高等机构学的数学基础

高等机构学的数学基础第1页，共34页，2023年，2月20日，星期二第一讲高等机构学的数学基础

1)图论的基本知识和排列组合的基本概念2)矩阵变换与运算3)求解非线性方程组4)数值积分，常微分方程的数值解法机构结构的综合运动分析、动力分析、机构综合机构运动分析和机构综合机构的动力学第2页，共34页，2023年，2月20日，星期二一、矢量运算

1．两个矢量的点积定杆长约束方程第3页，共34页，2023年，2月20日，星期二

2．两矢量的叉积第4页，共34页，2023年，2月20日，星期二

3．矢量的常用运算第5页，共34页，2023年，2月20日，星期二u—角速度矢量的瞬时方向

4．矢量微分第6页，共34页，2023年，2月20日，星期二

4．矢量的复数表示法第7页，共34页，2023年，2月20日，星期二当用n+1个分量表示n维空间的点的位置时，称为齐次坐标表示法二、常用坐标变换

1．齐次坐标在二维空间内，点p(x,y)的齐次坐标为p(X,Y,w)

，在三维空间内，点p(x,y,z)的齐次坐标为p(X,Y,Z,w)

。在机构学中，常令w＝1X:Y:Z:w=x:y:z:1x=X/wy=Y/wz=Z/w第8页，共34页，2023年，2月20日，星期二

2．坐标变换坐标平移变换第9页，共34页，2023年，2月20日，星期二⑴绕坐标轴的旋转变换坐标旋转变换绕z轴的旋转变换ri=[Rij]zrj第10页，共34页，2023年，2月20日，星期二绕y轴的旋转变换ri=[Rij]yrj绕x轴的旋转变换ri=[Rij]xrj第11页，共34页，2023年，2月20日，星期二此方阵可分为四部分总结左下角部分产生透视变换；左上角部分产生三维比例、对称、错切、和旋转变换。右上角部分产生平移变换；右下角部分产生全比例变换。第12页，共34页，2023年，2月20日，星期二绕z轴与x轴的旋转变换ri=[Rik]zrkrk=[Rkj]xrj

ri=[Rik]z[Rkj]xrj=[Rij]zxrj绕z轴转φ

、绕x轴转γ

第13页，共34页，2023年，2月20日，星期二绕z轴、y轴、x轴的旋转变换ri=[Rik]zrkrk=[Rkl]yrl

ri=[Rik]z[Rkl]y[Rlj]xrj=[Rij]zyxrjrl=[Rlj]xrj第14页，共34页，2023年，2月20日，星期二⑵绕空间任意轴u的旋转变换①

u轴绕y轴顺时针转-β，到达u'③u"轴绕z轴逆时针转φ④u"轴绕x轴顺时针转-

，返回u'②u'轴绕x轴逆时针转

，到达u"⑤u‘轴绕y轴逆时针转β

，返回u

[Rφ]u=[R-β]y[Rγ]x[Rφ]z[R-γ]x[Rβ]y∵[Rφ]-1=[Rφ]-T

[Rφ]为正交矩阵第15页，共34页，2023年，2月20日，星期二空间不共原点的坐标变换不共原点的坐标变换是指坐标系的移动和旋转变换的合成结果坐标原点由Oi移动到Oj，然后以Oj

为共原点发生旋转变化，如图xjyjzjxicos(xi^xj)cos(xi^yj)cos(xi^zj)yicos(yi^xj)cos(yi^yj)cos(yi^zj)zicos(zi^xj)cos(zi^yj)cos(zi^zj)xi^xj、xi^yj等为轴间角第16页，共34页，2023年，2月20日，星期二哈登伯格—迪纳维特矩阵(Hadenberg—DenavitMatrix)坐标系中的xj，沿着zj和坐标系中zi轴的公垂线方向设zi和zj的公垂线距离为a1，xi和xj之间线距离为s1ri=[Rij]rj③沿xj方向移动a1，O'i到达Oj④绕xj轴转

，到达①

沿zi平移s1，到达②

绕zi轴转φ，x'i与xj重合第17页，共34页，2023年，2月20日，星期二三、常用矩阵运算

1．刚体位移矩阵平面刚体位移矩阵

1）平面刚体位移矩阵第18页，共34页，2023年，2月20日，星期二刚体平面运动的简要表达方式：第19页，共34页，2023年，2月20日，星期二

2）空间刚体位移矩阵用[Rij]zyx或[Rφ]u代替刚体平面运动的[Rθ]第20页，共34页，2023年，2月20日，星期二

3）螺旋位移矩阵刚体由位置E1运动到Ej位置，可用刚体上的标线p1q1和pjqj表示该刚体的运动。其运动过程有3种描述方法：螺旋运动：③是一种螺旋运动。螺旋运动是描述刚体运动的最简单的运动方式。①p1q1平动到pjqj´，然后绕过pj的某个u轴转φ1j，到达pjqj。②过p1作u轴的垂线，距离为sn，设u轴上距离npj=s，这样，刚体由E1运动到Ej可看作E1沿u轴垂线方向移动sn，再沿u轴平移s，再绕u轴转φ1j，可到达pjqj。③若作p1n

的中垂线得一轴su，仍平行u轴。这时，刚体由E1运动到Ej

可看做E1绕su轴的转动和沿su轴的移动的合成。第21页，共34页，2023年，2月20日，星期二有限螺旋位移矩阵若把刚体E扩大，使之与螺旋轴su相交，交点为p1，表示刚体E1的标线为p1q1。把螺旋轴仍记为u轴。螺旋矩阵第22页，共34页，2023年，2月20日，星期二数值位移矩阵螺旋矩阵可以方便地描述刚体的空间运动，但是，工程中给出的刚体运动参数通常不是螺旋运动参数，而是给出刚体上不共面的几个点的直角坐标值。不能直接运用刚体螺旋矩阵进行具体的设计或分析。可对给定刚体上点的坐标值进行数据处理，构成与[Rφ]u等阶的数值位移矩阵[D]。根据数值位移矩阵中的已知元素，求出螺旋矩阵中的运动参数，即求出φ，ux，uy，uz，p1x，p1y，p1z等参数。第23页，共34页，2023年，2月20日，星期二设刚体E在坐标系σ中作有限位移运动，刚体上不共面的四个点A、B、C、D可决定刚体在空间的位置。[D12]为刚体由位置1到位置2的位移矩阵。第24页，共34页，2023年，2月20日，星期二由数值位移矩阵求解螺旋矩阵①求螺旋角φ：第25页，共34页，2023年，2月20日，星期二②求ux,uy,uz：第26页，共34页，2023年，2月20日，星期二③求线位移s及p1点坐标：设p1x=0第27页，共34页，2023年，2月20日，星期二

2．旋转矩阵及其微分

1）角速度矩阵2D空间：第28页，共34页，2023年，2月20日，星期二3D空间：第29页，共34页，2023年，2月20日，星期二

2）角加速度矩阵2D空间：3D空间：第30页，共34页，2023年，2月20日，星期二

3）微分位移矩阵设刚体2点p、q:速度矩阵加速度矩阵第31页，共34页，2023年，2月20日，星期二四、非线性方程组的数值解法

1．Newton-Raphson法的基本原理准确法、数值迭代法、消元法、渐进法非线性方程组的基本形式