理论力学第4章 刚体的平面运动

第4章刚体的平面运动主要研究刚体运动方程以及刚体上不同点的运动量关系。可采用复合运动方法。2023/4/191整理ppt一、工程实例与概念汽车车轮的运动2023/4/192整理ppt自行车车轮的运动2023/4/193整理ppt车轮的运动2023/4/194整理ppt上料机械手2023/4/195整理ppt2023/4/196整理ppt行星轮机构2023/4/197整理ppt行星轮机构2023/4/198整理ppt行星轮机构2023/4/199整理ppt曲柄连杆机构2023/4/1910整理ppt例如曲柄连杆机构中的连杆AB

的运动,其中点A作圆周运动，点B作直线运动，因此，连杆AB

的运动既不是平移也不是定轴转动，而是一种复杂运动．定义:

在刚体运动过程中，体内任意点到某一固定平面之间的距离始终保持不变。即刚体上任一点都在与该固定平面平行的某个平面内运动.2023/4/1911整理ppt1.平面运动的简化平面图形二、刚体平面运动的研究方法刚体的平面运动可以简化为平面图形S在其自身平面内的运动.即在研究平面运动时，不需考虑刚体的形状和尺寸，只需研究平面图形S的运动。2023/4/1912整理ppt

2.刚体的平面运动方程平面图形S的位置，只需确定S内任意一条线段的位置．而任意线段AB的位置可以用其上点A的坐标和线段AB与x轴的夹角表示．因此平面图形S

的位置决定于三个独立的参变量。2023/4/1913整理ppt称为刚体平面运动方程

对于每一瞬时

t

，都可以求出对应的,平面图形S

在该瞬时的位置也就确定了。2023/4/1914整理ppt3.平面运动分解为平移和转动当平面图形Ｓ上的点Ａ不动时，则刚体作定轴转动，平面图形的平面运动（绝对运动）可以看成是平面图形一方面随基点A的平移（牵连运动），另一方面图形又绕基点的转动（相对运动）的合成运动。当平面图形Ｓ上的角

不变时，则刚体作平移。称点A为基点2023/4/1915整理ppt2023/4/1916整理ppt2023/4/1917整理ppt车轮的运动分解车轮的平面运动可以看成是车轮随同车厢的平移和相对车厢的转动的合成．

车轮相对定系（Oxy）的平面运动（绝对运动）车厢（动系Axy

)相对定系的平移（牵连运动）车轮相对车厢（动系Axy)的转动（相对运动）

2023/4/1918整理ppt2023/4/1919整理ppt转动部分的角度、角速度、角加速度与基点的选择无关。平移部分的轨迹、速度与加速度都与基点的选择有关。2023/4/1920整理pptAB杆平面运动的分解2023/4/1921整理ppt

关于刚体平面运动分解为平移和转动的方法:1)基点可以任选(通常选运动情况已知的点)；2)在基点上建立平移坐标系(特定的动系);3)刚体平面运动可以分解为平面图形S随基点的平移(与基点的选择有关)，以及平面图形S相对于基点的转动(与基点的选择无关)。2023/4/1922整理ppt三、平面图形上各点的速度与加速度分析1基点法1)速度：2023/4/1923整理ppt2)加速度注意:

式中A、B两点应是同一平面图形上的不同两点.2023/4/1924整理pptOBAvOaO例1

半径为R的圆轮在直线轨道上作纯滚动。轮心速度为vO

、加速度为aO

。求：1.轮与地面接触点A的加速度;2.轮缘上B点的加速度。

2023/4/1925整理ppt例2

图示为曲柄连杆机构,已知:OA=r,AB=l,ω。求：1.连杆AB的角速度ωAB和滑块B的速度vB

;2.

连杆AB的角加速度αAB和滑块B的加速度aB。

2023/4/1926整理ppt2瞬心法—基点法的特殊形式之一。问：基点可任选，选什么基点，公式最简？答：选S上速度或加速度为零的点。速度瞬心Cv、—某瞬时S上速度为零的点。加速度瞬心Ca—某瞬时S上加速度为零的点。取瞬心为基点研究平面图形上各点速度或加速度的方法叫瞬心法。2023/4/1927整理ppt解：1)速度瞬心法2023/4/1928整理ppt速度瞬心位置的确定过A,B两点分别作速度的垂线,交点就是该瞬间的速度瞬心Cv

。①已知某瞬间平面图形上A,B两点速度的方向,且。2023/4/1929整理ppt2023/4/1930整理ppt2023/4/1931整理ppt2023/4/1932整理ppt45o90o90o

0O1OBAD例3

在图示四连杆机构中OA以

0绕O轴转动。求：1、AB杆的角速度；

2、B和D点的速度。2023/4/1933整理ppt连接A，B与两速度末端，两线段的交即为图形的速度瞬心Cv。②已知某瞬时图形上A,B两点速度同向不等值,或反向，且2023/4/1934整理ppt2023/4/1935整理ppt下接[例4]2023/4/1936整理ppt行星轮机构2023/4/1937整理ppt若vA＝vB，如右图所示。则也是瞬时平移。此时,平面图形的瞬心Cv在无穷远处,平面图形的角速度=0,图形上各点速度相等,这种情况称为瞬时平移。

③已知某瞬时平面图形上A,B两点的速度平行等值。2023/4/1938整理ppt2023/4/1939整理ppt

曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平移．此时连杆BC的图形角速度，BC杆上各点的速度都相等.但各点的加速度并不相等。2023/4/1940整理ppt2023/4/1941整理ppt④平面图形沿固定面做纯滚动，其接触点即为速度瞬心Cv

。2023/4/1942整理ppt试画出图示作平面运动的构件的速度瞬心位置以及角速度的转向（轮子作纯滚）。1.轮O作平面运动，

C１为其速度瞬心。2.杆AB作平面运动,

C2为其速度瞬心。2023/4/1943整理ppt1.轮C作平面运动，C1为其速度瞬心，C。2.BD作平面运动，C2为其速度瞬心，BD。3.AB作平面运动，C3为其速度瞬心，AB。2023/4/1944整理ppt

平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。若点C为速度瞬心，则任意一点A的速度大小为方向AC，指向与

一致。2023/4/1945整理ppt

关于速度瞬心的几点小结

1.瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不断变化的。但在任一瞬时是唯一存在的。

2.瞬心可在平面图形内,也可在图形以外.3.速度瞬心处的速度为零,但加速度不一定为零。

4.刚体作瞬时平移时，虽然各点的速度相同，但各点的加速度不相同。2023/4/1946整理ppt解：2023/4/1947整理ppt解：2023/4/1948整理ppt解：2023/4/1949整理ppt解：2023/4/1950整理ppt2)加速度瞬心法2023/4/1951整理ppt2023/4/1952整理ppt

线性分布2023/4/1953整理ppt3投影法问：基点法公式在任何方向的投影式成立，在何方向获得最简形式？2023/4/1954整理ppt思考:下列运动是否可能?2023/4/1955整理ppt2023/4/1956整理ppt解：2023/4/1957整理ppt

1.一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一点．

2.一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关系式.即一般情况下,图形上任意两点A,B

的加速度：关于加速度瞬心的几点小结2023/4/1958整理ppt3.由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求平面图形上各点的加速度或图形的角加速度。

若某瞬时平面图形=0,即瞬时平移,则有2023/4/1959整理ppt1一般分析思路1)分析要素2)分析途径结点分析：铰.瞬时重合点（移动?）,无滑滚动刚体分析:

两点运动关系顺次求解迂回求解四、平面机构的运动分析

2023/4/1960整理ppt3)机构类型铰联式铰联、滑移式行星轮系（含滑动联结的平面机构）各运动构件之间铰联，在铰接点两物体的速度和加速度均相同。（含铰联与无滑动滚动）2023/4/1961整理ppt曲柄滚轮机构2023/4/1962整理ppt分析:要想求出滚轮的Ｂ,Ｂ先要求出vB

,

aB..例1已知:OA=R=15cm,

曲柄转速n=60r/min。求：当

=60º时(OAAB),

滚轮的Ｂ，Ｂ．2023/4/1963整理ppt解：研究AB：C1，C2

分别为杆AB和轮的速度瞬心C12023/4/1964整理ppt将上式向x方向投影，得式中2023/4/1965整理ppt2023/4/1966整理ppt2023/4/1967整理ppt2023/4/1968整理ppt双曲柄机构2023/4/1969整理ppt例3

已知：OA=0.15m,n=300r/min,AB=0.76m,BC=BD=0.53m.

图示位置时,AB水平.求该位置时的、及.2023/4/1970整理ppt

2023/4/1971整理ppt例4已知:图示瞬时,O点在AB中点,=60º,BCAB,

O,C在同一水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s

。求:该瞬时AB杆,BC杆的角速度及滑块C的速度。2023/4/1972整理ppt由于沿AB,

所以其方向沿AB。从而确定了AB杆上与O点接触点的速度方向。解:

取点O为动点，动系固连在杆AB上，有2023/4/1973整理ppt研究AB,C1为其速度瞬心2023/4/1974整理ppt研究BC,

以B为基点，有1个动点2个基点的例2023/4/1975整理ppt

行星轮机构2023/4/1976整理ppt砂轮轴线2023/4/1977整理ppt砂轮轴线2023/4/1978整理ppt砂轮轴线2023/4/1979整理ppt砂轮轴线2023/4/1980整理ppt1、问题的引入引例：已知：r,0=常数,AB⊥

OA,试用两种方法求点B的速度.（1）基点法；（2）点的速度合成法。OAB0rr五、刚体绕平行轴转动的合成2023/4/1981整理ppt2023/4/1982整理pptOAB0rrxyx'y'1)基点法：取A为基点，即以A为原点建立图示平移坐标系。行星轮的平面运动（绝对运动）行星轮随动系的平移（牵连运动）行星轮相对动系的转动（相对运动）+此时，有:

ωa=ωra=r2023/4/1983整理pptOAB0rrxyx'y'2)点的速度合成法：行星轮的平面运动（绝对运动）行星轮随动系的定轴转动（牵连运动）行星轮相对动系的转动（相对运动）+有必要研究ωa，ωe

和

ωr之间的关系。此时，ωa=ωr

不再成立。取B为动点，将动系固连在杆OA上。2023/4/1984整理pptaxy刚体绕两平行轴转动时，刚体的绝对转角等于它随动系的牵连转角与相对动系的相对转角的代数和。O1O2x'y'1)三种转角之间的关系2三种转角ุ角速度及角加速度之间的关系rax'y'eO2er2023/4/1985整理ppt刚体的绝对角速度等于它随动系的牵连角速度与相对动系的相对角速度的代数和。刚体的绝对角加速度等于它随动系的牵连角加速度与相对动系的相对角加速度的代数和。2)三种角速度及角加速度之间的关系2023/4/1986整理ppt

过速度瞬心C，与牵连轴O1及相对轴O2平行的轴称为瞬时轴。（1）当e

与r同向时，瞬时轴的位置可由3)刚体瞬时轴的确定设：O1C=h1，O2C=h2即

h1e=h2r得当e

与r同向转动时，瞬时轴内分两轴间的距离，内分比与两角速度大小成反比。O1O2erCh1h22023/4/1987整理ppt(2)

当e

与r反向，且e>r时,当e

与r反向，且e<r时，同样有上式成立。O1O2er设：O1C=h1O2C=h2

瞬时轴的位置仍可由当e

与r反向转动时，瞬时轴外分两轴间的距离，在较大角速度的轴的外侧，外分比与两角速度大小成反比。Ch1h2即h1e=h2r

得2023/4/1988整理ppt(3)

e

与r反向，且e=r

时，a=e-r

0

刚体平移O1O2er刚体的这种运动称为转动偶。当e

与r等值且反向转动时，刚体的合成运动为平移。2023/4/1989整理ppt2023/4/1990整理ppt例1

杆OA的角速度为ω，各轮半径均为r,轮1固定。求:轮3上点M（AM⊥OA）的速度vM，加速度aM

。Mw123OAB2023/4/1991整理pptvM=vA=4rwaM

=aA

=4rw2又点C1为轮2的速度瞬心于是有vD=2vB=4rω=vA解：已知vB=2rω,vA=4rω可知轮3为转动偶，故有：Mw123OABvDvAC1DvB2023/4/1992整理pptOAB0rr例2已知：r,

0=常数

,AB⊥OA,试用两种方法求点B的速度。（1）基点法；（2）点的合成运动法。2023/4/1993整理pptOAB0rr解1

基点法：取A为基点，研究点B1a=

20vAvAvBA由速度四边形，得vBCx'y'1a2023/4/1994整理pptOAB0rr解2

点的速度合成法：取B为动点，动系固连在杆OA上，1rvevr由于瞬时轴C位于两轴之间,故1r

与0

同向，Cx'y'1r=02023/4/1995整理pptOAB0rr1rCyvevrγγvax2023/4/1996整理pptMw0123OABw1OAB0rr0思考题如何求行星轮的ωa

和ω

r

?有否更简便的方法求ω

a

和ω

r

?介绍反转法2023/4/1997整理ppt六、点在平面运动参考系中的合成运动1速度合成2加速度合成2023/4/1998整理ppt导槽滑块机构2023/4/1999整理ppt2）应用平面运动方法确定AE上A、C‘

点之间速度关系。例1

导槽滑块机构图示瞬时,杆AB速度，杆