第七节方向导数与梯度

第七节方向导数与梯度问这只蚂蚁应沿什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点？问题的实质：应沿由热变冷变化最骤烈的方向（即梯度方向）爬行．一、方向导数定义与计算公式

实例一元函数右导数或左导数(只能从右侧或左侧)所以一元函数只有二元函数Oxy(可以从任意方向)所以二元函数有无穷多方向导数回忆1.方向导数的定义即定义如果极限存在,则将这个极限值称为函数在点记为即的方向导数存在,存在,则的方向导数存在,方向导数与偏导数的关系同理的方向导数为的方向导数证2.关于方向导数的存在及计算公式定理8.7(充分条件)可微,则函数且(2)在定点的方向导数为方向导数存在可微说明(1)例考虑函数定点P0(3,1),P1(2,3).求函数在P0沿方向的方向导数.解解(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?并问在怎样的方向上此方向导数有例故方向导数达到最大值方向导数达到最小值方向导数等于和(1)最大值;(2)最小值;(3)等于零?问在怎样的方向上此方向导数有解练习推广可得三元函数方向导数的定义在点的方向导数为是l的方向余弦.计算公式解令其方向余弦为例18问题?二、梯度概念与计算已知方向导数公式方向：模：

方向一致时,方向导数取最大值f(x,y)

变化率最大的方向f(x,y)的最大变化率之值函数z=f(x,y)沿什么方向的方向导数为最大(gradient)一个二元函数在给定的点处沿不同方向的方向导数是不一样的.19定义记作读作nable.即为函数z=f(x,y)在点P(x,y)处的称向量梯度称为或算子,或向量微分算子.引入算符哈米尔顿算子,设函数z=f(x,y)在点P(x,y)可偏导,利用梯度的概念,可将方向导数计算公式写成(gradient),20结论函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为方向导数的最大值(最大的变化率).梯度的模为沿梯度方向,函数的增长最快!21梯度的基本运算公式:称为函数z=f(x,y)在点P(x,y)处的负梯度.函数沿负梯度的方向减少最快.(1)(2)(3)(4)(5)等高线为等高线上的一个法向量梯度的几何意义其参数形式：所以任意点处的切向量为：表示一条平面曲线,所以梯度为曲线上点

处的法向量.梯度的几何意义梯度与等高线的关系：梯度的概念推广到三元函数三元函数在点⑴梯度为可微,则在点⑵函数沿梯度方向的方向导数最大，⑶最大方向导数为增长最快方向导数公式27类似地,设曲面

f(x,y,z)=c为函数此函数在点P(x,y,z)的

的梯度的方向就是等值面f(x,y,z)=c在这点的法线方向值较高的等值面,法线方向的方向导数且从数值较低的等值面指向数而梯度的模就是函数沿这个u=f(x,y,z)的等值面,梯度的几何意义28求曲面解例在点P(1,2,4)处的切平面方程和法线方程.设由梯度与等值面梯度的方向是等值面f(x,y,z)=9在点P(1,2,4)因此,切平面方程为即法线方程为的关系可知:处的法向量.解故例并问在哪些点处梯度为零?=0=0=0处的梯度,例设函数求沿什么方向具有最大的增长率,最大增长率为多少?解增长率,最大的增长