九年级数学下册二次函数的应用教案

课题：2.4二次函数的应用

教学目标：

1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实

际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学知识的应用价值.

2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次

函数的知识解决实际问题中的最大(小)值问题．

3．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．进一步体会数学

与人类社会的密切联系.

教学重点与难点：

重点：

经历探究矩形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题

的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值.

难点：

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数

的知识解决实际问题．

课前准备：导学案,多媒体课件．

教学过程:

一、创设情境，导入新课

活动内容：（利用导学案）

探究活动：以小组为单位，用长1米的绳子围成不同的图形，看哪个小组围成的图形最

多，并估算出所围成的这些图形中，哪个图形的面积最大？

图形面积

处理方式：学生先把答案写在导学案上，然后小组内交流，班级内比较的到当场合款相

等时面积最大.

设计意图:增加学生的动手能力和小组合作探究能力，同时也为了复习图形的面积公式，

会用估算的方法比较这些图形的面积大小，探究其中的规律，为本节课学习最大面积问题做

好铺垫．

二、探究学习，感悟新知

活动内容：（多媒体展示）

问题一：探究两边在直角三角形直角边上内接矩形的最大面积

如图，在一个直角三角形的内部作一个长方形E

ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上．

C

（1）设长方形的一边AB＝xm，那么AD边的30mD

长度如何表示？F

AB

（2）设长方形的面积为ym2，当x取何值时，40m

y的值最大？最大值是多少？

解：（1）∵BC∥AD，

EBBC

∴△EBC∽△EAF．∴．

EAAF

又AB＝x，BE＝40－x，

40xBC3

∴．∴BC＝(40－x)．

40304

33

∴AD＝BC＝(40－x)＝30－x．

44

33

（2）y＝AB·AD＝x(30－x)＝－x2＋30x

44

3

＝－（x2－40x＋400－400）

4

3

＝－（x2－40x＋400）＋300

4

3

＝－（x－20）2＋300．

4

当x＝20时，y＝300．

最大

即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2．

处理方式：学生讨论交流，在导学案上完成后，学生之间互相展示结果讨论补充,教师

适时点评，并在多媒体上展示正确结果.

设计意图：从矩形的面积公式入手，利用相似三角形的性质表示出另外一条边，才能列

出函数表达式，这一过程先由学生独立思考后，分组合作探究、交流，帮助个别存在困难的

同学解决．此题的思路也是解决矩形最大面积问题最常用的方法．

问题二：探究一边在直角三角形斜边上内接矩形的最大面积（多媒体展示）

如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中BC在斜边上，A,D在直角边

上．如果设矩形的一边ADxm，那么AB边的长度

如何表示？当x取何值时，矩形面积y的值最大？最大

值是多少？E

解：设矩形的一边ADxm，C

N

30mDB

M

F

GA

40m

ADGM

由GADGFD，得，

EFGN

xGM

即，

5024

12

∴GMx．

25

12

∴ABMNGNGM24x．

25

1212

SADABx(24x)x224x．

矩形ABCD2525

b24242

当x25时，y有最大值，最大值为y300

12最大值12

2a2()4()

2525

处理方式：在有了前面解答问题的经验之后，让学生自主探究，寻求变量与不变量之间

的关系，仿照第一种情况，再一次体验解决此类问题的步骤和方法，本环节相当于对问题1

的巩固练习，学生在认真听讲的前提下完成应该没有问题，提醒学生计算要认真．

设计意图：在上一道题的基础上，利用相似三角形的性质表示出矩形的另一条边长，列

出二次函数表达式，但此题上了难度，难度在于利用的是相似三角形对应高的比等于相似比

这一性质，而且还要用到等积法求直角三角形斜边上的高．充分发挥学生的主动探究能力，

并由个别程度较好的学生讲解，最后再板书进行反思总结．

三、例题解析,新知应用

活动内容：（多媒体出示例题）

某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，

制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m．当x等于多少

时，窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)？此时，窗户的面积是

多少？

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

157xx

∴y＝．

4

设窗户的面积是S(m2)，则

1

S＝πx2＋2xy

2

1157xx

＝πx2＋2x·

24

1x(157xx)

＝πx2＋

22

＝－3.5x2＋7.5x

15

＝－3.5(x2－x)

7

151575

＝－3.5(x－)2＋．

14392

15

∴当x＝≈1.07时，

14

1575

S＝≈4.02．

最大392

即当x≈1.07m时，S≈4.02m2，此时，窗户通过的光线最多．

最大

答案：x1.07m时，S4.02m2.

最大

处理方式：本题含有两个图形的面积计算，主要是想进一步提高学生分析问题和解决问

题的能力，巩固训练列二次函数表达式和求最值的方法．让学生理解通过窗户光线多少与窗

户面积大小有关．此题处理起来比较繁琐，教师要给予学生及时的指导和帮助，同时也告诉

学生数学基本运算也是培养大家做事严谨、有耐心的一个很好的途径．

设计意图：在学生已有的探究“面积最大值”经验获取的体会中，让学生继续沿着这条

探究路线走下去，既能巩固前面的探究方法，又能让学生再次感受“数学来源于生活”.

方法提炼：

我们已经做了不少用二次函数知识解决实际问题的例子，现在大家能否根据前面的例子

作一下总结，解决此类问题的基本思路是什么呢？与同伴进行交流．（学生讨论，教师多媒

体展示）

(1)理解问题；

(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；

(3)用数学的方式表示它们之间的关系；

(4)做函数求解；

(5)检验结果的合理性，拓展等．

设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，

达到举一反三的目的和效果．

四、拓展提升,学以致用

一养鸡专业户计划用116m长的竹篱笆靠墙围成一个长方形鸡舍，

怎样设计才能使围成的长方形鸡舍的面积最大？最大为多少？

解：设AB长为xm，则BC长为(116－2x)m，长方形面积为Sm2．

根据题意得S＝x(116－2x)

＝－2x2＋116x

＝－2(x2－58x＋292－292)

＝－2(x－29)2＋1682．

当x＝29时，S有最大值1682，这时116－2x＝58．

即设计成长为58m，宽为29m的长方形时，能使围成的长方形鸡舍的面积最大，最大面

积为1682m2．

处理方式：学生通过思考并交流讨论，探索出需要利用本节课学的知识解决题目，教师

利用多媒体展示答案.活动的设计意在通过问题的变式促使学生灵活运用知识，在解决实际

问题中,重视知识的发展,有利于后续学习兴趣的培养.

设计意图：让同学们通过刚才的学习和体验后进行练习，深入浅出地对题目进行分析和

理解并解决问题，虽然并不要求他们在以后都用这样的方法解题，但对于培养他们形成良好

的心理素质和培养他们分析问题、解决问题的能力是很有帮助的．

五、回顾反思，提炼升华

师：同学们，通过这节课的学习，你有哪些收获？那些疑惑？有何感想？学会了哪些方

法？先想一想，再分享给大家．

（1）通过本节课掌握了利用相似三角形的性质表示矩形的另一边，是列矩形面积函数

关系式的关键．

（2）图形最大面积问题，实质上是二次函数的最值问题．

（3）解决此类问题，首先要理解问题，分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关

系是难点，用数学的方式表示它们间的关系是关键，化归为二次函数运用公式求解是易错点，

要做对做全需要我们一定基本功扎实，养成良好的数学素养！

处理方式：学生畅谈自己的收获，教师补充.

设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总

结的习惯，进一步培养学生总结归纳的能力与合作互助的意识.

六、达标检测，反馈提高

师：通过本节课的学习，同学们的收获真多！收获的质量如何呢？请完成导学案中的达

标检测题．（同时多媒体出示）

1.如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料,其中AB=AC=20cm,BC=24cm.若在△ABC上截出

一矩形零件DEFG,使EF在BC上,点D、G分别在边AB、AC上.

问矩形DEFG的最大面积是多少?A

DG

C

BEFC

2.如图,△ABC中,∠B=90°,AB=6cm,BC=12cm.点P从点A开始,沿AB

边向点B以每秒1cm的速度移动;点Q从点B开始,沿着BC边向

Q

APB

点C以每秒2cm的速度移动.如果P,Q同时出发,问经过几秒钟△PBQ的面积最大?最大面

积是多少?

参考答案

1.过A作AM⊥BC于M,交DG于N,则AM=202122=16cm.

设DE=xcm,S矩形=ycm2,则由△ADG∽△ABC,

ANDG16xDG3

故,即,故DG=(16-x).

AMBC16242

333

∴y=DG·DE=(16-x)x=-(x2-16x)=-(x-8)2+96,

222

从而当x=8时,y有最大值96.即矩形DEFG的最大面积是96cm2.

2.设第t秒时,△PBQ的面积为ycm2.则∵AP=tcm,∴PB=(6-t)cm;

11

又BQ=2t.∴y=PB·BQ=(6-t)·2t=(6-t)t=-t2+6t=-(t-3)2+9,

22

当t=3时,y有最大值9.

故第3秒钟时△PBQ的面积最大,最大值是9cm2.

处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根

据答案进行纠错．

设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调

动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要

在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

七、布置作业，课堂延伸

必做题：课本47页，习题2.8第1、2、3题．

选做题：课本48页，习题2.8第4题．

结束语：

师：同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊

喜，谢谢你们！就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！

祝愿同学们：象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）

2.4.1二次函数的应用

一、教学目标

1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数

的知识解决实际问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．

四、教学难点

运用二次函数的知识解决实际问题．

五、教学过程

（一）导入新课

引导学生把握二次函数的最值求法：

(1)最大值：

(2)最小值：

（二）讲授新课

活动1：小组合作

如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.

(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？

(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?

3

解：1设ADbm,易得bx30.

4

33

2yxbx(x30)x230x

44

3

x202300.

4

b4acb2

或用公式:当x20时,y300.

2a最大值4a

活动2：探究归纳

先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用

顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.

（三）重难点精讲

例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总

长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到

0.01m)?此时,窗户的面积是多少?

解：由4y7xx15.157xx

得y.

4

x2157xxx2

窗户面积S2xy2x()

242

715715225

x2x(x)2.

2221456

b154acb2225

当x1.07时,s4.02.

2a14最大值4a56

即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m2.

（四）归纳小结

“最大面积”问题解决的基本思路：

1.阅读题目，理解问题.

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.

3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.

4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.

5.检验结果的合理性.

（五）随堂检测

1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各

做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．

2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部

为等腰直角三角形，其斜边长为2xm．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的

相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．

3．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形

广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部

分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺

设白色地面砖．

（1）要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边

长为多少米？

（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米

20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是

多少？

4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段

BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．

（1）求y关于x的函数关系式.

（2）若m=8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

12

（3）若y，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？

m

5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一

个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，

面积为y．

（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.

（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．

【答案】

1.12.5

2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为

20422x

1022x,

2

1

所以该金属框围成的面积S2x•1022x2x•2x

2

10

当x30202时,金属框围成的图形面积最大.

322

此时矩形的一边长为2x60402m,

另一边长为10221032210210m.

S3002002m2.

最大

3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意

得：4x2＋（100－2x）（80－2x）＝5200，

整理得x2－45x＋350＝0，

解得x＝35，x＝10，经检验x＝35，x＝10均适合题意，

1212

所以，要使铺设白色地面砖的面积为5200平方米，

则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．

（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，

广场四角的小正方形的边长为x米，则

y＝30[4x2＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)]

即y＝80x2－3600x＋240000，配方得

y＝80（x－22．5）2＋199500，

当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199500，

所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，

铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199500元．

4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，

∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，

又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=∠BFE，

∴Rt△BFE∽Rt△CED，

BFBEy8x

∴,∴

CECDxm

8xx2

即y

m

8xx21

⑵当m=8时，y,化成顶点式:yx422

88

128xx2

（3）由y，及y得关于x的方程:

mm

x28x120，得x2，x6

12

∵△DEF中∠FED是直角，

∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，

此时，Rt△BFE≌Rt△CED，

∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.

即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.

5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．

∴y=-2x2+40x．

x的取值范围是0<x<20．

（2）当y=210时，由（1）可得，-2x2+40x=210．

即x2-20x+105=0．

∵a=1，b=-20，c=105，

∴(20)2411050,

∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．

六．板书设计

2.4.1二次函数的应用

探究：例题:

“最大面积”问题解决的基本思路：

1.阅读题目，理解问题.

2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.

3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.

4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.

5.检验结果的合理性.

七、作业布置

课本P47练习

练习册相关练习

八、教学反思

课题：2.4.2二次函数的应用

教学目标：

知识与技能

1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数

学模型，并感受数学的应用价值.

2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实

际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.

过程与方法

经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类

历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.

情感态度与价值观

1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的

信心.

2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展

人类理性精神的作用.

教学重与难点：

重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求

出实际问题的最值.

难点：运用二次函数的知识解决实际问题.

课前准备：多媒体课件

教学过程：

一、知识回顾、夯实基础

活动内容：

1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标

是.

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标

是.当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，

是；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，

是.

处理方式：先让学生口答．然后多媒体出示，教师及时纠正在口答过程中出现的问题，

并且作强调．

设计意图：知识回顾一方面帮助学生复习回顾旧知，另一方面通过回顾旧知为后面学习

做好铺垫．

二、创设情境、引入问题

活动内容：（有关利润的问题）

某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市场调查，销售量与销售单价

满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，

就可以多售出200件.

请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?

设销售单价为x(x≤13.5)元，那么

(1)销售量可以表示为；

(2)销售额可以表示为；

(3)所获利润可以表示为；

(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．

处理方式：这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的

一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来.

针对上面的问题让学生开展小组讨论，各组间进行补充.同时，教师积极参与到学生的

讨论中，观察学生的思考方法和解决问题的思路，并对出现的问题及时给与解决，给学生足

够多的时间思考.

教师引导学生分析题中的变量，从而得到二次函数的关系式.

设计意图：

通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学

的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的

思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.

三、合作探究，解决问题

活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）

1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)

与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝

-5x2+100x+60000。

当时曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在可以验证当初的猜测是否正确？你是怎么

做的？与同伴进行交流.

2．议一议：（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）

(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.

(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？

处理方式：先独立思考，然后小组交流，教师巡视走到学生中，参与学生的交流．通

过师生交流、生生交流补充完善，达成共识．

设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型.让学生进一步用图象刻画橙子的总

产量与增种橙子树之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型.使学生感受到“何时获得

最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题.进一步明确求二次

函数最大（小）值的方法.在教学中，还要引导学生养成题后反思的习惯，让知识的应用得

以升华.

四、学以致用、应用新知

活动内容1：巩固训练

1.某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售

出400件.根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销

售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润？

解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则

y=(x-20)[400-20(x-30)]

=-20x2+1400x-20000

=-20(x-35)2+4500.

所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．

2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元.旅行社对超过30人的团

给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元.当一个旅行团的人数是多少时，

旅行社可以获得最大营业额？

解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元.则

y=[800-10(x-30)]·x

=-10x2+1100x

=-10(x-55)2+30250

∵a=-10<0,∴当x=55时，y=30250

最大

答：一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元.

处理方式：先自主解答，然后小组交流，最后实物仪展示学生的解答．

设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生运用数学知识到日常生活中，体会

用数学的过程，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大（小）利润问题的

方法、过程．

活动内容2：.提炼方法

大家做得非常棒．通过上面的学习，大家能否总结一下应用二次函数知识，解决实际问

题的基本思路呢？先独立思考，然后与同伴交流．

处理方式：先独立思考，然后小组交流，教师巡视走到学生中，参与学生的交流．通过

师生交流、生生交流补充完善，达成共识．

设计意图：趁热打铁，及时进行小结，总结做题的方法及思路，抓住这种题目的本质，

达到举一反三的目的和效果．

五、回顾反思，提炼升华

活动内容：本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大利润问题，增强了应用

意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学模型思想和数学的应

用价值．

1．请你总结一下解决这类问题的基本思路及要注意的问题．

2．本节课，你最深的感受是什么？

3．在这节课学习过程中，你还有什么疑问没有解决