余弦定理与正弦定理的等价性

价的.价的.余弦定理与正弦定理的等价性甘肃省合水县第一中学薛树英余弦定理与正弦定理是解斜三角形的依据,二者是互通的，是等由余弦定理推得正弦定理*BC中，由c2=a2+b*BC中，由c2=a2+b2-2abcosC，得a2+b2一c2cosC=2ab.—:~'/a2+b2—c2「.sinC=.-1-cos2C=：1—()2\2ab、，(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)2ab2%；s(s-a)(s-b)(s-c)，其中_a+b+c'=s=ab2c_abcslnC2s(s-a)(s-b)(s-c)同理，有babcslnB2<s(s-a)(s-b)(s-c)a_abcslnA2、：'s(s-a)(s-b)(s-c)a_b_cslnAslnBslnC由正弦定理推得余弦定理险BC中,设其外接圆半径为R,有abc===2slnAslnBslnCa=2RslnA,b=2RslnB,c=2RslnCa2+b2-2abcosC=(2RslnA)2+(2RslnB)2-2-2RslnA-2RslnB-cosC=4R2(sln2A+sln2B-2slnAslnBcosC)

=4R2[sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)]1=4R2(sin2A+sin2B+^sin2Asin2B-2sin2Asin2B)C2=(2RsinC)=4R2sin2(A+B)=4R2(sinAcosB+cosAsinB)21.=4R2(sin2Acos2B+cos2Asin2B+3sin2Asin2B)1=4R2[sin2A(1—sin2B)+(1-sin2A)sin2B+—sin2Asin2B)21=4R2(sin2A+sin2B+-2sin2Asin2B-2sin2Asin2B)C2=a2+b2一2abcosC例题在_2.TAABC中,ZB=45。,AC=v'10,cosC=-5-〔I）求BC边的长；〔II）假设点D是AB的中点，求线段CD的长度.（2006年全国高考数学II文科17题）解法1:〔I）由2/5,得.厂J5-cosC=sinC=——55sinA=sin[180°-(4-+C)]=sin(4-+C)=」-(cosC+sinC)2抵、3而—)=510由正弦定理知,3^10AC・sinAU0xIF由正弦定理知,3^10AC・sinAU0xIFBC=sinB=3V-〔II）由正弦定理，得A^B=性匹sinB710x5=2AB2=BC2+AC2-2BC-AC-cosC也可以根据由余弦定理得,—2,：5AB2=BC2+AC2-2BC-AC-cosC...曷=2....BD=1AB=1.2由余弦定理知，CD2=BD2+BC2-2BD-BC-cosB=1+18-2x1x3克x至=132解法2:〔I）由正弦定理知,ab=解法2:〔I）由正弦定理知,ab=ACisinCsinB而x笠里=2<2~2~由cosC=^5'得sinC-5.55cosA=cos[180°-(45+C)]=-cos(45°+C)=-€•(cosC+sinC)2=-笠=-笠•(苴25IT18...BC2=AB2+AC2-2AB・AC•cosA—<10=4+10-2x2xv10x(——)1018〔II）求AB时'应用余弦定理.BC2=AB2+AC2-2AB・AC•cosA.•.18=AB2+10+2AB即AB2+2AB-8=0AB=2,或AB=-4(舍).BD=1AB=12然后’应用余弦定理求得’CD=①-解法3:〔I)同解法2.〔II〕求AB时,仍然应用余弦定理.AC2=AB2+BC2—2AB・BC-cosB.•・10=AB2+18+2-AB艮口AB2—6-AB+8=0・•・AB=2,或AB=4当AB=2时，BD=1AB=1，根据余弦定理求得，CD=应.2当A