信号与系统第五章课件

信号与系统第五章第五章系统的状态变量分析第一节引言第二节LTI系统的信号流图第三节状态方程和状态方程的建立第四节状态方程的求解第五节由状态方程导出H(s)及系统稳定性讨论5.1引言

系统函数的零、极点的分布情况决定了系统的时域、频域特性和稳定性等各类问题，无论是系统分析还是系统综合，都广泛应用到。

局限性：系统函数只能针对零状态响应描述系统的外部特性，不能反映系统的内部特性。前面几章在进行系统分析时，只关心系统的输入和输出（即激励和响应）的关系，它们的关系可用n阶微分方程的形式表示，也可用系统函数或频响特性表示，这种系统描述方法称为输入－输出法。

状态变量法是用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来描述系统。它主要具有以下几个优点：(1)提供了系统的内部特性以便研究；(2)用一阶微分或差分方程组描述系统，便于计算机进行数值计算；(3)用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输入－多输出的系统；(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等各类系统。

5.2LTI系统的信号流图系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描述更直观的描述方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示更简洁明了，且对系统函数的计算明显简化。

1.信号流图信号流图是用一些点和有向线段作图来描述系统各变量间的因果关系，如图所示的简单方框图，画成信号流图形式就是用一条有始有终的线段表示；起始点标为，终点标为，这种点称为结点（节点）。H(s)X(s)Y(s)H(s)X(s)Y(s)方框图流图P286每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配的作用；连接两个结点的有向线段称为支路；箭头表示信号传输的方向；两结点之间的系统函数（转移函数）就标注在箭头附近，所以每条支路相当于乘法器。H(s)X(s)Y(s)仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点（或输入结点），如图中的。仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点（或输出结点），如图中的。既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中的、和。

P289从任一结点出发沿支路箭头方向连续经过各相连的不同的支路和结点，到达另一结点的路径称为通路。如果通路与任一结点相遇不多于一次，则称为开通路。如图中和如果通路的终点就是通路的起点，且与其余任何结点相交不多于一次，则称为闭通路或回路、环路。如图中和等。

只有一个结点和一条支路的回路称为自回路（或自环）。如图中。相互无公共结点的回路称为互不接触回路。如图中和两个回路互不接触。回路中所有各支路“增益”即转移函数的乘积称为回路增益。

2.信号流图的性质和化简规则在运用信号流图时，应该遵循其基本性质，即：a.支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，如图中与之间就是通过转移函数来联系起来的。支路完成增益（转移）功能，相当于“乘法器”。信号只能沿支路箭头方向传输。b.当结点有多个输入时，该结点将所有输入支路的信号叠加，并把总和信号传输给所有与该结点相连的输出支路，如图中的结点和等。也就是说，结点完成输入求和与分路输出功能，相当于“加法器”。H(s)X(s)Y(s)P289c.具有输入和输出支路的混合结点，通过增加一个具有单位传输的支路，可将它变成输出结点来处理。如图所示，和实际上是同一个结点，但分成两个结点以后，就成了只有输入支路的输出结点，而是既有输入又有输出的混合结点。d.对于给定的系统，信号流图的形式不是唯一的。信号流图的前两条性质a和b实质上表征了信号流图的线性性质。描述LTI系统的微分（或差分）方程，经拉氏变换（或Z变换）后是线性代数方程，而信号流图所描述的正是这类线性代数方程或方程组。

例题

已知某一阶系统的微分方程为试画出该系统的信号流图。解：通常将表示输入信号的结点放在流图的最左端，将表示输出信号的结点放在流图的最右端。将微分方程中的最高阶导数项留在方程的左侧，其余项放在方程的右侧，则上式可写成

实际上，下图也是微分方程的信号流图。由此可见，同一个系统可有多种不同形式的信号流图，与系统的方框图一样，它们是不唯一的。

例11-13若一阶系统的微分方程改为则按照上述原则，可将原微分方程调整为两边积分，可得可见是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是和，而后者又是积分器的输出信号，这个积分器的输入是。画出信号流图如图所示。P289可以验证下图所示的信号流图也完全满足该系统的微分方程式，所以它也是该系统微分方程的信号流图。

信号流图可按代数规则进行化简或变换。其基本规则是：a.串联支路：两条增益分别以a和b的支路相串联，可合并为一条增益为ab的支路，同时消去中间结点，如图所示。这是因为，，故有b.并联支路：两条增益分别为a和b的支路相并联，可合并为一条增益为的支路，如图所示。所以，有

P291c.混合结点的消除：两条分别从结点和出发的、增益分别为a和b的支路相交于混合结点，且和的支路增益为c，则混合结点可按下图方式消掉。

这是由于

d.自环的消除：如图所示，一条的通路，若至的支路增益为a，至的支路增益为b，至的支路增益为c，则可化简成至的支路增益为ab，在处有增益为bc的自环，如图所示。

例题

利用信号流图的代数运算规则，化简如图所示信号流图，并求系统函数。解:(1)串联合并，消去结点（所谓简化就是将中间结点消掉），得图

(2)串联合并，消去结点，得图(3)先合并并联支路，再合并串联支路，消去中间结点，得图(4)先消自环，再串联合并，消去中间结点，得图由此可得系统函数为

式中的是表示由源点到汇点之间第条前向通路的标号；是由源点到汇点之间第条前向通路的增益；称为第条前向通路特征行列式的余因子，它是除去与第条前向通路相接触的环路后，余下的特征行列式。

例题

用Mason公式求如图所示系统的系统函数。解：信号流图中只有一个环路，另外，本图中有两条前向通路，且

例11-15用梅森公式求如图所示系统的系统函数。P294求环路两两互不接触回路解：求流图的特征行列式前向通路只有一条，所以：所以，系统的转移函数为：例11-16求此流图的转移函数。求环路解：求流图的特征行列式两两互不接触回路前向通路共有三条第一条没有与第一条通路互不接触的环路第二条没有与第二条通路互不接触的环路第三条与第三条通路互不接触的环路是L15.3状态方程和状态方程的建立

1.状态变量与状态方程为建立状态变量的概念，先来看一个简单的RLC串联电路，如图，若以电容C两端的电压作为输出，作为输入，则外部法可用一个二阶常微分方程来描述此电路：

即此时，我们只关心输出变量与输入变量之间的关系，而并未关注电路内部其他变量（如等）变化情况，这就是输入－输出描述法。对于此电路，若我们感兴趣的不仅仅是电容C两端的电压，还需要了解在激励作用下的电感电流的变化情况，这时根据KVL和VAR可以列出方程这是以和作为变量的一阶微分方程组。对于电路，我们只要知道及的初始值及的输入值，上述联立方程就可完全确定电路的全部行为。这种用一阶微分方程组来描述动态系统的方法称为系统的状态变量法。其中的和就是电路的状态变量，方程组即为状态方程。在状态变量法中，将状态方程以矢量和矩阵形式表示，于是有

这种矩阵形式的状态方程描述了系统状态变量的一阶导数与状态变量和激励的关系。而通常电路的输出信号可能由若干个状态变量以及输入信号的作用组合而成，故还需要列写“输出方程”，它描述了输出与状态变量和激励之间的关系。对于此电路，由于只有一个输出信号，故输出方程的矩阵形式非常简单，可写为当系统的阶次较高，则状态变量的数目较多，或者当系统具有多输入－多输出信号时，描述系统的状态方程和输出方程仍具有上几式的形式，只是矢量或矩阵的维数有所增加。系统状态变量法中几个常用的名词定义：状态即系统的过去、现在和将来的状况。而系统的状态是由一组变量来描述的，状态变量就是这样一组变量。状态变量是指可确定系统状态的，且个数最少（设为n）的一组变量，只要知道时的这组变量和时的输入激励，就可完全确定系统任意时刻的行为。状态向量（矢量、矩阵）如果系统有n个状态变量，，则用这n个状态变量作为分量所构成的向量就称为状态向量。以状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。状态方程它是用状态变量和激励表示的一组独立的一阶微分方程，可用如下的矩阵形式表示输出方程它是用状态变量和激励表示的代数方程组，描述了系统的输出与状态变量和激励的关系，其矩阵形式为通常将状态方程和输出方程总称为系统方程或系统的状态空间表达式。在LTI系统中，状态方程和输出方程是状态变量和输入信号的线性组合，故均为系数矩阵。系统矩阵状态矩阵输入矩阵控制矩阵

2.状态方程的建立对给定系统建立状态方程的方法有很多，大体上可分为两大类：直接法和间接法。其中，直接法主要应用于电路系统分析、滤波器等电网络的计算机辅助设计，而间接法则常用于控制系统的分析研究。

直接法：由电路图建立状态方程。为建立状态方程，首先要选择状态变量。在电网络中，常取独立的与为状态变量，这样便于用KCL和KVL列出状态方程。

所谓“独立”是指无纯电容－电压源回路及无纯电感－电流源节点。下图是一纯电容－电压源回路。显然，根据KVL，图中任一电容电压都能由另外一个电容电压和电压源来表示，因而若选电容电压为状态变量，则两个电容电压中只能选其中一个作为独立的状态变量。

纯电容－电压源回路对于如图所示的纯电感－电流源节点，两个电感电流中的任一一个都可由另外一个和电流源来表示，即两个当中只有一个是独立的，也就是说，两者中只能选其中之一为独立的状态变量。

纯电感－电流源节点状态变量选定后，即可利用KCL、KVL和VAR列写方程。由于

因此，可从状态变量得其导数，这也正是状态方程所需要的形式（在状态方程的标准形式中，状态变量的一阶导数是用状态变量本身和输入表示的）。于是，列状态方程时应对接有电容的节点写电流方程，对包含电感的回路写电压方程。