北京交通大学信号和系统时域分析范文

./[研讨题目2]信号与系统时域分析专题研讨[目的]1.研究用离散方法近似计算连续信号的卷积积分；2.通过分析近似计算卷积积分过程中出现的问题,锻炼学生分析问题和解决问题的能力；[知识点]信号时域分析,卷积积分,卷积和[研讨题目]连续信号卷积积分的数值近似计算 两个连续信号的卷积积分定义为为了能用数值方法进行计算,需对连续信号进行抽样。记x[k]=x<k>,h[k]=h<k>,为进行数值计算所选定的抽样间隔,可以证明连续信号卷积积分可近似的表示为 <1>由式<1>可知,可以利用Matlab提供的conv函数近似计算连续信号的卷积积分。一、<*>理论分析 为了对近似计算的结果进行分析,用解析的方法计算下列卷积积分,推出卷积积分的解析表达式；<1>时限信号卷积积分x1<t>=u<t>u<t1>,y1<t>=x1<t>x1<t>;卷积结果为：y1<t>=x1<t>x1<t>=r<t>-2*r<t-1>+r<t-2><2>分段常数信号卷积积分x2<t>=x1<t>+2x1<t1>+x1<t2>,h2<t>=x1<t>x1<t1>,y2<t>=x2<t>h2<t>;卷积结果为：y2<t>=x2<t>h2<t>=y1<t>+y1<t-1>-y1<t-2>-y1<t-3>=r<t>-r<t-1>-2*r<t-2>+2*r<t-3>+r<t-4>-r<t-5><3>非时限信号卷积积分x3<t>=u<t>,h3<t>=etu<t>,y3<t>=x3<t>h3<t>卷积结果为：y3=x3<t>h3<t>=[1-exp<-t>]*u<t>二、<*>时限信号卷积积分的近似计算 取不同的△值,用Matlab函数conv近似计算卷积积分y1<t>并画出其波形,讨论的取值对计算结果的影响。上图中,绿线为间隔0.01的结果,蓝线是间隔0.1结果,红线为实际结果,由此可见：时间间隔越小,与实际结果越接近。附程序代码：t1=[0:0.01:5];t2=[0:0.1:5];t=[0:0.1:5];x1=1.*<t1>=0>-1.*<t1>=1>;x2=1.*<t2>=0>-1.*<t2>=1>;y1=convn<x1,x1>;y2=convn<x2,x2>;y=t.*[t>=0]-2*<t-1>.*[t>=1]+<t-2>.*[t>=2]N1=length<y1>;%length函数取y1的长度%N2=length<y2>;plot<t,y,'r'>;holdon;plot<0:0.01:<N1-1>.*0.01,y1*0.01,'g'>;plot<0:0.1:<N2-1>.*0.1,y2*0.1,'b'>;axis<[0501]>三、<**>分段常数信号卷积积分的Matlab计算<1>若x2[k]={1,2,1,0;k=0,1,2},h2[k]={1,1;k=0,1},计算离散卷积y2[k]=x2[k]h2[k]；y2[k]=x2[k]h2[k]结果如下：附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];y2=conv<x2,h2>;N=length<y2>;stem<0:N-1,y2>;axis<[08-11]><2>比较y2<t>和y2[k],你发现了什么？y2<t>的图像如下：附程序代码：t=[0:0.1:5];y=t.*[t>=0]-<t-1>.*[t>=1]-2*<t-2>.*[t>=2]+2*<t-3>.*[t>=3]+<t-4>.*[t>=4]-<t-5>.*[t>=5]plot<t,y>;holdon;axis<[08-11]>y2<t>和y2[k]图像比较：附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];y2=conv<x2,h2>;t=[0:0.1:5];y=t.*[t>=0]-<t-1>.*[t>=1]-2*<t-2>.*[t>=2]+2*<t-3>.*[t>=3]+<t-4>.*[t>=4]-<t-5>.*[t>=5]N=length<y2>;stem<0:N-1,y2>;holdon;axis<[08-11]>plot<t,y>;holdon;axis<[08-11]>比较两图可知,y2<t>与y2[t]的卷积积分相似,将y2[t]向右平移一个单位后,两图像波形重合,若在y2[t]最前面补零,或缩小抽样间隔,即可由y2[t]的卷积积分近似地求解y2〔t地卷积积分。<3>对<2>中发现象进行理论分析,根据理论分析的结果,给出用Matlab函数conv计算卷积积分y2<t>的方法并画出卷积积分y2<t>的波形；x2<t>=u<t>+u<t-1>-u<t-2>-u<t-3>,h2<t>=u<t>-2u<t-1>+u<t-2>x2[k]={1,2,1,0;k=0,1,2},h2[k]={1,1;k=0,1}当抽样间隔为0.1时,y2[t]比y2<t>超前一个单位,故在y2[t]最前面补零,采用plot即可画出y2<t>的正确波形。另外,由二题研讨可知,将抽样间隔缩小〔例如抽样间隔取0.01,采用plot画图也可以得到y2<t>的正确波形。采用补零的方法画出y2<t>的波形为：附程序代码：x2=[0,1,2,1,0];h2=[1,-1];%在x2最前面补零y2=conv<x2,h2>;N=length<y2>;plot<0:N-1,y2>;axis<[08-11]<4>若分段常数的区间宽度不是1,应如何修改算法？如图,若间隔为0.5时,图像及代码如下：附程序代码：x2=[1,2,1,0];h2=[1,-1];y2=conv<x2,h2>;N=length<y2>;stem<0:0.5:<N-1>.*0.5,y2>;%红体为相比间隔为1的函数修改的部分axis<[08-11]><5>完成了分段常数信号卷积积分的分析和计算后,你对y1<t>的近似计算方法有无新的认识？可以由离散的卷积来近似的计算连续函数的卷积,但是要根据实际函数在0右边的积分的值,来确定离散函数向右偏移的格数,如可以取y1〔t的边界值先进行离散序列的卷积,如在用y2[t]来近似计算y2〔t时,由于y2〔t在0~1时,存在卷积积分的由0逐渐增长,到1时,存在着积分的变化,所以应将离散的图形向右平移一个单位。同时由于连续序列卷积后也是连续的可以将相邻的离散点相连。这样可以较快的计算出y1〔t的近似。四、<**>非时限信号卷积积分的近似计算 近似计算若卷积积分y3<t>。若出现问题请分析出现问题的原因,并给出一种解决问题的方案；根据提出的方案完成近似计算卷积分的程序；用近似方法计算y3〔t的代码及结果如下。当区间长度为20时：附程序代码：N=0.01;t=0:0.01:20;x=1*<t>=0>;y=exp<-t>.*<t>=0>;yt=conv<x,y>;subplot<211>;n=0:0.01:40;plot<n,N*yt>;axis<[02002]>;xlabel<'时间〔s'>;ylabel<'近似值yt<t>'>;subplot<212>;yt1=<1-exp<-t>>.*<t>=0>;plot<t,yt1>;axis<[0inf02]>;xlabel<'时间〔s'>;ylabel<'真实值yt<t>'>;当区间长度为40时：附程序代码：N=0.01;t=0:0.01:20;x=1*<t>=0>;y=exp<-t>.*<t>=0>;yt=conv<x,y>;subplot<211>;n=0:0.01:40;plot<n,N*yt>;axis<[04002]>;xlabel<'时间〔s'>;ylabel<'近似值yt<t>'>;subplot<212>;yt1=<1-exp<-t>>.*<t>=0>;plot<t,yt1>;axis<[0inf02]>;xlabel<'时间〔s'>;ylabel<'真实值yt<t>'>;出现这种情况的原因：因为conv函数无法计算一个无穷的卷积,题目中虽然是算了exp〔-t的卷积,但是实际取的是〔0,20这个区间内的值,在做卷积的计算过程中,使用matlab对t进行了赋值,在赋值以外的点,被认为时0,所以在t>=0&t<=20这个区间内是没有问题的,但是t一但大于20两者的卷积就会有缺失,计算值就不在准确,t>20的部分就相当于是错误的,没有任何意义。解决方法：在绘制图形时,将绘制图形的坐标范围限定在t的取值范围之内,或绘制图形后去掉无效值。五、<***>卷积函数conv函数选项的定义与应用研究 在新版MATLAB中,卷积函数conv提供了选项conv<A,B,’valid’>,下面将研究conv<A,B,’valid’>的定义及应用。〔1读MATLAB提供的关于conv的Help,给出卷积函数conv<A,B,’valid’>的定义。设计一些简单的实验,验证你给出的定义。你认为这样定义的卷积有何优缺点？键入"helpconv"可知matlab对于valid的定义：C=CONV<A,B,SHAPE>returnsasubsectionoftheconvolutionwithsizespecifiedbySHAPE:'valid'-returnsonlythosepartsoftheconvolutionthatarecomputedwithoutthezero-paddededges.LENGTH<C>isMAX<LENGTH<A>-MAX<0,LENGTH<B>-1>,0>.[只返回那些卷积计算无零填充的边缘部分]接下来利用A=[12345]和B=[123]对valid进行研究。根据计算,A与B的卷积为[1,4,10,16,22,22,15]。用conv和conv-vaild分别计算的结果如下：结论：由图像可得,在valid模式下,计算卷积只会计算A,B序列完全重合的部分,略去未完全重合的部分。思考：与conv不同,valid返回在卷积过程中,未使用边缘补0部分进行卷积计算,使得卷积出来的结果具有实际意义。但同时valid有一个显著缺点,即卷积运算时,只会将B翻转与A比较,而不会自动选择短的序列进行翻转,当B的长度大于A时,无法得出卷积结果。附代码：A=[12345];B=[123];C=conv<A,B>;C1=conv<A,B,'valid'>;subplot<211>stem<<1:length<C>>-1,C>;axis<[-1,10,0,30]>;xlabel<'conv<A,B>>'>c=length<C>subplot<212>stem<<1:length<C1>>-1,C1>;axis<[-1,10,0,30]>;xlabel<'conv<A,B,‘valid’>'>c1=length<C1>附：valid的原理图解：图〔1图〔2图〔3图〔4图〔5图〔6图〔7图〔8图〔1~〔8依次为b’序列〔b序列翻转后向右平移0~7个单位长度。观察图像有：图〔3时序列b’开始与序列a有重叠,但是图〔3图〔4两序列尚未完全重合,b’序列均存在未重合部分。在valid模式下,它们因为缺少与之相乘的数,故b’序列未完全重合前不管重合部分,系统全部默认置零。图〔5,〔6,〔7b’序列与序列a完全重合,这些部分可以计算卷积的值,分别为10,16,22,符合valid图像。而从图〔8开始序列b’最右点移出序列a,两序列不再完全重合,系统再次完全置零。<2>能否用conv<A,B,’valid’>完成conv<A,B>？请给出解释,编程验证你的观点。观察<1>中结果,可以得到conv<A,B,'valid'>的返回值长度比conv<A,B>少两倍的length<B>-1,所以其结果是conv<A,B>两端各除去length<B>-1个值所得的结果；考虑卷积性质,B的’valid’卷积返回值长度应与conv<A,B>相等,数值也应相同,将A两端各补充length<B>-1个0得到A1,得到与conv<A,B>相同的值。附代码：A=[12345];B=[123];A1=[zeros<1,length<B>-1>,A,zeros<1,length<B>-1>];C=conv<A,B>;C1=conv<A1,B,'valid'>;subplot<211>stem<<1:length<C>>-1,C>;axis<[-1,10,0,30]>;xlabel<'conv<A,B>>'>c=length<C>subplot<212>stem<<1:length<C1>>-1,C1>;axis<[-1,10,0,30]>;xlabel<'conv<A1,B,‘valid’>'>c1=length<C1><3>探索能否用conv<A,B,’valid’>解决非时限信号卷积积分的近似计算出现的问题？若行,请给出解决问题的方案及实验结果。若不行,请给出理由。因函数conv<A1,B,'valid'>可削除结果中两端length<y>-1个值,故可以将非时限卷积积分结果的无效值削除；根据卷积性质,只需在x左端插入length<y>-1个0,即可削除因t取值有限而造成的无效值而保留