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千里之行，始于足下让知识带有温度。第第2页/共2页精品文档推荐中值定理证明题中值定理证实题

1.设)(xf在[0，2a]上延续，)2()0(aff=，证实在[0,a]上存在ξ使得)()(ξξfaf=+.

【分析】)(xf在[0,2a]上延续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证实。辅助函数可如下得到

0)()(0)()()()(=-+→=-+→=+xfxaffaffafξξξξ

【证实】令)()()(xfxafxG-+=，],0[ax∈．)(xG在[0,a]上延续，且)()0()()2()(affafafaG-=-=

)0()()0(fafG-=

当)0()(faf=时，取0=ξ，即有)()(ξξfaf=+；

当)0()(faf=时，0)()0(0)(=ξG，即)()(ξξfaf=+．

2.试问如下推论过程是否正确。对函数2

1sin

0()0

0ttftt

t?≠?=??=?在[0,]x上应用拉格朗日中值定理得：

21

sin0

()(0)111sin()2sincos00xfxfxxfxxxξξξξ

--'====(0)xξ>==试证实)(/xf在

)(a,b内至少有两个零点。

学问点：极限的保号性、介值定理、微分中值定理。

思路：要证实在某个区间)(a,b内导函数至少存在两个零点，只要证该函数在][a,b上有三个零点，即可以利用罗尔中值定理，得出结论。

证实：∵()()

()lim0xafxfafaxa

++→-'=>-，由极限的保号性知，

)(1a,δ+?（不妨设21b-aδ--axafxf，

特殊地，)(11a,δx+∈?，使得

0)

()(11>--a

xafxf，∴得Aafxf=>)()(1；

同理，由()0fb,-'>得)(22b,δx-∈?（2

2b-a

δ--bxbfxf，从而得Abfxf=<)()(2；

又∵)(xf在][21,xx上延续，∴由介值定理知，至少有一点)(21,xxξ∈使得

Aξf=)(；

∵)(xf在][a,ξ、][ξ,b上延续，在)(a,ξ、)(ξ,b内可导，且Abfξfaf===)()()(，∴由罗尔中值定理知，至少有一点)(1a,ξξ∈、)(2ξ,bξ∈，使得12()()0fξfξ''==，结论成立。

4.设函数)(xfy=在0=x的某个邻域内具有n阶导数，且

(1)(0)(0)(0)0nfff,-'====试用柯西中值定理证实：

)10()

()()(<<=θn!θxfx

xfnn

。学问点：柯西中值定理。

思路：对)(xf、nxxg=)(在]0[,x上延续使用n次柯西中值定理便可得结论。证实：∵)(xf、nxxg=)(及其各阶导数在]0[,x上延续，在)0(,x上可导，且在)0(,x每一点处，(1)()!0ngxnx-=≠，又(1)(0)(0)(0)0nfff,-'====，∴延续使用n次柯西中值定理得，

(1)(1)11111(1)111()(0)()()(0)

()()(0)(0)(0)(0)

nnnnnnnnnfξfffξffxfxfxxgnnξgn!ξgξ

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