群论在固体物理中应用市公开课金奖市赛课一等奖课件

第四章群论在固体物理中应用

在固体物理中，对晶体研究占据了相称大比重。晶体：“三维空间中一个规则排列无限重复原子、分子、离子或原子集团集合”。晶体含有高度对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体能级分裂，能带形成等起主导作用。第1页第1页§4.1点群晶体对称性能够用三种形式几何变换或操作描述：其中，反演+（真）转动非真转动（转反轴）第2页第2页例：①n重旋转轴——，n为一些整数n=4对称性阶等于4=h（即对称群阶）②对称面

ODCABC4

h=2第3页第3页③对称中心④旋转反演轴（转反轴）——旋转和反演复合操作A'是A转反像以上四种对称要素相应操作中，空间中至少有一个点保持不动。

对称中心OABA'第4页第4页定义：由真转动和非真转动各种组合都可保持一个点（原点）位置不动，称之点群操作，它们集合称为点群。定义：由平移操作和点群操作各种组合叫作空间群操作，它们集合称为空间群。注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间对称操作只有对无限延伸物体才干进行。普通采用周期性边界条件处理这类问题。

第5页第5页4.1.1晶体点群对称操作晶体含有平移对称性，因此，晶体中点群操作受到严格限制。晶体中真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度。

即=360º，180º，120º，90º，60º以及它们组合：240º，270º，300º。

证实n=1,2,3,4,6A和B是（晶格常数）方向上两点阵设绕A点转动角，则B点转到B'点设绕B点转动角，则A点转到A'点AA'B'B第6页第6页∵转动后原子点阵应重叠，故是一点阵矢量即：，m——整数由图可知：

∴∴∴，n=1,2,3,4,6在非真转动中角度转动部分也是如此。

第7页第7页4.1.2立方晶系群（CubicCrystalSystem）立方晶系群T群（T，Td，Th）O群（O，Oh）1、O群（OctahedronGroup)正八面体群对称元素：3个四度轴：x,y,z轴4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of不变操作xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第8页第8页总操作数为:3×3（四度轴有三个操作）=94×2（三度轴有二个操作）=86×1（二度轴有一个操作）=6不变操作=1共有24个真转动操作。xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef1C1，不动，群元E第9页第9页6C2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第10页第10页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第11页第11页8C3，绕对角线转动120o和240o（3-度对称）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第12页第12页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第13页第13页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第14页第14页6C4，绕xyz轴转动90o（4-度对称）xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第15页第15页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第16页第16页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg第17页第17页xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcfdg3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）第18页第18页O群有5类，24个群元，有5个不可约表示O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。上述表示是O群个3-维表示第19页第19页2、Oh群8个全同原子位于立方体8个顶点O群24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。1C1，不动，群元E6C2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）8C3，绕对角线转动120o和240o（3-度对称）6C4，绕xyz轴转动90o（4-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）i，关于中心反演6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演8iC3，绕对角线转动120o和240o，接着中心反演6iC4，绕xyz轴转动90o，接着中心反演3iC2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演xyzA1A8A7A6A5A4A3A2oabcdef第20页第20页3、T群（TetrahedtonGroup，正四周体群)

A2A1A3A4与O群比，少6C4，6C2两种对称性1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o（3-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）4C23，绕对角线转动240o（3-度对称）T群有4类，12个群元，有4个不可约表示T群有三个1-维表示，一个3-维表示。第21页第21页4、Th群

T群12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，因此共有24个操作。共分为8个类。1C1，不动，群元E4C3，绕对角线转动120o（3-度对称）3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）4C23，绕对角线转动240o（3-度对称）i，关于中心反演4iC3，绕对角线转动120o，接着中心反演3iC2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演4iC23，绕对角线转动240o，接着中心反演Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。第22页第22页4、Td群(两种原子构成四方晶体)除T群12个操作外。尚有12个操作：6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。1C1，不动，群元E8C3，绕对角线转动120o和240o（3-度对称）T群中4C3和4C23合并成一类3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演将T群中4C3和4C23合并成一类6iC4，绕对角线转动90o和270o，接着中心反演Td群有2个1-维表示，1个2-维表示，2个3-维表示。第23页第23页5个立方体群互相关系第24页第24页4.1.3点群符号和图示

点群符号有两种：IS制（也叫Hermann-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号Schoenflies（熊夫利斯符号）符号，简写Sch符号

第25页第25页注意：四度反轴不等于四度轴加反演中心C3h六重转反轴≡六重轴加垂直于它对称面

S4四重转反轴

C3i三重转反轴≡三重轴加对称中心

S2

=CS同对称面

二重转反轴≡垂直于轴对称面

Ci=S11无

一重转反轴≡对称中心

C66六重旋转轴

C44■

四重旋转轴

C33▲

三重旋转轴

C22

二重旋转轴

C11无

一重旋转轴

CS=S2

m直线或圆圈

对称面

Ci=S1

1无

对称中心

Sch.I.S图示（标识）

对称要素

第26页第26页晶体含有对称操作：Cn：绕晶体主轴作角度转动，n＝1，2，3，4，6Dn：含有Cn对称晶体，同时存在n根与主轴垂直2-度轴，n＝2，3，4，6Cnh：含有Cn对称晶体，同时含有一个与主轴垂直水平面作为反射镜面，n＝1，2，3，4，6，n为偶数时，Cnh还含有反演操作Cnv：含有Cn对称晶体，同时含有包括主轴竖直平面作为反射镜面，n＝2，3，4，6Sn：含有n重非合法转动对称晶体，n＝2，3，6n＝3时，S3＝C3h第27页第27页晶体含有对称操作：Dnh：含有Dn对称晶体，同时含有一个水平面反射镜面，n＝2，3，4，6Cnv：含有Dn对称晶体，同时含有包括主轴竖直平面作为反射镜面，n＝2，3立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh第28页第28页立方系晶体和六方系晶体等也许含有最多操作能够查表。普通，对称性较低晶体含有对称操作要少一些。晶体也许含有点群操作可构成一个群——晶体点群，它决定晶体宏观对称性。

能够证实：独立点操作对称要素有：（IS）1，2，3，4，6，I，m，

这8个点对称要素共有32种组合（见书）。相应地，每种组合操作构成一个点群，因此，共有32个点群。比如：不也许有垂直于三重轴或六重轴四垂轴（由于垂直于四重轴三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴对称性）

第29页第29页32个晶体点群第30页第30页第31页第31页32个晶体点群不可约表示特性标表三斜晶系：单斜晶系：第32页第32页正交晶系：第33页第33页四角晶系：第34页第34页第35页第35页第36页第36页第37页第37页六角晶系：第38页第38页第39页第39页第40页第40页立方晶系：第41页第41页第42页第42页第43页第43页4.1.4晶格对称性对固体性质影响各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描述，如电导率，介电常数，极化系数等晶体中：物理性质量通常是各向异性，普通用二阶张量来描述，如电导率张量不同固体电导率相差很大，其原因是与晶格对称