机械基础-直杆的基本变形

电子工业出版社第2章直杆的基本变形第一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形★

机械零件的基本变形图例图2-1螺栓零件的轴向拉伸4、螺栓的尺寸、承受的力已定，选用什么材料最经济？(a)

(b)

1、螺栓在受到轴向力时，会产生怎样的变形？2、螺栓的材料、截面尺寸已定，螺栓能承受多大的力？3、螺栓的材料已定，为保证承受一定的力，螺栓的尺寸如何选定？第二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

1．会判断直杆的基本变形。

2．会分析直杆轴向拉伸与压缩时的内力；了解应力、变形、应变的概念。

3．了解材料的力学性能及其应用，了解直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算。

4．会判断连接件的受剪面与受挤面。

5．了解圆轴扭转时横截面上切应力的分布规律。

6．了解纯弯曲时横截面上正应力的分布规律。

7．了解组合变形、交变应力与疲劳强度、压杆稳定等的概念。学习目标第三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

能力目标

在解决工程实践中承载能力方面的问题时具有一定的分析能力和初步的实践能力。

第四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形2.1直杆的轴向拉伸与压缩2.3圆轴的扭转2.2连接件的剪切与挤压2.4直梁的弯曲*2.5组合变形*2.6交变应力与疲劳强度*2.7压杆稳定的概念第五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．1直杆的轴向拉伸与压缩

2.1.1轴向拉伸与压缩在轴向力作用下，杆件产生伸长变形称为轴向拉伸，简称拉伸，在轴向力作用下，杆件产生缩短变形称为轴向压缩，简称压缩.图2-2连接螺栓图2-3起重机的支腿第六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形工程中有很多构件在工作时是受拉伸或压缩的。虽然杆件的外形各有差异，加载方式也不同，但对其受力情况一般如图2-4所示进行简化。图2-4受力简化轴向拉伸和压缩变形具有以下特点:（1）受力特点——作用于杆件两端的外力大小相等，方向相反，作用线与杆件轴线重合。（2）变形特点——杆件变形是沿轴线方向伸长或缩短。第七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2.1.2内力

1．内力手拉弹簧时，手中会感到弹簧内部有一种反抗伸长的抵抗力存在，而且手用力越大，弹簧伸长越长，这种反抗伸长的抵抗力也就越大。图2-5弹簧拉力器第八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形因外力作用而引起构件内部之间的相互作用力，称为附加内力，简称内力。外力越大，内力随着增大，变形也就越大，当内力超过一定限度时，杆件就会被破坏。内力是外力作用引起的，不同的外力会引起不同的内力，轴向拉、压变形时的内力称为轴力，用FN或N表示。剪切变形时的内力称为剪力，用FQ表示。扭转变形时的内力称为扭矩，用MT或T表示。弯曲变形时的内力称为弯矩(Mw)与剪力(FQ)，如图2-6所示。第九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（b）剪切变形

(d)弯曲变形图2-6四种基本变形的内力内力为轴力：与轴线重合内力为剪力：与截面平行内力为扭矩：作用在横截面内的内力偶。内力为弯矩：作用在杆轴线平面内的内力偶（剪力可略去）（a）轴向拉、压变形(c)扭转变形第十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．内力的计算——截面法横截面上的内力指横截面上分布内力的合力。（1）截面法的基本思想假想地用截面把构件切开，分成两部分，将内力转化为外力而显示出来，并用静力平衡条件将它算出。第十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（2）截面法的步骤：①截开：在需要求内力的截面处，假想地将构件截分为两部分。②代替：将两部分中任一部分留下，并用内力代替弃之部分对留下部分的作用。③平衡：用平衡条件求出该截面上的内力。（a）（b）（c）研究对象－杆的内力（FN）①截开②代替③平衡：ΣFX=0FN-F=0

FN

=F第十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

例2-1一直杆受外力作用，如图2-8所示，求此杆各段的轴力。图2-8直杆受外力作用第十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（ａ）（ｂ）（ｃ）解：计算各段轴力，将杆分为AB、BC和CD三段，逐段计算轴力。设各段的轴力均为拉力，由截面法求解：

AB段∑Fx=0FN１－6=0解得FN１＝6kN（拉力）

BC段∑Fx

＝0FN２

+10-6＝0解得FN２＝-4kN(压力）

CD段∑Fx

＝04－FN３＝0解得FN３＝4kN（拉力）（d）图2-9用截面求各段轴力第十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形特别提示：

1．运用截面法时力的可移性原理是不适用的。

2．轴力——垂直于横截面并通过形心；轴力的单位：N（牛顿）、KN（千牛顿）；轴向拉力（轴力方向背离截面）为正；轴向压力（轴力方向指向截面）为负。第十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形2.1.3应力第十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形如果两根杆件材料一样，所受外力相同，只是横截面面积大小不同，但是内力是一样的，显然较细的杆件容易破坏。因此，只知道内力还不能解决强度问题.工程上常用应力来衡量构件受力的强弱程度。构件在外力作用下，单位面积上的内力称为应力。某个截面上，与该截面垂直的应力称为正应力；与该截面相切的应力称为切应力。由于拉伸或压缩时内力与横截面垂直，故其应力为正应力。正应力用字母σ表示，工程上常采用兆帕(MPa)作为应力单位。

1Pa＝1N／m2，1MPa＝lN／mm2

1GPa(吉帕)＝103MPa＝106kPa＝109Pa

第十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形σ＝FN/A

（2-1）式中σ——杆件横截面上的正应力，Pa；

FN——杆件横截面上的轴力，N；

A——杆件横截面面积，m2。

σ的正负规定与轴力相同，拉伸时的应力为拉应力，用“+”表示；压缩时的应力为压应力，用“－”表示。通过大量实验证明，杆件在轴向拉伸或压缩时，杆件的伸长或缩短变形是均匀的。轴力在横截面上的分布也是均匀的。如果横截面面积为A，该横截面上的轴向内力为FN，则正应力σ可用下式计算：第十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2.1.4变形与应变

1．绝对变形与相对变形轴向绝对变形为：△L=Lu－Lo

（2-2）直杆的原长为Lo，横向尺寸为d，受到拉(压)后，杆件的长度为Lu，横向尺寸为d1。对于拉杆△L为正值；对于压杆，△L为负值。图2-11拉杆图2-12压杆第十九页，共八十六页。

第2章直杆的基本变形绝对变形只表示了杆件变形的大小，但不能表示杆件变形的程度。为了消除杆件长度的影响。通常以绝对变形除以原长得到单位长度上的变形量——相对变形（又称线应变）来度量杆件的变形程度。用符号ε表示：

ε=△L／Lo=（Lu－Lo）／Lo

（2-3）式中ε无单位，通常用百分数表示。对于拉杆，ε为正值；对于压杆，ε为负值。第二十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．胡克定律杆件拉伸或压缩时，变形和应力之间存在着一定的关系，这一关系可通过实验测定。实验表明：当杆横截面上的正应力不超过一定限度时，杆的正应力σ与轴向线应变ε成正比，这一关系称为胡克定律，即：

σ=εE（2-4）该式为材料力学中一个非常重要的关系式。应用此关系式可以由已知的应力求变形；反之，也可以通过对变形的测定来求应力。常数E称为材料的弹性模量，它反映了材料的弹性性能。材料的E值越大，变形越小，故它是衡量材料抵抗弹性变形能力的一项指标。第二十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形表2—1几种常用材料的E值GPa材料名称E材料名称E碳钢196～216铜及其合金73～128合金钢186～206铝合金70灰铸铁78.5～157橡胶3若将ε＝△L／Lo和σ＝FN／A代入式σ＝εE，则可得到胡克定律的另一种表达形式：△L＝FNLo／（EA）（2-5）上式表明：当杆内的轴力FN不超过某一限度时，杆的绝对变形△L与轴力FN的大小及杆长L。成正比，与杆的横截面面积A成反比。对于长度相等、受力相同的杆，EA值越大，杆的变形越小，故乘积EA表示杆件抵抗拉（压）变形能力的大小，称为杆件的抗拉（压）刚度。第二十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2.1.5

材料拉伸与压缩的力学性能

1．拉伸时的应力－应变曲线（1）低碳钢利用等截面直杆的低碳钢材料（图2-14）试件，在万能材料试验机上进行拉伸实验，参见图2-13所示，可得到如图2-15所示的应力一应变曲线图。

图2-13万能材料试验机图2-14试件第二十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

图2-15低碳钢材料拉伸时的应力-应变曲线第二十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形利用该式可以确定材料的弹性模量E值。超过比例极限Rp后，从a点到a′点，σ与ε之间的关系不再为线性，但变形仍然是弹性的，这时的变形称为弹性变形。a′点所对应的应力是材料只出现弹性变形的极限值，称为弹性极限，用Re表示。实际上a和a′两点非常接近，所以工程上对弹性极限和比例极限并不作严格区分。①比例极限Rp

低碳钢等一类金属材料，在应力—应变曲线的初始阶段为一直线，表明在这一段内应力σ与应变ε成正比，材料服从胡克定律。a点是应力与应变成正比的直线部分最高点，与a点相对应的应力值称为比例极限，记为RP。由图2-15可以看出，直线Oα的斜率为：

tanα=σ/ε=E

（2-6）第二十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形②屈服极限Rel

当应力超过弹性极限后，应力-应变曲线上出现一段沿水平线上下波动的锯齿线段bc．应力几乎不变，应变却不断增加，从而产生明显的塑性变形的现象称为屈服．

试件表面出现滑移线，如图2-16所示。在实验期间，金属材料出现塑性变形而力不增加的应力点称为屈服强度。

上屈服强度是指试样发生屈服而力首次下降前的最高应力；

下屈服强度是指在屈服期间，不计初始瞬时效应时的最低应力。

通常把材料的下屈服强度作为材料的屈服极限，记为Rel。在实验进行到超过a′点后，若再卸除试样的拉力，则试样的变形不能完全消失．这部分不能消失的变形称为塑性变形。第二十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形机械零件和工程结构一般不允许发生塑性变形，所以屈服极限Rel是衡量塑性材料强度的重要指标。图2-16滑移线图2-17颈缩③抗拉强度Rm

。经过屈服阶段之后，材料又恢复了抵抗变形的能力。图形为向上凸起的曲线cd，这表明若要试件继续变形，必须增加外力，这种现象称为材料的强化。强化阶段的最高点d所对应的应力值，是试件断裂前能承受的最大应力值，称为材料的抗拉强度，用Rm表示。应力达到抗拉强度后，试件出现颈缩现象，如图2-17所示，随后即被拉断。所以抗拉强度是衡量材料强度的另一个重要指标。第二十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形④断后伸长率和断面收缩率

断后伸长率

A=×100％（2-7）

断面收缩率

Z=

×100％（2-8）

式中Ao——实验前试件的横截面面积；

Au——试件断口处最小横截面面积。

A、Z大，说明材料断裂时产生的塑性变形大，塑性好。工程上通常将A>5％的材料称为塑性材料，如钢、铜、铝等，如图2-18所示；A<5％的材料称为脆性材料，如铸铁、玻璃、陶瓷等，如图2-19所示。式中Lo——试件原来的标距长度；

Lu——试件断裂后的标距长度。第二十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（a）钢螺栓（b）铜棒（c）铝锅图2-18塑性材料（a）铸铁研磨平板（b）玻璃杯（c）陶瓷花瓶图2-19脆性材料第二十九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（2）灰铸铁图2-20脆性材料拉伸时的应力-应变曲线曲线没有明显的直线阶段和屈服阶段，在应力不大的情况下就突然断裂。抗拉强度Rm是衡量脆性材料的唯一指标。由于铸铁等脆性材料抗拉强度很低，因此，不宜作为承受拉力零件的材料。第三十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．压缩时的应力一应变曲线（1）低碳钢低碳钢在压缩时的比例极限Rp、屈服极限Rel。和弹性模量E均与拉伸时大致相同。但在屈服极限以后，不存在抗压强度。低碳钢压缩时的力学性能可直接引用拉伸实验的结果。（2）灰铸铁铸铁压缩时，其R-ε曲线无明显的直线部分，因此只能认为近似符合胡克定律。不存在屈服极限。铸铁的抗压强度远高于其拉伸时的抗拉强度。（a）低碳钢Q235（b）灰铸铁图2-21低碳钢和灰铸铁压缩的σ-ε曲线第三十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形脆性材料价格低廉、抗压能力强，宜作为承受压力构件的材料。特别是铸铁坚硬耐磨，有良好的吸振能力，且易于浇铸成形状复杂的零件，因此常用于机器底座、机床床身及导轨、减速箱箱体等受压零件，如图2-22所示。（a）冲床（b）导轨（c）减速箱体图2-22铸铁材料常用于受压零件第三十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形塑性材料和脆性材料力学性能的主要区别是：

实际上材料的塑性和脆性并不是固定不变的，它们会因制造方法、热处理工艺、变形速度和温度等条件而变化。常用金属材料在拉伸和压缩时的力学性能见表2-2。①塑性材料断裂前有显著的塑性变形，还有明显的屈服现象，而脆性材料在变形很小时突然断裂，无屈服现象。②塑性材料拉伸和压缩时的比例极限、屈服极限和弹性模量均相同，因为塑性材料一般不允许达到屈服极限，所以其抵抗拉伸和抗压缩的能力相同。脆性材料抵抗拉伸的能力远低于其抵抗压缩的能力。第三十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形材料名称牌号屈服极限σs／MPa抗拉强度Rm／MPa应用举例普通碳素结构钢Q235Q275235275375～460490～610金属结构件、一般紧固件优质碳素结构钢3545314353529598轴、齿轮等强度要求较高的零件低合金结构钢16Mn15MnV343412510549起重设备、船体结构、容器、车架合金结构钢40Cr30CrMnSiA7848339801078连杆、重要的齿轮和轴、重载零件球墨铸铁QT450-10QT600-3323412450600曲轴、齿轮、凸轮、活塞灰铸铁HTl50HT200—100～280(拉)650(压)160～320(拉)750(压)机壳、底座、夹具体、飞轮铝合金LY11LD9108～236274206～412412航空结构件、铆钉、内燃机活塞、机匣铜合金QSn4-4-4OAl9—4295196305490～590滑动轴承、轴套、减磨零件、电气设备零件表2-2常用金属材料在拉伸和压缩时的力学性能第三十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形现有低碳钢和铸铁两种材料，如图2-23所示，若杆件2选用低碳钢，杆件l选用铸铁，你认为合理吗?为什么?图2-23构架第三十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

1．危险应力和工作应力构件工作时由载荷引起的实际应力，称为工作应力。工作应力仅取决于外力和构件的几何尺寸。工程上把材料丧失正常工作能力的应力称为危险应力或极限应力，用σo表示。所谓正常工作，是指构件不产生塑性变形或断裂现象。*2.1.6直杆轴向拉伸和压缩时的强度计算对于塑性材料来说，因塑性材料达到屈服极限Rel时，材料将产生较大塑性变形或断裂，所以σo＝Rel。对于脆性材料来说，因脆性材料达到抗拉强度Rm时，材料将产生较大塑性变形或断裂，所以σo＝Rm。第三十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．许用应力和安全系数

（1）许用应力[σ]危险应力σo除以大于1的系数n，并将所得结果作为材料的许用应力，用[σ]表示，即：

[σ]＝σo／n

（2-9）

（2）安全系数n——构件工作的安全储备（表2-3）表2-3塑性材料和脆性材料的安全性能指标第三十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

3．强度条件

强度是指构件抵抗破坏的能力，包括构件抵抗发生塑性变形的能力。为了保证拉（压）杆不致因强度不够而失去正常工作的能力，必须使其最大正应力（工作应力）不超过材料在拉伸（压缩）时的许用应力[σ]，即：

σ＝FN／A≤[σ]（2-10）上式称为拉压强度条件方程，利用强度条件可解决工程中以下三类强度问题。（1）校核强度（2）选择截面尺寸（3）确定许可载荷第三十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

（1）校核强度

[σ]、A以及所受载荷都已知的条件下，验算杆件的强度是否足够，即用强度条件判断杆件能否安全工作。分析：已知活塞杆材料的许用应力、截面尺寸及外力，求活塞杆的强度，这是属于校核强度问题。解：

∵活塞杆的轴力：横截面上的应力为：图2-24液压缸

例2-2某铣床工作台的进给液压缸如图2-24所示，缸内工作压力p＝2MPa，液压缸内径D＝75mm，活塞杆直径d＝18mm，已知活塞杆材料的许用应力[σ]＝50MPa，试校核活塞杆的强度。∴活塞杆强度足够。第三十九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

（2）选择截面尺寸若已知杆件所受载荷和所用材料，根据强度条件，可以确定该杆所需的横截面面积，其值为：A≥FN／[σ]例2-3如图所示，钢质拉杆承受载荷F=20kN，若材料的许用应力[σ]=100MPa，杆的横截面为矩形，且b=2a，试确定a与b的最小值。解：（1）计算轴力由截面法可知：

FN＝F＝20kN（2）计算拉杆应有的横截面面积由A≥FN／[σ]得：

A≥20×103／100＝200mm2（3）确定横截面尺寸a和b

因横截面面积A＝a×b＝2a2故2a2≥200mm2解得a≥10mm，b≥20mm故a的最小值可取10mm，b的最小值可取20mm。图2-25钢质拉杆受力分析

第四十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

已知杆件尺寸（即横截面面积A）和材料的许用应力[σ]，根据强度条件，可以确定该杆件所能承受的最大轴力，其值为：

FN≤[σ]·A

由此静力学平衡关系可以确定构件或结构所能承受的最大载荷。（3）确定许可载荷第四十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（a）剪床工作原理（b）钢板受力图图2-26受剪钢板2.2连接件的剪切与挤压

2.2.1剪切与挤压的概念

1．剪切剪切时，上、下刀刃以大小相等、方向相反、作用线相距很近的两力F作用于钢板上，使钢板在两力间的截面m-m发生相对错动。

第四十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形第四十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

（1）剪切变形的定义当构件工作时，连接件的两侧面上受到一对大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近的外力作用，这时两力作用线之间的截面发生相对错动，这种变形称为剪切变形。发生相对错动的截面称为剪切面，它平行于作用力的作用线，位于构成剪切的两力之间。图2-28剪切变形第四十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（2）剪切变形的特点①受力特点作用在构件两侧面上的外力的合力大小相等、方向相反、作用线平行且相距很近。②变形特点介于两作用力之间的各截面，有沿作用力方向发生相对错动的趋势（图2-29）。图2-29剪切变形的特点

（3）剪切的实用计算为了对受剪切作用的构件进行抗剪强度计算，需先求出剪切面上的内力。现以图2-30所示的铆钉连接中的铆钉为例进行分析。用截面法将铆钉沿其截面m-m假想截开，取任意部分为研究对象，由平衡方程求得：第四十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-30铆钉受力分析

这个平行于截面的内力称为剪力。用FQ表示。其平行于截面的应力称为切应力，用符号τ表示。切应力在剪切面上的分布情况比较复杂，为了计算简便，工程中通常采用以实验、经验为基础的实用计算，即近似地认为切应力在剪切面上是均匀分布的，于是有：

τ=FQ/A

（2-11）式中τ——切应力，Pa或MPa；

FQ——剪切面上的剪力，N；

A——剪切面面积，mm2。第四十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．挤压（1）挤压的概念在杆件发生剪切变形的同时，往往伴随着挤压变形，如前述的铆钉和键联接，在传递力的接触面上，由于局部承受较大的压力，会出现塑性变形，这种现象称为挤压。发生挤压的接触面称为挤压面。挤压面上的压力称为挤压力。挤压面一般垂直于外力作用线。连接件和被连接件接触面相互压紧的现象称为挤压变形。挤压力过大时，在接触面的局部范围内将发生变形，或被压溃。这种因挤压力过大，连接件接触面出现局部变形或压溃的现象．称为挤压破坏，如图2-31所示。挤压面图2-31挤压第四十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

（2）挤压的实用计算挤压面上的作用力即挤压力，用FP表示。挤压面上由挤压引起的应力称为挤压应力，用σP表示。挤压应力在挤压面上的分布比较复杂，和剪切一样，工程中也采用实用计算，即假定认为挤压应力在挤压面上是均匀分布的，于是有：

σP=FP／Ap

（2-12）式中FP为挤压面上的挤压力，AP为挤压面的计算面积。第四十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形计算面积AP，需根据挤压面的形状来确定。如图2-32所示的键连接中，挤压面为平面。则挤压面的计算面积按实际接触面面积计算，即AP＝lh／2。对于销钉、铆钉等圆柱形连接件，如图2-33所示，其挤压面为半圆柱面，则挤压面的计算面积为半圆柱的正投影面积，即AP=dt，详见表2-3。图2-32键连接-平面挤压面图2-33半圆柱挤压面

2.2.2剪切面与挤压面

1．剪切面发生相对错动的截面称为剪切面，一般来说，剪切面与外力的方向平行，剪切面的面积按实际面积计算。

2．挤压面发生挤压的接触面称为挤压面，一般来说，挤压面与外力的方向垂直，挤压面的面积按挤压面的计算面积计算。第四十九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形表2-3常用连接件的剪切面、挤压面的计算第五十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形3．剪切面与挤压面的对比比较项剪切面挤压面所处的位置在构件所受的二力之间在构件与构件接触的表面，受外力作用处与外力的关系与外力平行与外力垂直计算方法无论是平面还是曲面，均按实际大小计算挤压面为平面时按实际大小计算，为圆柱面时用投影面积（dt）计算注意：挤压和压缩是两个完全不同的概念，挤压变形发生在两构件相互接触的表面．而压缩则是发生在一个构件上。第五十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形2.3圆轴的扭转

2.3.1圆轴扭转的概念轴受到垂直于轴线平面内的力偶作用时，轴各横截面间发生相对转动，这样的变形形式称为扭转变形。工程中发生扭转变形的构件外形各有不同，但以圆轴为主，加载方式受力情况一般可按图2-36所示进行简化。（a）（b）图2-34汽车方向盘的操纵杆

图2-35传动轴

第五十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-36扭转变形的受力简化圆轴扭转的特点为：

1．受力特点：在杆件两端垂直于杆轴线的平面内作用一对大小相等，方向相反的外力偶矩。

2．变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动。M＝9550（2-13）工程实际中，作用于轴上的外力偶矩，一般并不是直接给出的，而是根据所给定轴的转速n和轴传递的功率P，通过公式确定：

式中：

M—外力偶矩，N•m；

P—轴传递的功率，kW；

n—轴的转速，r/min。外力偶矩的转向：主动轮的输入力偶矩为主动力偶矩，其转向与轴的转向相同；从动轮的输出力偶矩为阻力偶矩，其转向与轴的转向相反。第五十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（a）变形前（b）变形后图2-37圆轴的扭转变形

*2.3.2圆轴扭转时横截面的切应力分布规律为了研究圆轴扭转时横截面上的应力分布情况，可先从观察和分析变形的现象入手。取图2-37所示圆轴，在圆轴表面画若干垂直于轴线的圆周线和平行于轴线的纵向线，两端施加一对大小相等、方向相反的外力偶矩，使圆轴扭转。◆圆周线的形状、大小及两圆周线的间距均不改变，仅绕轴线作相对转动。◆各纵向线仍为直线，且都倾斜了同一角度г，使原来的矩形变成平行四边形。第五十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形由此可以得出：

(1)扭转变形时，由于圆轴相邻横截面间的距离不变，即圆轴没有纵向变形发生，因此横截面上没有正应力。

(2)扭转变形时，各纵向线同时倾斜了相同的角度；各横截面绕轴线转动了不同的角度，相邻截面产生了相对转动并相互错动，发生了剪切变形，所以横截面上有切应力。

(3)因半径长度不变，故切应力方向必与半径垂直。其分布规律如图2-38所示。（a）实心轴（b）空心轴图2-38横截面上切应力分规律第五十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2.4直梁的弯曲

2.4.1直梁弯曲的概念

1．弯曲变形的实例两人用木棍抬重物时，木棍将发生弯曲，其轴线由直线变为曲线，这种在垂直于杆件轴线的外力的作用下或在纵向平面内受到力偶作用时，轴线由直线变为曲线的变形称为弯曲变形。如图2-39～图2-41所示为弯曲变形的实例。图2-39弯曲变形第五十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-40火车轮轴图2-41起重机第五十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2．梁的定义发生弯曲变形或以弯曲变形为主的杆件称为梁。梁的轴线与横截面的对称轴所组成的平面。图2-42纵向对称面

3．平面弯曲的定义平面弯曲——当作用在梁上的外力或力偶都在梁的纵向对称面内，且各力都与梁的轴线垂直，梁弯曲变形后，其轴线在纵向对称面内由直线变成平面曲线，如图2-42所示。第五十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

4．平面弯曲变形的特点①受力特点：外力垂直于杆件的轴线，且外力和力偶都作用在梁的纵向对称面内。②变形特点：梁的轴线由直线变成在外力作用面内的一条曲线。③构件特征：具有一个以上对称面的等截面直梁，如图2-43所示。图2-43横截面的对称轴第五十九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

5．梁简化的三种基本形式

梁的结构很多，根据支座的情况可以分为以下三种基本形式：（1）简支梁梁的一端为固定铰链支座，另一端为活动铰链支座的梁称为简支梁，如图2-44（a）所示。（2）外伸梁外伸梁的支座与简支梁一样，不同点是梁的一端或两端伸出支座以外，所以称为外伸梁，如图2-44（b）所示。（3）悬臂梁一端固定，另一端自由的梁称为悬臂梁，如图2-44（c）所示。图2-44梁简化的三种基本形式第六十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

6．作用在梁上载荷的简化作用在梁上载荷有以下4种简化形式，如图2-45所示。图2-45载荷的简化

第六十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

2.4.2梁的内力——剪力和弯矩为了对梁进行强度和刚度计算，必须首先确定梁在载荷作用下任一横截面上的内力，内力的求解采用截面法。如图2-46所示。剪力FQC等于截面以左梁上所有外力在y轴上投影的代数和。取代数和时，以与剪力同向的外力投影为负，反之为正。弯矩MC等于横截面以左梁上所有外力对横截面形心C的矩的代数和。取代数和时，以与弯矩同向的外力的矩为负，反之为正。图2-46剪力和弯矩第六十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

*2.4.3纯弯曲时横截面上的正应力的分布规律一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为横力弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。

1．中性层与中性轴如图2-47所示矩形截面梁，在其两端受到两个力偶的作用发生纯弯曲变形。观察纯弯曲梁的变形，可以发现凹边的纵向纤维层缩短，凸边的纵向纤维层伸长。由于变形的连续性，因此其间必有一层既不伸长也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，即如图2-47所示的z轴。可以证明，中性轴必过梁横截面的形心且与纵向对称平面垂直；由于中性轴位于中性层上，故中性轴是横截面上伸长区域与缩短区域的分界线。

2．梁横截面上正应力的分布规律梁横截面上正应力的分布规律如图2-48所示。其规律可总结如下：（1）纯弯曲变形时，梁的横截面上只有正应力，没有切应力。（2）梁横截面上正应力的大小沿梁的高度呈线性分布，中性轴上各点（y=0）的正应力为零，与中性轴等距的各点正应力相等，离中性轴最远的点正应力最大。第六十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-47中性层与中性轴图2-48梁横截面上的弯曲正应力第六十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形*2.5组合变形在前文中，分别讨论了杆件在拉压、剪切、扭转、平面弯曲四种基本变形。但在工程实际中，受力构件所发生的变形往往是由两种或两种以上的基本变形所构成。删除如图2-49所示，长江三峡大坝在水压力和自身重力和载荷作用下，将产生压缩和弯曲的组合变形；图2-49长江三峡大坝及其受力如图图2-49所示，钻床立柱在受轴向拉伸的同时还有弯曲变形；第六十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形如图2-50

所示，开口链环在受轴向拉伸的同时还有弯曲变形；图2-50链环及其受力

如图2-51所示，工厂厂房吊车梁的牛腿柱，受偏心压力作用将产生压缩与弯曲变形等。第六十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-51吊车梁的牛腿柱及其受力如图2-52所示，手摇绞车轴为扭转和弯曲变形的组合；图2-52手摇绞车轴及其受力第六十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形如图2-53所示，简易起重机AB杆为压缩和弯曲变形的组合；

图2-53简易起重机AB杆及其受力将这种由两种或两种以上的基本变形所组成的变形称为组合变形。常见组合变形的类型：（1）斜弯曲（图2-53）；（2）拉伸（压缩）与弯曲组合变形（图2-49、图2-50、图2-51、图2-52）；（3）弯曲与扭转组合变形（图2-52）。第六十八页，共八十六页。第2章直杆的基本变形*2.6交变应力与疲劳强度前述研究的都是静裁荷作用下的强度问题。所谓静载荷，是指由零缓慢地增加到某一值后保持不变（或变动很小）的载荷。在工程中，尤其是在机械工程中，有许多构件承受随时间周期性变化的应力，这种应力称为交变应力，交变应力与疲劳破坏密切相关。如图2-54（a）所示，作用于轮齿上的力P的大小、方向和作用点不断改变，使齿根A点处的弯曲应力由零迅速增到最大值，当一对啮合的齿脱开时，此处的应力迅速减为零。齿轮每旋转一周，对应的轮齿啮合一次。齿轮不停的旋转，应力也就不停的重复上述过程（图2-54b）。这种多次循环的变动载荷称为交变载荷。在交变载荷作用下，齿根A点处的弯曲应力由零增到最大值，再由最大减为零，不断变化着。

1．交变应力与疲劳破坏

交变应力实例一：齿轮传动第六十九页，共八十六页。第2章直杆的基本变形（a）齿轮啮合（b）交变应力图图2-54齿轮传动交变应力实例二：火车轮轴火车轮轴在载荷远低于许用值的情况，使用一段时间后就会失效。火车的轮轴基本上是四点弯曲的圆截面梁，梁的顶面产生压应力而底面产生拉应力，参见图2-55所示。当轴转过半转后，底部变成顶部，而顶部则转到底部，因而轮轴表面特定部位材料所受到的应力，按正弦规律从拉变为压、再从压变为拉。这种载荷称为对称交变疲劳载荷。在交变载荷作用下，杆内横截面上的应力将由拉应力到压应力不断周期性交替变化着。第七十页，共八十六页。第2章直杆的基本变形图2-55火车轮轴材料在交变应力作用下发生的破坏，称为疲劳破坏。它与静应力下的破坏有着本质的不同，其特点是：①交变应力产生破坏时，最大应力低于静载下的材料的强度极限Rm，有时甚至低于屈服极限Rel；②疲劳破坏时，材料发生突然断裂，即使塑性很好的材料，破坏时也无明显的塑性变形；③构件疲劳破坏的断口上有裂纹的起源点和两个明显不同的区域：粗糙区和光滑区（图2-56）；④在交变应力下，材料发生破坏的循环次数与应力大小有关；应力越大，循环次数越少。第七十一页，共八十六页。第2章直杆的基本变形疲劳破坏的解释一般是：当交变应力的大小超过一定限度时，经过多次循环后，在构件的应力最大处或材料的缺陷处产生很细的裂纹，形成裂纹源。图2-56疲劳破坏的断口疲劳失效机理裂纹源光滑区粗糙区裂纹扩展脆断第七十二页，共八十六页。第2章直杆的基本变形随着应力循环次数的增加，裂纹逐渐扩大，裂纹两边的材料时而压紧，时而分离，就形成了断口表面的光滑区。随着裂纹的不断扩大，构件横截面的有效面积逐渐缩小；当截面面积减小到一定程度时，由于一个突然的振动和冲击，使构件突然断裂，形成了断口的粗糙区。因此，疲劳破坏的过程，实际就是裂纹的产生、发展，直至构件最后断裂的全部过程。

2．疲劳破坏的危害材料在交变应力作用下发生的破坏，称为疲劳破坏。疲劳是由于远低于屈服点的载荷反复作用而引起的损伤累积过程。这一过程十分危险，因为若载荷只作用一次，可能不会产生任何不良影响，而常规的应力分析会得出材料处于安全状态的假定，但实际上并非如此。第七十三页，共八十六页。第2章直杆的基本变形疲劳破坏案例1图2-57塔式起重机

2008年，某市的建筑工地中，一台塔机在混凝土起吊作业过程时，上半塔机部件倾覆，造成1人死亡，如图2-57所示。事故的原因是由于未对塔机进行基本的日常维护与管理而导致螺栓疲劳破坏、部分材料撕裂，以至最终倾覆。第七十四页，共八十六页。第2章直杆的基本变形疲劳破坏案例3

1998年5月，德国高速列车出轨，如图2-58所示，原因是列车大轴发生疲劳破坏。图2-58德国高速列车出轨第七十五页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

3．材料的疲劳强度

（1）疲劳强度疲劳强度是指金属材料在无限多次交变载荷作用下而不破坏的最大应力，又称为疲劳极限。实际上，金属材料并不可能作无限多次交变载荷试验。一般试验时规定，钢在经受107次、非铁（有色）金属材料经受108次交变载荷作用时不产生断裂时的最大应力称为疲劳强度。（2）影响疲劳强度的因素①构件外形的影响（应力集中的影响）机械工程中的构件，常常存在过渡圆角或在杆件上有键槽、油孔、螺纹等。在这些部位将产生应力集中，使局部应力增高，因而容易导致产生疲劳裂纹，显著降低构件的疲劳强度。②构件尺寸的影响构件尺寸越大，材料内存在气泡杂质等缺陷的可能性也就越多，产生“疲劳”源的机会也就越大，因此疲劳强度降低。③构件表面质量的影响由于不同的加工方法造成构件表面粗糙度不同，因此也就呈现出不同的应力集中。表面粗糙度越高，应力集中越严重，其疲劳强度也就越低。第七十六页，共八十六页。第2章直杆的基本变形

4．提高疲劳强度的措施根据疲劳破坏的分析，裂纹源通常是在有应力集中的部位产生。因此设法避免或减弱应力集中，可以有效提高构件的疲劳强度。可以从以下几个方面来提高构件的疲劳强度。（1）合理设计构件的外形构件截面改变越激烈，应力集中系数就越大。因此工程上常采用改变构件外形尺寸的方法来减小应力集中。如采用较大的过渡圆角半径，使截面的改变尽量缓慢，如果圆角半径太大而影响装配时，可采用间隔环。如图2-59（a）所示，这样既降低了应力集中又不影响轴与轴承的装配。此外还可采用凹圆角（图2-59b）或卸载槽（图2-59c）以达到应力平缓过渡。细实线粗实线出来的短线剪掉！图2-59合理设计构件的外形第七十七页，共八十六页。第2章直杆的基本变形设计构件外形时，应尽量避免带有尖角的孔和槽。在截面尺寸突然变化处（阶梯轴），当结构需要直角时，可在直径较大的轴段上开卸载槽或退刀槽减小应力集中；当轴与轮毂采用静配合时，可在轮毂上开减荷槽或增大配合部分轴的直径，并采用圆角过渡，从而可缩小轮毂与轴的刚度差距，减缓配合面边缘处的应力集中。（2）提高构件的表面加工质量一般说，构件表层的应力都很大，例如在承受弯曲和扭转的构件中，其最大应力均发生在构件的表层。同时由于加工的原因，构件表层的刀痕或损伤处，又将引起