数学工作效率公式

数学工作效率公式

课堂提问是一种最干脆的师生双边活动，是组织课堂教学的运用频率最高的教学手段，更是教学胜利的根底。精确、恰当的课堂提问能激发学生学习的爱好、诱发学生的思维、集中学生的精力、开启学生的智力，提高课堂教学的效率。现实中，经常会出现这样两种不同的现象：在令人感爱好的、老师善问的课堂上，学生兴趣盎然，感到时间像在飞，甚至遗忘了时间。相反，有的老师不擅长提问，时时是每讲一两句，便问“是不是？”“对不对？”发问不少，却引不起学生爱好，使学生觉得乏味，感到时间像在渐渐地爬，渴望早点下课。

数学课堂教学，重在引导，而引导之法首先在于善问，所以数学老师必需讲究提问的技巧和策略。老师提出的问题应能让学生明白哪些内容是学习重点、难点、关键点，能把学生思维引入“最近开展区”，使学生思维到达适当的深度和广度，提高课堂教学的效率。

一、运用题组式提问奇妙构建学问网络

这种提问通常是在一堂课课末或一个章节学完之时。因为一堂课或全章节的学问点比拟散，课末或章末时运用题组式提问，可使学生对所学学问理解、驾驭得更加连贯、完整、系统，提高教学效率。

例如，在学习完函数定义、函数的单调性、函数的奇偶性等内容后，可设计如下题组进展复习：

案例1、函数的定义域为R，对x，y∈R都有

f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，f〔3〕=5，当x>0时，f〔x〕>0.

〔1〕f〔0〕的值是多少？〔2〕f〔x〕的奇偶性如何？〔3〕f〔x〕在R上的单调性如何？〔4〕f〔x〕在区间[-3，6]上存在最值吗？假设存在，如何求？你还能求函数在哪些区间上的最值？

生1：〔1〕∵对x，y∈R都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，取x=y=0，得f〔0〕=f〔0〕+f〔0〕，∴f〔0〕=0.

〔2〕∵对x，y∈R都有f〔x+y〕=f〔x〕+f〔y〕，取y=-x，得f〔0〕=f〔x〕+f〔-x〕，又由⑴知，f〔0〕=0，

∴f〔x〕=-f〔-x〕，∴f〔x〕的为奇函数。

〔3〕设x2>x1，那么x2-x1>0，又由确定，当x>0时，f〔x〕>0，∴f〔x2-x1〕>0，即f〔x2〕+f〔-x1〕>0，即f〔x2〕+f〔x1〕>0，

∴f〔x2〕>f〔x1〕，∴f〔x〕在R上为单调增函数。

〔4〕由⑶f〔x〕在区间[-3，6]上也应为增函数，且f〔x〕min=f〔-3〕=-f〔3〕=-5，f〔x〕max=f〔6〕=2f〔3〕=10。由确定条件，还能求f〔x〕在[-3，3]，[-3，9]，[-3，12]，…，[0，3]，[0，6]，[0，9]，[0，12]，…，[3，6]，[3，9]，[3，12]，…等区间上的最值。

解答上述各题，分别将函数、函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等概念复习了一遍，这样做要比单纯地提问：“函数的定义是什么？函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等概念分别怎样？”更有效，而且在整个操作过程中学生心情兴奋，思维活泼，回答下列问题踊跃性很高。另外，通过第⑷题后面的一道开放题，可以造就学生思维的开阔性、发散性。

二、针对关键词提问深刻理解概念定理

通过“关键词”提问可以定向限制教学活动，使学生思维遵照正确方向踊跃主动开展。数学中，因“关键词”引发的提问数不胜数。

案例2、线面平行判定定理“假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这平面平行”，即“假设a?埭?琢，b?埭?琢，a∥b，那么a∥?琢”〔如图1〕中的关键词是什么？

生2：定理中的关键词是“平面外”，“平面内”，“平行”。

师：依据关键词你能提出什么问题？

生2：〔1〕将“平面外”三个字去掉，结论如何？

〔2〕将“平面内”三个字去掉，结论又如何？

〔3〕将条件中“平行”两字去掉，结论又如何？

师：谁来答复上述各问题？

生3：〔1〕结论有可能为“线a在面?琢内，如图2”；

〔2〕结论有可能为“线a和面?琢相交，如图3”；

〔3〕结论有可能为“线a和面?琢相交，如图4”。

通过上述问题的设计和解答，大大加深了学生对概念的理解。在教学时，大胆放手让学生主动去依据关键词提问并答疑，符合青少年学生好胜心强，喜爱挑战，敢于发表看法的特点，可使教学更具竞争性和刺激性，教学效率自然提高。

爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”假如学生提不出问题，那肯定是教育的悲惨，故鼓舞引导学生自己提出问题，强化其问题意识是提高数学课堂教学效率、造就创新实力的重要手段。

三、进展悬念性提问激发学生学习爱好

利用悬念提问可使学生精力集中，给学生造成一种跃跃欲试和急于求知的迫切心情，激发学生学习爱好，提高课堂教学效率。

如学习虚数时，可采纳如下引入过程。

案例3、确定a+=1求a2+的值。

生4：a2+=〔a+〕2-2=1-2=-1，

〔但很快，该学生对结果产生了疑心〕a2+怎么会小于0呢？

师：a+没有实数根，但有虚数根，而当a取某虚数时，a2+可使值小于0.那么什么是虚数呢？

这样提问，能激起学生的悬念，让学生产生急于想知道的心理需求，听课会更加专注，比干脆给出虚数定义要自然合理得多，教学效率也自然会提高。

四、进展拓宽性提问强化思维的深刻度

这种提问可以鼓励学生学习的踊跃性，使课堂教学充溢朝气和活力。在数学课堂教学中，假如仅仅驾驭课堂上和书本中的学问，这样学生学习爱好和踊跃性就不高，且也适应不了高考的要求，所以提问时，要有意识地提问具有必须深度和广度的拓宽性问题。问题深度是指提出的问题蕴含着重要的数学思想、数学方法，而问题的广度是指提出的问题与其他学问联系较多。如，在学习“恒成立问题”时，可提出如下问题串，强化学生思维的深度和广度，提高课堂教学效率。

案例4、〔1〕对于随意k∈[－1，1]，函数

f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，那么x的取值范围是________．

⑵对于随意x∈[3，5]，函数f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，那么k的取值范围是________．

生5：⑴此题应将k视为主变量，x视为次变量。

令g〔k〕＝〔x－2〕k＋〔x－2〕2，它是关于k的一次函数，那么问题转化为一次函数g〔k〕>0对k∈[－1，1]恒成立。

∴g〔-1〕>0g〔1〕>0，解之得x3.∴x的取值范围是｛x|x3｝。

师：还有其他解法吗？

生6：此题也可用分别参数法，且把x当作参数〔即次变量〕。

∵对于随意k∈[－1，1]，函数f〔x〕＝x2＋〔k－4〕x－2k＋4的值恒大于零，

∴对于随意k∈[－1，1]，〔x-2〕k>-x2+4x-4恒成立，

∴对于随意k∈[－1，1]，〔x-2〕k>-〔x-2〕2恒成立，

①当x-2=0，即x=2时，上式不行能对随意k∈[－1，1]恒成立，故x=2舍；

②当x-2>0，即x>2时，对于随意k∈[－1，1]，k>-〔x-2〕恒成立，即对于随意k∈[－1，1]，-〔x-2〕3，又x>2，∴x>3；

③当x-2本文为全文原貌未安装PDF阅读器用户请先下载安装原版全文即对于随意k∈[－1，1]，-〔x-2〕>k恒成立，〔把-〔x-2〕作为一个整体分别出来〕

∴-〔x-2〕>1，∴x3｝.

师：第〔2〕应怎样解？只要说出解题思路即可。

生7：〔2〕此题应将x视为主变量，k视为次变量。

法一：需对对称轴直线x=的位置分三种状况〔在区间[3，5]的左、中、右〕进展探讨〔过程略〕。

法二：分别参数法〔过程略〕。

此题答案：k的取值范围是〔-1，+∞〕。

五、进展层次性提问突出思维的渐近性

在教学过程中，老师提出的问题应按部就班，有层次感，将学生思维逐步引向深化。如在学习过函数奇偶性概念后，为了让学生理解深刻，老师可提出如下问题：

案例5、〔1〕判定以下函数的奇偶性：

①f〔x〕=x-；②f〔x〕=5；③f〔x〕=0；④f〔x〕=；

⑤y=x2，x∈[-1，1]；⑥y=x2，x∈[-1，1〕；⑦y=.

⑵函数f〔x〕=3x-3-x在区间[-3a+2，a2]上的奇偶性如何？

⑶假设函数y=ax+b，x∈〔1-2a，a2〕为奇函数，那么a，b的值分别为多少？

生8：〔1〕①奇；②偶；③既奇又偶；④非奇非偶；⑤偶；⑥非奇非偶；⑦非奇非偶；

〔2〕∵f〔x〕=3x-3-x，∴f〔-x〕=3-x-3x=-f〔x〕，

∴函数f〔x〕=3x-3-x在区间[-3a+2，a2]上为奇函数。

师：上述解法正确吗？

生9：⑵不正确。只有在-3a+2+a2=0，即a=1或a=2时，f〔x〕=3x-3-x才是奇函数，否那么此函数为非奇非偶函数；

生10：⑶∵函数y=ax+b，x∈〔1-2a，a2〕为奇函数，

∴，〔1-2a〕+a2=0b=0，即a=1，b=0.

上面的几个问题由浅入深，由易到难，前后连接，相互照应，按部就班，把一个函数具有奇偶性的一个必要条件“函数的定义域关于原点对称”和充要条件“函数的定义域关于原点对称，且对定义域内随意x，都有f〔x〕=-f〔x〕〔偶函数〕或f〔x〕=-f〔-x〕〔奇函数〕”提醒出来，这样提问要比干脆提问“一个函数具有奇偶性的一个必要条件和充要条件分别是什么？”要更能引起学生的关注，教学效率也随之提高。

六、进展开放性提问强化思维的发散性

条件或结论不唯一的问题称为开放题。开放性问题具有挑战性，它给学生供应了充分表达自己想法的时机，能使学生体验到探究和发觉数学学问的乐趣。因此，老师在教学过程中，提出的问题应具有必须的开放性，使学生产生尽可能多、尽可能新颖 的想法，更好地造就学生思维的发散性、创新性。进展开放性提问，学生势必会绽开多角度、多方向的思维活动，产生大量的、新颖 独特的答案，使学生真正感受到数学的魅力。

例如，学习过映射概念之后，为了稳固加深对概念的理解，激发学生的学习爱好，提高课堂的教学效率，可提出以下开放性问题：

案例6、〔1〕确定集合A=｛x|-4≤x≤-1｝，函数f〔x〕=x2，你能构造一个集合B，使集合A到集合B的对应构成映射，且对应法那么为f吗？

〔2〕确定集合A=｛x|-4≤x≤-1｝，集合B=｛x|0≤x≤5｝，你能构造一个函数f〔x〕，使集合A到集合B的对应构成映射，且对应法那么为f吗？

生11：⑴集合B是不唯一的，只要｛x|1≤x≤16｝?哿B即可，如B=｛x｜1≤x≤16｝，或B=｛x｜0≤x≤16｝，或B=｛x｜-3≤x≤19｝等均可；

〔2〕函数f〔x〕是不唯一的，如f〔x〕=|x|，或f〔x〕=|x|、

f〔x〕=x+4、f〔x〕=x+5等均可。

七、进展陷阱式提问造就思维的批判性

在中学数学教学中，针对学生对某些数学概念、法那么、定理、公式等方面理解不够深刻和透彻而导致解题失误的现象，可有意识地在易错处设计一些迷惑性问题，让学生充分暴露其不合理的思维过程，再引导学生过渡到正确解法，这样学生的印象特殊深刻。如在学完圆锥曲线的统必须义后，为了让学生真正理解此定义，可以提问：

案例7、〔1〕到定直线2x+y=4的距离与到定点〔1，2〕的距离相等的动点的轨迹是什么？

〔2〕到定直线2x+y=4的距离与到定点〔1，1〕的距离的比为2的动点的轨迹是