复变函数哈尔滨工程大学公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件

《复变函数与积分变换》zPN第1页第1页《复变函数与积分变换》主讲教师：赵景霞zhaojingxia@第2页第2页课程基本简介课程名称：复变函数与积分变换开课学时：48学时考核方式：30分平时成绩（考勤+作业）70分卷面成绩（期末考试）答疑时间及地点：理学楼425周四、周五到11号楼书库购买作业本，价钱3元，必买第3页第3页研究对象复变函数（自变量为复数函数）主要任务研究复变数之间互相依赖关系，详细地就是复数域上微积分。主要内容复变函数积分、级数、留数、保形映射，积分变换等。复数与复变函数、解析函数、课程基本简介第4页第4页学习办法复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内推广和发展，它们之间有许多相同之处。但又有不同之处，在学习中要善于比较、区分、尤其要注意复数域上特有那些性质与结果。第5页第5页复变函数发展过程复数是十六世纪人们在解代数方程时引进。为使负数开方故意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数概念及性质理解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因此，在历史上长时期人们把复数看作不能接受“虚数”。第6页第6页直到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数几何意义和物理意义，澄清了复数概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面一些问题。复数才被人们广泛认可接受，复变函数论才干顺利建立和发展。复变函数发展过程第7页第7页复变函数发展过程1774年，欧拉在他一篇论文中考虑了由复变函数积分导出两个方程。比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他关于流体力学论文中，就已经得到了它们。因此，以后人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细研究，因此这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。第8页第8页复变函数论全面发展是在十九世纪，就像微积分直接扩展统治了十八世纪数学那样，复变函数这个新分支统治了十九世纪数学。当初数学家公认复变函数论是最富饶数学分支，并且称为这个世纪数学享受，也有些人称赞它是抽象科学中最友好理论之一。复变函数发展过程第9页第9页二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支联系也日益密切。复变函数发展过程第10页第10页第一章复数与复变函数第一讲复数及复平面学习要点掌握复数意义及代数运算掌握复平面与复数表示办法掌握复数乘幂与方根第11页第11页§1复数及其代数运算1.复数概念

复数z实部Re(z)=x;虚部Im(z)=y.(realpart)(imaginarypart)第12页第12页

普通,任意两个复数不能比较大小。复数相等2.四则运算z1=x1+iy1与z2=x2+iy2和、差、积和商为：

z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)第13页第13页复数运算满足加法互换律、结合律；乘法互换律、结合律和分派律。第14页第14页共轭复数性质定义若z=x+iy,称z=x-

iy为z共轭复数.(conjugate)3.共轭复数第15页第15页第16页第16页第17页第17页解：第18页第18页§2复数几何表示1.点表示横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面普通称为z-平面，w-平面等。第19页第19页2.向量表示法oxy(z)P(x,y)xy

z=0时，幅角无意义。

第20页第20页幅角无穷多：Argz=θ=θ0+2kπ，k∈Z，第21页第21页当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加p。

当z落于第三象限时，减p.

第22页第22页依据向量运算及几何知识，我们能够得到两个主要不等式oxy(z)

z1z2

z1+z2oxy(z)

z1z2z2-z1第23页第23页3.三角表示法能够用复数模与辐角来表示非零复数z4.指数表示法yox第24页第24页例1例2例3第25页第25页例1解：第26页第26页例2解：第27页第27页例2解：第28页第28页例3证实：第29页第29页例3证实：第30页第30页§3复数乘幂与方根1.复数乘积与商利用复数三角表示，我们能够更简朴表示复数乘法与除法集合相等定理：第31页第31页对除法，有将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2，再将其伸缩到|z2|倍。oxy(z)z1z2z2乘法几何意义第32页第32页例1解：第33页第33页第34页第34页2.复数乘幂则有：——德摩弗(DeMoivre)公式第35页第35页3.复数方根第36页第36页而k取其它整数时，这些根又会重复出现。第37页第37页例2例3第38页第38页例2第39页第39页例3第40页第40页第41页第41页几何上，n个值是以原点为中心，为半径圆周上n个等分点，即它们是内接于该圆周正n边形n个顶点。xyo第42页第42页ONzP4.复球面与无穷远点球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切球面，过O点作z平面垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。对于平面上任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。第43页第43页从几何上能够看出：z平面上每个以原点为圆心圆周相应于球面上某一个纬圈;N这个圆周以外点则相应于相应纬圈以北点，并且若点z模越大，球面上相应点则越