向量的概念及其加减法运算

向量的概念及其加减法运算第1页，共38页，2023年，2月20日，星期五教学目标（一）知识目标

1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律（二）能力目标

在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明（三）情感目标

通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．第2页，共38页，2023年，2月20日，星期五教学重点

向量的加减法的运算法则及其应用教学难点

向量的概念的理解以及运算法则的推导第3页，共38页，2023年，2月20日，星期五知识链接在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作一个质点，用点表示它在平面内的位置。如果一个质点从点A运动到点B，如果我们不考虑质点运动的路线，只考虑点B相对于点A的“方向”和“直线距离”，这时，我们就说质点在平面内作了一次位移。问题：位移和那些因素有关？如何确定位移？AB位移的概念第4页，共38页，2023年，2月20日，星期五一、向量的概念

既有大小又有方向的量叫向量注意：（1）向量的两要素：大小和方向请说出下列一些量那些是数量那些是向量?距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、加速度、面积、电场强度、温度.课前预习第5页，共38页，2023年，2月20日，星期五（2）自由向量有些向量不仅有大小方向，还有作用点，例如力；有些向量只有大小和方向，而无特定的位置，例如位移、速度等。通常后一类向量叫做自由向量。以后我们学习的向量，无特别指明，指的都是自由向量。（3）向量能否比较大小？第6页，共38页，2023年，2月20日，星期五

以A为起点、B为终点的向量记作：

有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．AB用一条有向线段来表示．②字母表示法：

或用、、等小写字母表示；二、向量的表示方法：

①几何表示法：第7页，共38页，2023年，2月20日，星期五特殊向量：零向量的方向是任意的.长度为０的向量叫零向量，记为长度为１个单位的向量叫单位向量三、向量的模：例如向量的长度记作：→AB||→AB向量的长度叫做向量的模。第8页，共38页，2023年，2月20日，星期五四、两种特殊关系：相等向量:长度相等且方向相同的向量.

记作：

,与它们起点位置无关.第9页，共38页，2023年，2月20日，星期五共线向量:

通过有向线段的直线，叫做向量的基线如果向量的基线互相平行或者重合，则称这些向量共线或平行。向量a平行于b,记作规定：零向量与任一向量平行.第10页，共38页，2023年，2月20日，星期五五、用向量表示点的位置任给一定点O和向量a，过点O作有向线段，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量，又常叫做点A相对于点O的位置向量。OAa第11页，共38页，2023年，2月20日，星期五例如，在谈到天津相对于北京的位置时，我们说，“天津位于北京东偏南50°，114km”如图所示，北京天津50°点O表示北京的位置，点A表示天津的位置，那么向量就表示了天津相对于北京的位置。第12页，共38页，2023年，2月20日，星期五

例1．判断下列命题真假或给出问题的答案：（1）平行向量的方向一定相同．

（2）不相等的向量一定不平行．

（3）与零向量相等的向量是什么向量？

（4）存在与任何向量都平行的向量吗？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（6）两个非零向量相等的条件是什么？

（7）共线向量一定在同一直线上．××零向量零向量平行向量（共线向量）

模相等且方向相同

×第13页，共38页，2023年，2月20日，星期五例2如图,设O是正六边形ABCDEF的中心,分别写出图中与向量、、相等的向量.问题:(1)与相等吗?(2)与相等吗?(3)与长度相等的向量有几个?(4)与共线的向量有哪几个?O第14页，共38页，2023年，2月20日，星期五B第15页，共38页，2023年，2月20日，星期五1.下列说法正确的是()A)方向相同或相反的向量是平行向量.B)零向量是0.C)长度相等的向量叫做相等向量.D)共线向量是在一条直线上的向量.A2.已知a、b是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.其中是向量a与b平行的有_____.①③④练习第16页，共38页，2023年，2月20日，星期五

由于大陆和台湾没有直航，因此2003年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这两次位移之和是什么？引例二：台北香港上海向量的加法定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法第17页，共38页，2023年，2月20日，星期五1、三角形法则baAaaaabbCbaBa+b作法：⑴在平面内任取一点Ａ⑵作，bBC＝aAB＝AC＝a+b⑶则向量首尾相连第18页，共38页，2023年，2月20日，星期五(1)同向(2)反向ABCABC注：第19页，共38页，2023年，2月20日，星期五向量和的特点：（1）两个向量的和仍是一个向量．（2）当向量a与向量b不共线时，a+b的方向与a，b都不同向，且|a+b|<|a|+|b|．（3）当a与b同向时，则a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|；

当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|．第20页，共38页，2023年，2月20日，星期五+baba:=+向量的运算律⑴交换律证明：作AB=a，AD=baＡＢＤＣ以AB,AD为邻边做平行四边形ABCD则，BC=b，DC=abAC=AD+DC=b+a因为AC=AB+BC=a+b,所以a+b=b+a第21页，共38页，2023年，2月20日，星期五)cb(ac)ba(:++=++ＡＢＣＤ⑵结合律第22页，共38页，2023年，2月20日，星期五baAaaaaaaaabbbBbaDaCba+b2、平行四边形法则(1)在平面内取一点A⑵以点A为起点以向量a、b为邻边作平行四边形ABCD.（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b作法:首首相连第23页，共38页，2023年，2月20日，星期五3、向量求和的多边形法则

已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，异第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量。第24页，共38页，2023年，2月20日，星期五第25页，共38页，2023年，2月20日，星期五例4:

求向量之和.

第26页，共38页，2023年，2月20日，星期五引例三已知：两个力的合力为求：另一个力

其中一个力为第27页，共38页，2023年，2月20日，星期五相反向量及其性质

与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量。记作-a，a和-a互为相反向量。规定：零向量的相反向量仍是零向量。性质：-(-a)=a;a+(-a)=(-a)+a=0;若a、b是互为相反的向量，则有

a=-b,b=-a,a+b=0.第28页，共38页，2023年，2月20日，星期五向量减法的定义：向量a加上b相反向量，叫做a与b的差.即：a

b=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法第29页，共38页，2023年，2月20日，星期五CD第30页，共38页，2023年，2月20日，星期五第31页，共38页，2023年，2月20日，星期五如图，已知a、b，求作a-b。例5(1)ab(2)abab(3)ab(4)第32页，共38页，2023年，2月20日，星期五第33页，共38页，2023年，2月20日，星期五2、已知a、b是任意两个向量,下列条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④a=0或b=0;⑤a与b都是单位向量.能判定向量a与b共线的是_____.①③④1、下列说法正确的是()A)方向相同或相反的向量是平行向量.B)零向量是.C)长度相等的向量叫做相等向量.D)共线向量是在一条直线上的向量.达标练习第34页，共38页，2023年，2月20日，星期五4、

化简第35页，共38页，2023年，2月20日，星期五5.一艘船以的速度和垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为，求船实际航行速度的大小与方