2020届高三文理科数学一轮复习《平面向量基本定理及坐标表示》专题汇编(教师版)

11111122111111112221222111111221111111122212221221112212x1＋xy1＋yx＋xy＋y＋y112231212212121241212《面量本理坐表》题一、相知识点．面量本理(1)定理：如果e是一平面内的两个不共线向量那么于这一平面内的任意向量a，存在唯一一对实数λ，，＝e＋.(2)基底：不共线的向量e，e叫做表示这一平面内所有向量的一组基．．面量坐表在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴向相同的两个单位向量i，j作基底，该平面内的任一向a可表示成＝＋yj，把有序数对，)做向量a坐标，记作＝，．．面量坐运(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x，，b＝(x，)，则＋＝(x＋，＋y，－b＝－x，－，＝λx，)，a＝22(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．→→

②设A(x，)，(x，)则B＝(x－x，－y)，AB|＝x．面量线坐表设＝，y，b＝(x，)其中b≠0.a线xy－＝0.．用论(1)若与b不共线，且＋＝0，＝＝x(2)设＝(x，，b＝(x，)，如果x≠，≠，则∥b⇔＝1222(3)已知P为段中点，若A，)(x，)则P点标为

，；eq\o\ac(△,知)的顶点A，，B(x，，(x，)eq\o\ac(△,则)ABC的心的标为，题型一

平面向基本定理及应用．设，e是面内一组基底，若λe＋＝，则＋＝________.解析0．下列各组向量中，可以作为基底的()A＝，e＝(1,2)B．e＝－，e＝(5,7)C＝，e＝D．e＝(2，－3)，e＝，1/9

121121212121211211122121121212121211211122解析：选，A选中，零向量与任意向量都共线，故其不可以作为基底B选中，不存在实数，使得e＝e，故向量不共线，故其可以作为基底选中e＝e，两向量共线，故其不可作为基底选项中，＝4e，向量共线，故其不可以作为基底．故选B.．在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)示出来的()Ae＝，＝Be＝－，e＝(5，－2)C．＝e＝(6,10)D．＝，－，＝(－2,3)解析：与e不线时，可表示当＝－1,2)e＝(5，－2)时，－×(－≠5×，因此e与e不线，故选B．．已知向量，不线，实数x，y满足(3－4)＋－y)＝6＋e，则2－＝解析：xy→→→．在平行四边形中，为DC边中点，且＝，AD＝bBE等于()11AbaB．＋aC．abDa22→→→→1解析：A，BE＋＋＝－＋ba－a→→→△ABC中分是的等分点AP＝BQ＝BC＝＝PQ()31111A＋bB．－＋b－D．－a－3333→→→→→→→→→→1111解析：A，由题意Q＝＝ABBC＝AB(ACAB)＝＋＝＋b3333→→→．如图，在ABC，BE边的中线，O是BE的点，若B＝a，AC，则A＝()111A＋bB．＋aD．＋b2224→→→→→→→→→→→→111解析：D，＝＋BO＝＋BE＝＋(－)＝AB＋＝AB＝＋b24在行四边形中AC与BD交点OF是线段DC的点若DC＝DF设AC＝aBD＝b则＝)121a＋bB.a＋a＋ba＋2322/9

12212122121212135552→解析：选B如图所示，平行四边形ABCD中与BD交点O，是段DC上的点，且DC3DF，11∴DF＝DC＝OCOD)－BD)，AD＝OD－＝.3622＝AD＋DF＝BDAC＋(AC－)＝＋＝a＋b.在直角梯形ABCD中＝2＝DC为BC边一点，BCF为AE的点则＝)1122－B.－．＋D．AB＋33333解析图的点G接DGCG知四边形DCBG为行四边形以BC＝＝AD－ADAB，∴AE＋BE＝＋BC＝ABAD－AB＝33＋AD于是BF＝＝－＝＋AD－＝＋2AD，选．梯形中∥CD，＝CD，N分别为CD，BC的点．若AB＝＋μAN则λ＋μ等()4C.D.解析：，为AB＋＝AN＋CN＋(CA＋＝AN＋CM＋MA＝－AB－84，所以AB＝－AM，以＝－，＝，以＋＝.→→→．平行四边形ABCD中，和分别是边CDBC的点＝AE＋，中，∈R则＋＝→→→→→→1→→→→1→→→解析AD＝＋ADAEAB＋ADAF＝AB＋ADA＝＋＝1，＋＝，

，，

∴＋＝.21△ABC中PAB上一点CP＝CA＋CBQ是的点AQCP的点为CM＝，实数的值．3/9

AB＋－＝AB＋，CM＝所以CM＝AM－AC＝AQ－AB＋－＝AB＋，CM＝所以CM＝AM－AC＝AQ－λt()＋＝解析：为CP＝CA＋CB，以＝2＋CB，2－CA＝CBCP，以AP＝.即P为的个等分(靠近点，又因为A，，Q三共线，设＝.1λ－222t＝tAP－＝t－＝－t故

λt＝，λ－2＝－t，

，解得.

故t的是在ABC所平面上有三点PQR满足＋PB＋PC＝，QA＝BC，RA＋RCCA，△的面积与△ABC的积之比()A1∶B∶3．1∶4D1∶5解析：，PA＋＋＝AB，PA＋－＋AB，PA＋＝AB＋BPAP∴＝，P为段的一个三等分点，同理可得R的置．∴△的面积为ABC的积减去个小三角形面积△ABC的内角ABC所对2c11211b的边分别是a则＝－××b＋×c×sin＋×a×sinPQR3323C＝－×S＝，△与ABC的积比为∶ABC9ABC3已G是△ABC重心过点作线与AC分交于点M且AM＝x，＝AC(，，则＋y的最小值是)753B.C.D.＋22111解析：，图．＝AN，＝，∵AG＝AB＋AC，∴＝＋AN，y3x3y1又∵M，三共线，∴＋＝∵，y，3x＋＝(3x＋y)·3y

3yx42＋＋＋≥＋当且仅当y＝x时等号．故选3x3→→→→→．ABC中点D满B＝BC，当点E射线(不含点A)上移动时，＝AB＋AC则＋μ的最小值为________．→解析：图所示，△ABC，BD＝BC4/9

kkμ4k25→→→kkμ4k25→→→→→→→→→→→→∴AD＝AB＝AB＋BC＝＋(－)＋AC4→→→→k→→→→又点射线AD(含点)上移动＝kADAE＋＝λ＋μ

，∴＋＝＋≥

k423＝，且仅当k＝时取“＝”λ的最值为.μ→．图，已知△中，点是A为点的点B对称点D是OB分为∶1的个内分点，→→和OA交点E，设O＝a，OB＝→→→→(1)用和b表示向量O、；(2)若OE＝OA求实数λ的．→→→→→解析：由题意知，是BC的中点，且O＝OB.平行四边形法则，OBOCOA→→→→→→25∴＝－OB2－bDC－ODa)b＝2－b→→→→→(2)如题图，∥.∵＝－＝a)－＝(2－)－b→5－－14DCa，∴＝，＝－题型二

平面向的坐标运算．若a＝(2,3)，b＝－，则a－b＝________.解析：．如果向量a＝(1,2)，b＝(4,3)那么ab＝解析：a－2b＝－＝(－7，－4).．已知平面向量a＝，－1)，b，么＋b等于解析：为＋＝，－1)＋(1,3)，所a＝＋2＝13.．已知的点(，－，B(3，－1)C(5,6)，则顶点D的标_．解析：(，)则由＝DC，得(4,1)＝－y)，即解得→→．已知点A(0,1)，向量A＝(－，－，则向量C＝解析:()C(xy43)5/9

即，5)

13135→→→→AB53→BC(2)(3,2)(4)．若向量a(1,1)＝(1,1)，c＝，则c等于)A3aB3－bC－＋3Da3解析c＝xa＋yb(x，y∈，．已知a＝，b＝(，c＝2－b，则＝解析：∵＝，＝(－1,1)，∴c＝a－b＝(3,3)，∴c＝＋9＝32.．已知，B(－，向量＝，DAC的中点，则BD＝________.解析：C，)则BC＝＋3y－2)＝(2,4)，所以解得由为的点可得点D的坐标(0,5)，所以BD＝＋－＝(3,3)

即C(－．在行四边中＝－2,3)线AC与BD交点CO的标为()－5B.，5C.－，5D.，5解析：为在平行四边形中AD＝，＝－，对角线与BD交点，所以CO＝AO＝－(＋AB)－，－.故选→．知点(1,3)，，－1)，则与B同方向的单位向量是)4A，－

B，－

3C．－，D．－，→解析：AB＝OB－＝(4，－1)－(1,3)，－，与AB同方向的单位向量为＝，，故选A．→π．平面直角坐标系xOy中已A，，C为标平面内第一象限内一点且AOC，OC＝2若＝OA＋，＋＝π解析：为＝，∠AOC所以C(2，又OC＝＋OB，以，＝λ(1,0)＋(0,1)＝(，，所以λ＝＝，＋＝．知a＝(5，－，b＝(－4－，若－＋3＝0，则c等4解析：已知c＝－＋2b(－＋－，－＝(－，－4)．所以c＝－，.．知向量a(2,1)＝(1，－．若＋nb，－8)(m，n∈R)则－值为．解析：向量＝，b＝，－，得manb＋n－n)＝，－8)则6/9

m＝m2＝－8，

解得

故m＝－→→→→．面直角坐标系xOy中已知，(0,1)，(－1)，c＞0)，且OC＝2，CλOA＋OB，则实数＋的为________．→→→→→解析：为OC＝，所以OC2＋c2＝，因为c＞0，所以c＝因O＝＋μ，所以(，3)＝(1,0)μ(0,1)，所以λ＝－1，＝，以＋＝3－题型三

平面向共线的坐标示．已知向量a＝，－1)，则下列向量中与向量a平行同向的()A＝(2，－B．b(－2,2)C．b－D．b＝(2，－1)解析：A，－＝2(1，－，＝2am．已知向量a＝(1,2)，b＝－2,3)，若a－n与a＋b共线(其中nR且n0)，则＝________.解析：a＝，b＝(－，得ma－b＝(m＋22－3，2＋＝，a－n2＋共，m可得7(＋)＝0，则＝－．已知向量a＝(m，b，，且b，则＝________.解析：a＝(4)，＝(3－，ab，∴－m－×＝0.＝－．已知向量＝，b＝(2，－，＝，λ．若∥(2＋b，则＝解析：题意得＋b(4,2)因为∥(2a)，c＝(1，)所以4＝，得＝．设向量a(x,，b＝(4，x)若a，b方相反，则实数x的值为_．解析：题意得x－14＝，解得x＝当＝2时，a＝(2,1)＝，此时，b方相同，不符合题意，舍去；当x＝－＝(，b(4，－2)，此时a，b方相反，符合题意→→．已知－，－3)，B，(1,4)，D－，)，若A与CD共线，则t＝→→→→解析：AB＝CD(，t－，∥CD4(－＝－32，解得t－知向量a＝，a－b＝(4,5)，c＝x,3)，若a＋b)∥c则x＝解析：∵＝，－＝(4,5)，ba－(a－＝(1,2)－(4,5)＝－3，－3)，∴2＋＝＋(，－＝(－1,1)．又∵c＝(3)，(2a＋b∥，－×3＝，∴x＝－3.．已知向量OA＝(，＝，OC＝－k10)且，B，三共线，则k值是解析：AB－OA＝－，7)，AC＝－＝(2k2)．三共线，∴AB，AC共线，∴－2×－)＝－7×(－2)，解得k＝－.7/9

2若点，－，B，－2)，C－，－共线，则实数a的为____.→→→→解析：AB(a1,3)(A∥4(1)×(3)4a5a.．量＝，tanα，b(cos，1)，且a，则cos2＝解析：ab，＝，tanα，＝，1)，∴－tanα＝，∴sinα，7∴＝－α＝12×＝.．知向量a－，1)，b，1＋θ，∥，锐角θ＝π解析：为∥b，所以1sinθ×(1＋sinθ)－×＝，sin2＝，所以θ＝，故锐角θ＝．知点A(2,3)，(4,5)C，若AP＝AB＋ACλR)，且点在线x－y＝0，则λ解析设()，则由＝＋AC(x－，y－3)(2,2)λ(5,7)＝(2＋2λ)所以x＝5＋，y＝7又点在直线－2y＝，故λ＋42(7＋5)＝，得＝－.．知平面向量＝，m)，b－且(a)∥b则实数的值为解析：＋b＝(－m，由题意知－m1)－1解得m－，．知向量a(1,2)＝(，ua＋，＝2－b且u∥，实数x值为．解析：a(1,2)b(uab2bu(1,2)x,(21,4)2(1,2)(x,x,3)3(21))0105.．知平面直角坐标系内的两个向量a＝m,3－，b，且平面内的任意向量都以唯一地表示成c＝a＋b(，为数)，则m的取范围是()A－∞，4)C．－∞，4)∪，＋∞

B．(4，＋∞D．－，＋∞解析：C平面内的任意向量c都可以唯一地表示成c＝a＋b，由平向量基本定理可知，向量ab可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a，b是不