139页，2023年，2月20日，星期六685.小波变换的内积定理：以基本小波(t)分别对x(t),y(t)作小波变换。设x(t)的CWT是：WTx(a,)=<x(t),a(t)>；设y(t)的CWT是：

WTy(a,)=<y(t),a(t)>其中第68页，共139页，2023年，2月20日，星期六69则有其中这就是小波变换的内积定理，也叫Moyal定理。上式也可写成：第2个内积次序对调反映了取共轭。第69页，共139页，2023年，2月20日，星期六70证明：首先根据巴塞瓦尔定理的广义形式：则有另外的FT为其共轭为：第70页，共139页，2023年，2月20日，星期六71将（iii）和（iv）代入（i）和（ii），再把式（i）、（ii）代入式（5.4.3）的左边，并考虑可得设中括号内的积分存在，即第71页，共139页，2023年，2月20日，星期六72则上式最后成为由证明可知，内积定理成立是以c存在为条件。又由于＇=a，而a值非负，因此存在条件可以用精确的数学语言写为第72页，共139页，2023年，2月20日，星期六73引言：小波变换与其他常用变换（傅立叶变换，拉氏变换）的主要区别是，没有固定的核函数，且不是任何函数都可作小波变换的基小波ψ。在工程应用中，任何变换都必须在存在反变换才有意义，但反变换不一定都存在。对小波变换而言，必须满足“容许条件”,反变换才存在。5.5小波变换的反演及小波的基本条件第73页，共139页，2023年，2月20日，星期六745.5.1容许条件（admissibilitycondition）当时，才能使小波变换WTf(a,τ)反演出源函数f(t)。此时第74页，共139页，2023年，2月20日，星期六75由容许条件导出的结论：基小波必须满足“零特性”，即(=0)=0，也就是说()必须具有带通特性，且(t)必须是正负交替的振荡波形，使得其平均值为零，因此称为小波（wavelet）。证明：()第75页，共139页，2023年，2月20日，星期六765.5.2能量的比例性（isometryenergy）由Moyal公式能引出类似于巴塞瓦尔定理的关系，即小波变换幅度平方的积分和信号的能量成正比。证明略第76页，共139页，2023年，2月20日，星期六775.5.3正则性条件（regularitycondition）一般来讲，满足容许条件的ψ就可作为基小波，但实际应用中，还需要附加更强的条件，即正则性条件，以使()在频域上具有更好的局部特性，因此要求|WTf（a，τ）|随a的减小而迅速减小。这就要求ψ(t)的前n阶原点矩=0，且n值越大越好，数学表示为这个要求在频域表示为()在=0处有高阶零点，且阶次越高越好，其一阶零点就是容许条件，即n又称为消失矩（vanishingmoments）

。

第77页，共139页，2023年，2月20日，星期六78式（5.5.1）和（5.5.2）为正则性条件（时域和频域的两种表示）。证明：由于将f(t)在t=处作泰勒级数展开，有仅取上式的前n项可得第78页，共139页，2023年，2月20日，星期六79即式中，若p=0为容许条件M0=0；进一步p=1~n,Mp=0，则WTf(a,)将随着a的减小以不低于的速度减小。命题得证。第79页，共139页，2023年，2月20日，星期六80(5.5.1)和(5.5.2)的等效性的示意性说明：由于第80页，共139页，2023年，2月20日，星期六81因此，等效于即：结论：正则性条件消除了f(t)多项式展开中tp（pn）各项在小波变换中的贡献，以便突出信号的高阶起伏和高阶导数中可能存在的奇异点，即小波变换可描述信号的高阶变化。第81页，共139页，2023年，2月20日，星期六825.5.4重建核（reproducingkernel）与重建核方程重建核方程是小波变换的另一个重要性质，它说明小波变换的冗余性。即：在a-τ半平面上各点小波变换的值是相关的。半平面某点（a0,τ0）处的小波变换WTf(a0,τ0)可以表示成半平面（a∈R+，τ∈R）上其他各点处WT值的总贡献（contribution）：第82页，共139页，2023年，2月20日，星期六83Kψ是小波ψaτψa0τ0的内积，它反映了两者的相关程度，称为重建核，式（5.5.4）称为重建核方程。式中，第83页，共139页，2023年，2月20日，星期六84证明：由小波变换和反变换的定义式可得将下式代入上式得则它为式（5.5.4）和（5.5.5），证毕。重建核第84页，共139页，2023年，2月20日，星期六85DWT变换WTf(a0,0)第85页，共139页，2023年，2月20日，星期六86例如K=（-0，a-a0），此时a-半平面内各点的小波变换互不相关，小波变换所含信息无冗余，此时不同尺度和不同位移的小波互相正交。结论：K反映了a(t)和a00(t)的相关性。若a=a0，=0时K取得最大值，即相关性最大；若（a，）偏离（a0，0）时WTf(a,)衰减较快，两者的相关区域较小。第86页，共139页，2023年，2月20日，星期六871.Morlet小波：它是高斯包络下的单频率复正弦函数：如图5.6.1所示（0=6）。实线代表实部，虚线代表虚部。由于它的时、频两域的局部性能都较好，是一个常用小波。另外，Morlet小波不满足容许条件（(=0)≠0）（严格讲它也不是紧支撑），但在实际应用时只要取0≥5时近似满足容许条件。此时，由于()在=0处斜率较小，故()在=0处的一阶、二阶导数近似为零。5.6常见的基本小波第87页，共139页，2023年，2月20日，星期六88图5.6.2Morlet小波第88页，共139页，2023年，2月20日，星期六89图5.6.1Morlet小波第89页，共139页，2023年，2月20日，星期六902.Marr小波（墨西哥草帽小波）：它是高斯函数的二阶导数（但差一个负号），即但为满足(t)归一，即，也可使用下面的归一化形式：在=0时()有二阶零点，故满足容许条件，且随增大而迅速衰。另外，Marr小波比较接近人类视觉特性。第90页，共139页，2023年，2月20日，星期六91图5.6.3Marr小波第91页，共139页，2023年，2月20日，星期六923.DOG(differenceofgaussian)小波：是两个差一倍的高斯函数之差：DOG小波满足容许条件，，即DOG小波在=0处有二阶零点。第92页，共139页，2023年，2月20日，星期六93图5.6.4DOG小波第93页，共139页，2023年，2月20日，星期六944.Haar小波：Haar函数是一组相互正交归一的函数集。Harr小波是由它衍生而得的。Haar小波是支撑域[0，1]内的单个矩形波。即由于，因此()在=0处只有一阶零点.分析：Haar小波时域不连续，因此作为基小波性能并不理想，但它主要的优点有，计算简单；(t)不但与(2jt)[jZ]正交[

],而且也与自己的整数位移[]正交。因此，在a=2j的多分辨系统中构成一组最简单的正交归一小波族。第94页，共139页，2023年，2月20日，星期六955.样条小波（splinewavelet）:样条函数在曲线拟合中不仅使拟合出的曲线本身平滑且其导数也平滑。样条函数是低通函数，不是带通函数，不能用作小波。但由样条函数却能导出一组具有带通性质的小波变换。三次样条函数在任意两整数k和k+1之间可用一个三次多项式表示，整个曲线一次连续可微。三次样条小波的时域表示较为复杂，其频域表示式为：∑8（）是的6阶导数，三次样条小波在=0处有三阶零点。第95页，共139页，2023年，2月20日，星期六96图5.6.5三次样条小波第96页，共139页，2023年，2月20日，星期六976.Daubechies小波:尺度为2的整数幂（a=2j,j∈Z+）的小波变换，具有以下特点。①时域上有限支撑，即ψ(t)长度有限，且其高阶原点距tpψ(t)dt=0,p=0~N,N值越大，ψ(t)的长度越长。②在频域上()在=0处有N阶零点。③ψ(t)和它的整数位移正交归一，即ψ(t)ψ(t-k)dt=δk。第97页，共139页，2023年，2月20日，星期六98小波函数的主要性质：①小波函数ψ(t)可以由尺度函数（scalingfunction）(t)求得。(t)长度有限，支撑区间在t=0（2N-1）范围内，例如N=2，(t)在0

3。图5.6.5给出了不同N值下的(t)的波形。②(t)是φ(2t)的移位加权和，K值从（2-2N）1。N值不同权值gk也不同。由于(t)是有限支撑，故由式（5.6.1）得到的ψ(t)也是有限支撑，且它的长度与(t)相同，是2N-1，始于1-N，终于N.③尺度函数(t)是低通函数，求法后述。图为N=2，3，5，7，9时的(t)和(t)的波形图，它们很难用解析表示。第98页，共139页，2023年，2月20日，星期六99t=0（2N-1）(1-N，N)第99页，共139页，2023年，2月20日，星期六100图6.5.6各阶Daubechies小波(t)和相应尺度函数φ(t)t=0（2N-1）(1-N，N)第100页，共139页，2023年，2月20日，星期六101Daubechies16阶Daubechies11阶双正交6.8Meyer第101页，共139页，2023年，2月20日，星期六102一维信号f(t)作小波变换成为二维的WTf(a,)后，其信息是有冗余的。根据数据压缩（去冗余）和降低计算复杂度的要求，期望只在一些离散的尺度a和位移处计算小波变换，且又不丢失信息。为此，下面讨论离散栅格的取法及其正反变换。5.7离散小波变换第102页，共139页，2023年，2月20日，星期六1031.尺度离散化：一般是对尺度按幂级数离散化。即令则小波函数为2.位移离散化：当a=a00=1（j=0）时，可以某一基本间隔0作均匀采样。0应适当选择以使信息覆盖全轴而不丢失（例如：不低于Nyquist频率）。在其他各尺度下,由于的宽度是(t)的a0j倍，相当于其频率降低了a0j倍。第103页，共139页，2023年，2月20日，星期六104即：在某一j值下沿轴以为间隔作均匀采样仍可保证信息不丢失，这样小波函数a(t)便可写成：记为。在a-半平面的这些离散点的小波变换为式（5.7.1）一般称为离散小波变换（discretewavelettransform,DWT）。其实，此时的待分析信号f(t)和分析小波中的时间变量t并没有离散化，因此严格讲是离散栅格下的小波变换。第104页，共139页，2023年，2月20日，星期六105工程应用：最常见的情况是取a0=2,因此a为20,21,22,…,2j.若采用对数坐标，并以ln2为坐标单位，则尺度因子和位移因子如图5.7.1所示。在a=2j时,沿τ轴的采样间隔为2jτ0，即j每增加1，则采样间隔扩大1倍。a-平面内的采样点如上图所示。此时ψaτ(t)为：当τ轴用τ0加以归一时，即令τ0=1，则ψaτ(t)为则小波变换为：第105页，共139页，2023年，2月20日，星期六106图5.7.1-1-2-3-4-5-6a图5.7.1第106页，共139页，2023年，2月20日，星期六107

离散小波变换的定义待处理的信号基底，“滤波镜片”共轭第107页，共139页，2023年，2月20日，星期六108小波基底的基本运算缩放(Scaling)分析高频成分分析低频成分不同的j第108页，共139页，2023年，2月20日，星期六109小波基底的基本运算平移(shifting)相同的j，不同的kF(j,k1)=0.0001F(j,k2)=3.5000时刻k1时刻k2原始信号第109页，共139页，2023年，2月20日，星期六110小波变换举例时间k尺度j(频率)第110页，共139页，2023年，2月20日，星期六111小波变换举例第111页，共139页，2023年，2月20日，星期六112小波框架的引出：①能否完整地表征f(t)?即：能否由的数值稳定地重建信号f(t)？②任意函数f(t)都可以表示成以为基本单元的加权和？如果答案是肯定的，权值cjk如何求？这两个问题的答案是统一的，它们将建立在数学上所谓的“框架理论”（frametheory）基础上的。第112页，共139页，2023年，2月20日，星期六113霍金教授的办公室（剑桥大学）“我的书每增加一个公式，读者就减少一半”——霍金教授第113页，共139页，2023年，2月20日，星期六114

Who’swhoinWavelet!I.DaubechiesS.MallatWimSwelden第114页，共139页，2023年，2月20日，星期六115Daubechies介绍IngridDaubechies是普林斯顿大学(PrincetonUniversity)数学系和应用数学与计算数学研究中心教授。她曾在布鲁塞尔(Brussels)的佛雷大学(FreeUniversity)理论物理系工作，后任著名的AT&T贝尔实验室高级研究员，是卢特格大学(RutgersUniversity)数学系的教授(FullProfessor)。她曾获得1997年RuthLyttleSatter数学奖。她频繁应邀到世界各地作学术报告，发表了大量学术论文，出版了许多学术著作。第115页，共139页，2023年，2月20日，星期六116小波分析的参考书荣获1994年LeroyP．Steele奖。该书印数超过15000册，这在学术著作中是极为罕见的。ISBN：7-118-03381-2作者：Daubechies,李建平，杨万年译

第116页，共139页，2023年，2月20日，星期六117小波分析的参考书信号处理的小波导引（英文版·第2版）

AWaveletTourofSignalProcessing

ISBN：7-111-12768作者：S.Mallat

第117页，共139页，2023年，2月20日，星期六118小波分析的参考书信号处理的小波导引（原书第2版）AWaveletTourofSignalProcessing

ISBN：7-111-10159-6作者：S.Mallat

译者：杨力华第118页，共139页，2023年，2月20日，星期六119Frame：Grossman,Morlet5.8.1框架的概念先定义一个线性变换[Tf]j=<f(t),j(t)>,简记作<f,j>,j∈Z.当时，则此时的变换为小波变换。若能用Tf表征f，则此变换至少需满足以下两个条件：①变换的唯一性：若f1=f2,则Tf1=Tf2②

正变换的连续性：若f1与f2很接近，则Tf1=<f1,j>(j∈Z)与Tf2=<f2,j>(j∈Z)也很接近。5.8框架理论第119页，共139页，2023年，2月20日，星期六120令f=f1-f2代入上式可得当f1与f2很接近时，将任意小，因此任意小，即Tf1与Tf2很接近。③反变换的连续性若要求上述变换的反变换也连续，则需要满足：当<f1,j>(j∈Z)与<f2,j>(j∈Z)十分接近时，f1与f2也十分接近，则要求：数学描述为：第120页，共139页，2023年，2月20日，星期六121由（i）（ii）两式可得：合理的变换Tf满足以上三个条件。由式（5.8.1）要求的[j|j∈Z]便称为一个框架（frame）。框架的的含义：①范数║f║0的任意函数，其在框架上的投影<f,j>至少有一个不等于零。②范数║f║的函数，其在框架上各投影的平方和有界。第121页，共139页，2023年，2月20日，星期六122当A=B时称为紧框架(tightframe)：当A=B=1时：式（5.8.2）是正交变换的能量守恒特性，且此时的j组成一组正交基注意：满足式（5.8.1）的框架[j，j∈Z]不一定满足正交条件。第122页，共139页，2023年，2月20日，星期六123举例：设,如图所示，并设f=[f1,f2],则有：可见1,2,3构成一个紧框架，但由于它们不是线性无关，故不构成正交基，即：1+2+3=0。不过还是可以由<f,j>,j=1,2,3重建f，即：框架不正交，故重建关系式（iii）不具有唯一性。第123页，共139页，2023年，2月20日，星期六124例如，上例中由于，故下式也成立k是任意常数。又由于，故有结论：把f按式（ii