阆中中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省阆中中学2019-2020学年高二4月月考数学（理）试题含解析阆中中学新城校区2020年春高2018级四月教学质量检测数学试题（理科）第I卷（选择题)一、单选题（第小题5分，共计60分）1.抛物线的焦点坐标是（）A。 B。 C。 D.【答案】C【解析】【分析】先将抛物线方程化为标准方程，进而可得出焦点坐标.【详解】因为可化为，所以，且焦点在轴负半轴，因此焦点坐标为故选C【点睛】本题主要考查由抛物线的方程求焦点问题,熟记抛物线的标准方程即可，属于基础题型。2.已知方程表示双曲线，则的取值范围是（）A。 B.C。或 D.【答案】C【解析】【分析】双曲线的焦点可能在x轴,也可能在y轴上,分别写出两种情况下的双曲线的标准方程，或，可得或，解不等式可得答案。【详解】当双曲线的焦点在x轴上，双曲线方程，则解得：；当双曲线的焦点在y轴上，双曲线方程，所以解得：；故选C。【点睛】本题考查双曲线标准方程，求解的关键在于双曲线方程标准形式的认识.3。若双曲线的离心率，则其渐近线方程为（)A。 B。 C. D。【答案】C【解析】【分析】通过双曲线的离心率,推出、关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：由双曲线的离心率，可知，又,所以，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：．【点睛】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力，属于基础题．4.曲线方程的化简结果为（）A。 B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到给出的曲线方程的几何意义，是动点到两定点的距离之和等于定值，符合椭圆定义，然后计算出相应的得到结果。【详解】曲线方程，所以其几何意义是动点到点和点的距离之和等于,符合椭圆的定义.点和点是椭圆的两个焦点。因此可得椭圆标准方程，其中，所以，所以所以曲线方程的化简结果为.故选D项.【点睛】本题考查曲线方程的几何意义，椭圆的定义,求椭圆标准方程,属于简单题.5。若双曲线的离心率为,且过点，则该双曲线的实轴长为（）A.4 B。 C。 D。6【答案】D【解析】【分析】利用双曲线的离心率与双曲线经过的点，列出方程求出，即可得到结果．【详解】解：双曲线的离心率为,且过点，可得，，,解得，所以．故选：．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,属于基础题．6。（2016新课标全国Ⅱ理科）已知F1，F2是双曲线E：的左,右焦点，点M在E上，MF1与轴垂直，sin,则E的离心率为A. B.C. D。2【答案】A【解析】试题分析:由已知可得，故选A.考点：1、双曲线及其方程；2、双曲线的离心率.【方法点晴】本题考查双曲线及其方程、双曲线的离心率.，涉及方程思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型。由已知可得，利用双曲线的定义和双曲线的通径公式,可以降低计算量，提高解题速度。7。已知向量,且，则的值为（）A.11 B。6 C。7 D.15【答案】A【解析】【分析】利用向量共线定理即可求出.详解】向量,且，存在实数使得，，解得，。故选：。【点睛】本题追要考查是向量共线定理的应用，考查了计算能力，及空间向量的应用,是基础题。8。在平行六面体中,M为与的交点,若,，则与相等的向量是（）A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】根据空间向量的线性运算，用作基底表示即可得解。【详解】根据空间向量线性运算可知因为,，则即，故选：D。【点睛】本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.9。已知为平行四边形，且，则顶点的坐标（)A. B. C。 D。【答案】D【解析】【分析】设出的坐标,利用列方程，由此求得的坐标.【详解】设，由于四边形是平行四边形，所以，即，即，解得，即，故选D。【点睛】本小题主要考查空间向量的坐标运算，考查空间向量相等的条件,属于基础题。10。为空间任意一点,三点不共线，若=,则四点A.一定不共面 B.不一定共面C.一定共面 D。无法判断【答案】C【解析】【分析】点P在平面ABC内，O是平面ABC外的任意一点，则且．利用此推论可直接证明一定共面．【详解】因为=，且,所以四点共面.【点睛】四点共面问题，在空间向量中经常涉及,要熟练掌握共面向量定理．11。为坐标原点，为抛物线的焦点,为上一点，若,则的面积为A. B. C。 D。【答案】B【解析】【分析】由抛物线的标准方程可得抛物线的焦点坐标和准线方程，设出，由PF=4以及抛物线的定义列式可得,即，再代入抛物线方程可得点P的纵坐标,再由三角形的面积公式可得.【详解】由可得抛物线的焦点F（1，0），准线方程为,如图:过点P作准线的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知PM=PF=4，设,则,解得,将代入可得，所以△的面积为=.故选B.【点睛】本题考查了抛物线的几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的定义求P点的坐标；②利用OF为三角形的底,点P的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面积。属中档题.12。如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是棱AB的中点，F是侧面AA1D1D内一点，若EF∥平面BB1D1D，则EF长度的范围为（)A. B. C. D。【答案】C【解析】【分析】过作,交于点，交于,根据线面垂直关系和勾股定理可知;由平面可证得面面平行关系,利用面面平行性质可证得为中点，从而得到最小值为重合，最大值为重合，计算可得结果.【详解】过作,交于点，交于,则底面平面，平面，平面平面，又平面平面又平面平面，平面为中点为中点，则为中点即在线段上，,则线段长度的取值范围为：本题正确选项：【点睛】本题考查立体几何中线段长度取值范围的求解,关键是能够确定动点的具体位置，从而找到临界状态；本题涉及到立体几何中线面平行的性质、面面平行的判定与性质等定理的应用.第II卷（非选择题)二、填空题（每小题5分，共计20分)13.已知抛物线的过焦点的弦为，且，，则_____________.【答案】3【解析】由题意知|AB｜=+p，即p=｜AB|−（)=9−6=3.故答案为3。14.设正方体的棱长为2，则点到平面的距离是_______。【答案】【解析】【分析】如图建立空间直角坐标系,利用向量法求点到平面的距离。【详解】如图建立空间直角坐标系,则，，，，∴，，，设平面的一个法向量为，，令，则，∴点到平面的距离.故答案为：。【点睛】本题主要考查点到平面的距离的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.已知，,且与的夹角为钝角，则的取值范围是__________。【答案】【解析】【分析】由题意可知且与不共线，由此可得出实数的取值范围.【详解】由题意可知且与不共线，则，解得.若与共线，则，得,与不共线，则，因此，实数取值范围是。故答案为：.【点睛】本题考查利用空间向量的夹角为钝角求参数的取值范围，一般转化为两向量数量积为负,且两向量不共线，结合空间向量的坐标运算得出不等式组求解,考查运算求解能力，属于中等题.16。设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2,EF＝1，给出下列四个命题：①三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值;②异面直线D1B1与EF所成的角为45°；③D1B1⊥平面B1EF；④直线D1B1与平面B1EF所成的角为60°．其中正确的命题为_____．【答案】①②【解析】【分析】①根据题意画出图形，结合图形求出三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值；②求得异面直线D1B1与EF所成角为45°；③判断D1B1与平面B1EF不垂直;④直线D1B1与平面B1EF所成的角不一定是为60°．【详解】由题意，如图所示，三棱锥D1﹣B1EF的体积为为定值，①正确;EF∥D1C1，∠B1D1C1是异面直线D1B1与EF所成的角，为45°，②正确;D1B1与EF不垂直,由此知D1B1与平面B1EF不垂直,③错误；直线D1B1与平面B1EF所成的角不一定是为60°,④错误．综上，正确的命题序号是①②．故答案①②．【点睛】本题主要考查了空间中的直线与平面之间的位置关系应用问题，其中解答中熟记线面位置关系的判定与性质定理，以及几何体的体积的计算公式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。三、解答题（17小题10分，18～22每小题12分，共计70分)17.已知空间三点，设。(1）求和的夹角的余弦值；（2）若向量互相垂直，求的值.【答案】（1）；（2）或2【解析】【分析】（1）结合空间向量夹角的余弦公式求解即可；（2）分别结合向量的坐标公式表示出，由即可求解【详解】(1）由题可知,则;（2）由，,则，即，解得【点睛】本题考查空间向量的夹角求法,由两向量垂直求参数，属于基础题18。如图，在正方体中，点为的中点，为的中点。（1)证明：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析(2）【解析】【分析】（1）以为原点,为轴，为轴，为轴,建立空间直角坐标系，，平面的法向量，，得到证明.（2）计算平面的法向量，平面的法向量，计算夹角得到答案。【详解】（1）以为原点，为轴,为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则,，，平面的法向量，∵，平面，∴平面.（2）,，,，,,，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量,则,取得,得，设二面角的平面角为，则二面角的余弦值为.、【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19。在如图所示的四棱锥中,已知平面，，,，,为的中点。（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求直线与平面所成角的余弦值;【答案】（1）；（2)【解析】【分析】（1)利用向量的几何运算计算，利用公式可求异面直线与所成角的余弦值；（2）取中点，则可得为直线与平面所成角,从而可求直线与平面所成角的余弦值。【详解】解：（1)由图可知,平面，又平面,,即，又,，，所以异面直线与所成角的余弦值为；(2）取中点，则，，，又平面，又平面，，平面，则平面，

所以为直线与平面所成角，

,

。【点睛】本题考查异面直线所成的角以及线面角的求解,难度不大。20.已知直线与抛物线交于,两点，已知弦的中点的纵坐标为2．（1）求；（2）直线与抛物线交于，两点，求的取值范围．【答案】(1）（2)【解析】【分析】（1）联立与的方程，得出即可（2）联立与的方程得出,两点的横坐标之和，然后用表示出，运用函数的知识求出范围即可【详解】解：（1）设，,联立与的方程得，则，即．(2）直线经过焦点（4，0），设，，则．联立，得，则．因为，且,所以．所以．从而的取值范围为．【点睛】要注意，比用弦长公式求计算量要小些.21。已知椭圆的离心率为,,分别是椭圆的左、右焦点，直线过点与椭圆交于、两点，且的周长为。（1)求椭圆的标准方程；（2）是否存在直线使的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在,请说明理由.【答案】(1）（2）存在，直线的方程为或。【解析】【分析】（1）根据离心率公式、椭圆定义，结合椭圆性质，解方程组即可求出椭圆方程；（2）分两种情况讨论，当斜率不存在时，其面积为,不符题意,当斜率存在时，可设出直线方程，代入椭圆方程可得，结合韦达定理代入三角形面积公式，即可得解.【详解】解：（1)由题意得∴故椭圆的标准方程为。（2）存在直线满足题意，由(1）知右焦点,当直线的斜率不存在时，此时,，,，不符合题意，故设直线的方程为,设，，联立方程组消去得.∵，∴,，∴，∴，∴，∴，∴或（舍去）,∴，故直线的方程为或.【点睛】本题考查了利用椭圆定义、性质、离心率求椭圆方程，主要考查韦达定理在直线和圆锥曲线中的应用，考查了转化思想和较高的计算能力，属于较难题。22。如图，在长方体中,，，点在棱上移动．（1）证明：；(2）等于何值时,二面角的大小为．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析:第一问利用长方体的特殊性，建立相应的坐标系，