仿射变换下的区域面积之比

第1页仿射变换下的区域面积之比2007年高考江苏卷出了一道耐人寻味的小题：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，则平面区域B的面积为（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．这道题貌似线性规划的问题，本质上却是以仿射几何为背景，求一封闭图形区域经过仿射变换后图形区域的面积，本文将对它的解法与拓展作些探讨。1．代点法。考试结束后，一学生告诉我,他是这样解的：A是一个三角形区域，它的三个顶点坐标是O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)，将这三点的坐标代入中得：O’（0,0）、M’（1,1）、N’(1,-1)，画出由O’、M’、N’三点确定的三角形区域B，求得区域B的面积为1，从而选B。这种解法很巧妙，因为给定的变换为仿射变换，其将直线仍变成直线，所以也将OMN围成的区域变成了O’M’N’所围区域。该解法的巧妙之处在于回避了线性规划问题中边界交点问题，直接根据顶点来确定三角形的面积。2．常规解法。令，则，由区域A的条件得，用线性规划的方法不难画出区域B，求得其面积为1，答案选择B。这个问题的实质是将面积为的区域A，经过仿射变换后变成了面积为1的区域B。（如下图）3．高等数学的解法。如果用高等几何的方法来解答本题，过程非常简单，不必画出区域B。根据定理“两个三角形面积之比是仿射不变量”，仿射变换对应的行列式的绝对值是2，区域A的面积是，，故区域B的面积是1。值得一提的是，近年来，具有高等数学背景的试题日益增多，本题是一个极好的典例。4．两点拓展。从高等几何学的知识可以知道，仿射变换的表达式一旦确定下来，那么变换后的区域B的面积与变换前的区域A的面积之比就确定了。在本题中，区域A的面积是固定的，区域B的面积完全取决于什么样的仿射变换。由这一结论，我们根据高考题的模式作如下拓展：拓展一：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，求平面区域E（的面积。它的高等几何解法为：仿射变换对应的行列式绝对值为=，区域A的面积是，故区域E的面积为，这是高考题的一般结论。它的初等解法涉及烦琐的字母运算，所以我们借用行列式来求解。假设三角形区域A的三个顶点为，则区域A的面积为A==，经过仿射变换后，三个顶点为，，根据仿射变换不改变区域A的形状，区域E的面积为：E=====。拓展二：在仿射变换下，区域A不限于三角形（江苏卷中的高考题只是三角形中的简单情形，三个顶点非常特殊，且仿射变换中的均等于0），对于四边形及一般封闭图形，“”，结论仍成立，变换前后的区域面积之比只与有关。利用仿射变换的这一性质，可以方便地求出椭圆的面积。设区域A，则区域B是一个以原点为圆心，为半径的圆，由于仿射变换对应的行列式绝对值，所以，圆的面积（区域B）是，从而椭圆的面积（区域A）。5．一点说明。上面的“代点法”仅适用于给出的变换是仿射变换的情形，如果不是仿射变换就不能用“代点法”。如：在平面直角坐标系中，已知平面区域A，且，则平面区域B的面积是。在这个问题中，区域A的三个顶点O(0,0)、M(1,0)、N(0,1)经过变换后分别变成了（0,0）、（1,0）、（0,1），但区域B不是这三点所确定的三角形，因而不能用三角形的面积公式求解，它是位于第一象限的