图形的几何变换

图形的几何变换第1页，共66页，2023年，2月20日，星期六5.1齐次坐标5.2窗口区视图区变换5.3二维图形变换5.4三维图形变换主要教学内容第2页，共66页，2023年，2月20日，星期六程序员用来定义草图的整个自然空间(WD)用户指定的任一区域(W)b.小于用户域的窗口区W叫做用户域的子域。a.窗口区W小于或等于用户域WDb.

用户域是一个实数域，理论上是连续无限的。a.

人们所要描述的图形均在用户域中定义。用户域：窗口区：5.2窗口区视图区变换5.2.1窗口区和视图区的概念第3页，共66页，2023年，2月20日，星期六d.窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。c.窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形窗口等等。第4页，共66页，2023年，2月20日，星期六

视图区：任何小于或等于屏幕域的区域例如:图形显示器分辨率为1024768,屏幕域为？d.视图区也可以嵌套。c.视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形等。

b.窗口区的图形显示在视图区，需进行窗口区到视图区的坐标转换。a.视图区由用户在屏幕域中用设备坐标定义。屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是有限的整数域。DC[0..1023][0..767]第5页，共66页，2023年，2月20日，星期六5.2.2窗口区到视图区的坐标变换用户域屏幕域(WXR,WYT)(WXL,WYB)(XW,YW)(VXR,VYT)(VXL,VYB)(XS,YS)XW-WXLXS-VXLYW-WYBYS-VYBWXR-WXLVXR-VXLWYT-WYBVYT-VYB==第6页，共66页，2023年，2月20日，星期六VXR-VXLWYT-WYB（Xw-WXL）+VXLXs=Ys=VYT-VYBWYT-WYB（Yw-WYB）+VYB窗口区和视图区的坐标变换第7页，共66页，2023年，2月20日，星期六窗口区和视图区的坐标变换1)

当ac时，即x

方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图形会有伸缩变化，图形变形。简化为：Xs=a.Xw+bYs=c.Yw+d2)

当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形完全相同。第8页，共66页，2023年，2月20日，星期六我们可以在同一个图形输出界面上定义多个视图区，用来同时输出不同的图形。（如三视图和轴测图）第9页，共66页，2023年，2月20日，星期六5.3二维图形变换第10页，共66页，2023年，2月20日，星期六

x*=a.x,y*=d.y

a00

(x*y*1)=(xy1)0d0

001当a=d=1时：物体尺寸不变以坐标原点为缩放参照点(只有原点是保持位置不变的)当ad时：沿x,y方向作非均匀比例变换，图形变形。当a=d<1时：沿x,y方向等比例缩小当a=d>1时：沿x,y方向等比例放大。a和d大于01.比例变换（缩放变换）第11页，共66页，2023年，2月20日，星期六产生压缩或拉伸的效果。XYa=d=2XYa=1，d=0.5第12页，共66页，2023年，2月20日，星期六C(4,2)A(1,1)B(3,4)相对坐标原点缩放变换(以坐标原点为缩放中心)。当a=2,d=2时,变换后的各顶点坐标是多少?XY(0,0)第13页，共66页，2023年，2月20日，星期六C(4,2)A(1,1)B(3,4)相对坐标原点缩放变换。当a=2,d=2时,变换后的各顶点坐标XY(0,0)如果以A(1,1)为缩放中心的缩放变换呢?第14页，共66页，2023年，2月20日，星期六

(1)关于X轴对称：X*=X，Y*=-Y

100

（X*Y*1）=（XY1）0-10

001(2)关于Y轴对称：X*=-X，Y*=Y

-100（X*Y*1）=（XY1）010

001

2.对称(反射、镜像）变换

变换的效果完全和平面镜成像一致。第15页，共66页，2023年，2月20日，星期六(3)关于原点对称：X*=-X，Y*=-Y

-100

（X*Y*1）=（XY1）0-10

001

(4)关于Y=X直线对称：X*=Y，Y*=X

010

（X*Y*1）=（XY1）100

001

(5)关于Y=-X直线对称：X*=-Y，Y*=-X

0-10

（X*Y*1）=（XY1）-100

001对称变换Y=-XY=XPP的各对称点在哪?第16页，共66页，2023年，2月20日，星期六1)

当b=0(c≠0)时，(x*y*1)=(x+cy

y1)：沿x方向错切，图形的y坐标不变；x*=x+c.y,y*=b.x+y

1b0

(x*y*1)=(xy1)c10

001

当c<0：图形沿-x方向倾斜一个角度。ABCD→A2B2C2D2当c>0：图形沿+x方向倾斜一个角度。ABCD→A1B1C1D13.错切变换

c与有何关系？第17页，共66页，2023年，2月20日，星期六

错切变换2)当c=0(b≠0)时，(x*y*1)=(xbx+y1)：沿y方向错切，图形的x坐标不变；当b<0：图形沿-y方向错切。ABCD→A2B2C2D2当b>0：图形沿+y方向错切。ABCD→A1B1C1D1第18页，共66页，2023年，2月20日，星期六001101111011120010001001121131011=P17例2-2OABCCBAOXY错切变换沿哪个方向错切？第19页，共66页，2023年，2月20日，星期六3)

当b0且c0时，(x*y*1)=(x+cybx+y1)：图形沿x,y两个方向作错切位移。错切变换错切变换引起图形角度关系的改变，甚至导致图形发生变形。第20页，共66页，2023年，2月20日，星期六4.旋转变换αθρS(x,y)S’(x´,y´)O

cosøsinø0

(x’y’1)=(xy1)-sinøcosø0

001如何推导？点S(x,y)绕坐标系原点O逆时针旋转θ角,得到点S’(x’,y’)第21页，共66页，2023年，2月20日，星期六点S(x,y)绕坐标系原点O顺时针旋转ø角,得到点S’(x’,y’).cosø-sinø0

(x’y’1)=(xy1)sinøcosø0

001XY物体上每个点旋转相同的角度第22页，共66页，2023年，2月20日，星期六X*=X+L，Y*=Y+M

100

（X*Y*1）=（XY1）010

LM1

平移变换只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。XY（0，0）ABCA*B*C*L，M的含义？5.平移变换物体上的每个点平移相同的步长第23页，共66页，2023年，2月20日，星期六几何逆变换所有的几何变换都有逆变换，所谓逆变换就是指与原变换操作相反的操作过程。平移变换的逆变换：反方向平移旋转变换的逆变换：反方向旋转缩放变换（sx,sy)逆变换：缩放变换（1/sx,1/sy)镜面反射变换的逆变换与原变换一样第24页，共66页，2023年，2月20日，星期六6.复合变换例如：先平移后旋转，与旋转后平移不同。若T1,T2表示两个变换矩阵,一般有T1.T2≠T2.T1注意:组合变换时,基本变换的顺序不能颠倒！任何一个线性变换都可以分解为上述几类基本变换。复合变换由若干个基本变换组合而成，变换结果矩阵是各步骤变换矩阵相乘又称级联变换，指对图形进行一次以上的几何变换。第25页，共66页，2023年，2月20日，星期六例1：复合平移∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），和第二次平移变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*,y*）设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x

y1)，经第二次平移变换后的坐标为P*(x*y*1)解：第26页，共66页，2023年，2月20日，星期六如何实现关于任意参照点Pr（Xr，Yr）的旋转变换？需要经过哪几种基本变换?第27页，共66页，2023年，2月20日，星期六P18例2-3：点P绕参考点F(xf,yf)逆时针旋转角。(0,0)xyP(x,y)P*(x*,y*)

F(xf,yf)1.把旋转中心F(xf,yf)平移至坐标原点，即坐标系平移（-xf,-yf），则2.点P绕原点逆时针旋转角

第28页，共66页，2023年，2月20日，星期六

P18例2-3：点P绕参考点F(xf,yf)逆时针旋转角。3.

将坐标系平移回原来的原点因此变换矩阵：第29页，共66页，2023年，2月20日，星期六思考：如何实现关于任意参照点Pr（Xr，Yr）的放缩变换？当a=1，d=0.5时，P的位置？Pr（Xr，Yr）P（X，Y）XY(0,0)第30页，共66页，2023年，2月20日，星期六关于任意参照点的放缩变换需要经过哪几种基本变换?第31页，共66页，2023年，2月20日，星期六思考：如何实现关于任意反射轴y=a+bx的反射变换？P’PXYP的对称点在何处？需要经过哪几种基本变换?第32页，共66页，2023年，2月20日，星期六P19例2-4：关于任意反射轴y=a+bx的反射变换。每一步是什么变换？第33页，共66页，2023年，2月20日，星期六例4：任意的反射轴的反射变换θ为多少?1.

将坐标原点平移到(0,a)处2.将反射轴（已平移后的直线）按顺时针方向旋转θ角，使之与x轴重合3.图形关于x轴的反射变换4.将反射轴逆时针旋转θ角第34页，共66页，2023年，2月20日，星期六

例4：任意的反射轴的反射变换5.恢复反射轴的原始位置因此第35页，共66页，2023年，2月20日，星期六5.4三维图形变换三维齐次坐标(x,y,z)点对应的齐次坐标为

ZXYO右手坐标系标准齐次坐标(x,y,z,1)第36页，共66页，2023年，2月20日，星期六a000

(x*y*z*1)=(xyz1)0e00

00j00001

1bc0

(x*y*z*1)=(xyz1)d1f0

hi100001当b=c=f=i=0时,则沿x方向错切;

当c=d=f=h=0,则沿y方向错切;

当b=d=h=i=0,则沿z方向错切.x*=a.x,y*=e.y,z*=j.z1.比例变换2.错切变换第37页，共66页，2023年，2月20日，星期六3.对称(反射、镜像）变换对称于XOY平面[x'y'z'1]=[xy-z1]=[xyz1]对称于YOZ平面[x'y'z'1]=[-xyz1]=[xyz1]对称于XOZ平面

[x'y'z'1]=[x-yz1]=[xyz1]第38页，共66页，2023年，2月20日，星期六4.三维旋转变换绕X轴变换空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标不变只是Y、Z坐标发生相应的变化。XYZ(y,z)(y‘,z')θθYZαOO(y‘,z')(y,z)x'=xy'=ρcos(α+θ)=y*cosθ-z*sinθz'=ρsin(α+θ)=y*sinθ+z*cosθ第39页，共66页，2023年，2月20日，星期六矩阵表示为：三维旋转变换遵循右手法则，即若θ>0，大拇指指向轴的方向，其它手指指的方向为旋转方向。第40页，共66页，2023年，2月20日，星期六绕Y轴旋转

此时，Y坐标不变，X，Z坐标相应变化。

XYZ(x,z)(x'z')θXαOOZ三维旋转变换x'=ρsin(α+θ)=x*cosθ+z*sinθy'=yz'=ρcos(α+θ)=z*cosθ-x*sinθ第41页，共66页，2023年，2月20日，星期六三维旋转变换矩阵表示为第42页，共66页，2023年，2月20日，星期六绕Z轴旋转此时，Z坐标不变，X，Y坐标相应变化。

XYZ(x,y)(x'y')θXYαOO三维旋转变换x'=ρcos(α+θ)=x*cosθ-y*sinθy'=ρsin(α+θ)=x*sinθ+y*cosθz'=z第43页，共66页，2023年，2月20日，星期六三维旋转变换矩阵表示为：第44页，共66页，2023年，2月20日，星期六点P(x,y,z)绕z轴正向(逆时针)旋转ø角,得到点P*(x*,y*,z*).cosøsinø00

(x*y*z*1)=(xyz1)-sinøcosø00

00100001

点P(x,y,z)绕x轴正向(逆时针)旋转ø角,得到点P*(x*,y*,z*).1000

0cosøsinø0

(x*y*z*1)=(xyz1)0-sinøcosø0

0001

点P(x,y,z)绕y轴正向(逆时针)旋转ø角,得到点P*(x*,y*,z*).cosø0-sinø0

(x*y*z*1)=(xyz1)0100

sinø0cosø0

0001

归纳第45页，共66页，2023年，2月20日，星期六1000

（X*Y*Z*1）=（XYZ1）0100

0010

LMN1

5.平移变换第46页，共66页，2023年，2月20日，星期六例：绕空间任意轴旋转（P23）。基本思想：因任意轴不是坐标轴，应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进行旋转θ角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。已知任意轴AB，A点(Xa，Ya，Za),AB的方向数（a,b,c）,点P绕AB逆时针旋转ø角,请写出变换矩阵。何为方向数？第47页，共66页，2023年，2月20日，星期六xyzcab〆L’LßD绕任意轴的旋转变换需要几次基本变换?第48页，共66页，2023年，2月20日，星期六绕任意轴的旋转变换（1）将空间直线平移，使之通过坐标原点T=0100

0010-Xa-Ya-Za11000（2）绕x轴旋转〆角使之位于XOZ平面内第49页，共66页，2023年，2月20日，星期六直线段L在YOZ平面上的投影L’L’2=b2+c2

Sin〆=b/L’cos〆=c/L’xyzcab〆L’LßD绕任意轴的旋转变换第50页，共66页，2023年，2月20日，星期六0cos〆sin〆00-sin〆cos〆000011000Rx=(3)绕y轴顺时针旋转ß角(使之与Z轴重合)由于绕x轴旋转时，x坐标不变ALSin

ß=a/Lcos

ß=L’/LL2-a2=b2+c2=L’2绕任意轴的旋转变换第51页，共66页，2023年，2月20日，星期六0100-sinß0cosß00001cosß0sinß0Ry=-sinθcosθ00001

00001cosθsinθ00Rz=(4)绕z轴旋转θ角绕任意轴的旋转变换第52页，共66页，2023年，2月20日，星期六(5)绕y轴逆时针旋转ß角(使之位于XOZ平面内)sinß0cosß00001Ry’=cosß0-sinß00100(6)绕x轴顺时针旋转〆(使之恢复通过原点的直线)0sin〆cos

〆

00001Rx’=10000cos〆

-sin〆

0绕任意轴的旋转变换第53页，共66页，2023年，2月20日，星期六(7)平移使坐标原点返回到它原始位置0010XaYaZa1T’=100001

0

0因此，绕空间任意轴旋转角的变换矩阵Rθ=T.Rx.Ry.Rz.Ry’.Rx’.T’绕任意轴的旋转变换第54页，共66页，2023年，2月20日，星期六P24例2-5已知单位立方体一顶点在原点O，与之相对的顶点为A（1,1,1),将该立方体绕OA轴逆时针旋转300,求变换后的立方体各顶点的坐标。与前例有何关系？第55页，共66页，2023年，2月20日，星期六第6章形体的投影变换第56页，共66页，2023年，2月20日，星期六6.1概述6.2平行投影6.3透视投影主要教学内容第57页，共66页，2023年，2月20日，星期六显示器屏幕、绘图纸是二维的显示对象是三维的解决方法----投影

在二维屏幕上如何显示三维物体？第58页，共66页，2023年，2月20日，星期六投影：将n维的点变成小于n维的点。穿过物体的投影线将与投影平面相交,在投影面上形成物体的像,这个像称为三维物体在二维投影面上的投影。平面几何投影:投影面是平面,投影线为直线投影线:从投影中心向物体上各点发出的射线不经过投影中心的一个平面作为投影平面。在三维空间中选择一个点,以该点为投影中心，投影中心:观察