压杆的稳定性分析与设计

压杆的稳定性分析与设计11.1

压杆稳定性的概念构件的承载能力：①②刚度③稳定性

工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作。2023/4/192不稳定平衡稳定平衡

微小扰动就使小球远离原来的平衡位置

微小扰动使小球离开原来的平衡位置，但扰动撤销后小球回复到平衡位置2023/4/193稳定平衡11.1.1平衡位置的稳定性和不稳定性

结构构件或机器零件在压缩载荷或其他特定载荷作用下发生变形，最终在某一位置保持平衡，这一位置称为平衡位置，又称为平衡构形(equilibriumconfiguration)。承受轴向压缩载荷的细长压杆，有可能存在两种平衡构形——直线的平衡构形和弯曲的平衡构形。当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件仍旧能自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是稳定的(stable)。2023/4/194不稳定平衡当载荷小于一定的数值时，微小外界扰动使得某一平衡构形偏离原来的平衡构形，外界扰动去除之后，构件不能自动回复到初始平衡构形，则称初始的平衡构形是不稳定的(unstable)。2023/4/1953.压杆失稳：4.压杆的临界压力稳定平衡不稳定平衡临界状态临界压力:Pcr2023/4/196

在任意微小的外界扰动下，不稳定的平衡构形会转变为其他平衡构形。不稳定的细长压杆的直线平衡构形，在外界的微小扰动下，将转变为弯曲的平衡构形。这一过程称为屈曲(buckling)或失稳(loststability)。通常，屈曲将使构件失效，并导致相关的结构发生坍塌(collapse)。由于这种失效具有突发性，常常带来灾难性后果。2023/4/1972007年8月2日，美国明尼苏达州一座跨越密西西比河的大桥发生坍塌2023/4/1982023/4/19911.1.2临界状态与临界载荷

介于稳定平衡构形与不稳定平衡构形之间的平衡构形称为临界平衡构形，或称为临界状态(criticalstate)。处于临界状态的平衡构形，有时是稳定的，有时是不稳定的，也有时是中性的。非线性弹性稳定理论已经证明了：对于细长压杆，临界平衡构形是稳定的。使杆件处于临界状态的压缩载荷称为临界载荷(criticalloading)，用FPcr表示。2023/4/191011.1.3三种类型的压杆的不同临界状态

不是所有受压杆件都会发生屈曲，也不是所有发生屈曲的压杆都是弹性的。理论分析与试验结果都表明：根据不同的失效形式，受压杆件可以分为三种类型，它们的临界状态和临界载荷各不相同。细长杆：发生弹性屈曲，当外加载荷FP＜FPcr时，不发出屈曲；当FP＞FPcr时，发生弹性屈曲，即当载荷去除后，杆仍能由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。2023/4/1911中长杆：发生弹塑性屈曲。当外加载荷FP＜FPcr时，不发出屈曲；当FP＞FPcr时，它发生屈曲，但不再是弹性的，这是因为压杆上某些部分已经出现塑性变形，即当载荷去除后，杆不能完全由弯形平衡构形回复到初始直线平衡构形。粗短杆：不发生屈曲，而发生屈服(yield)。2023/4/191211.2

细长压杆临界力的欧拉公式一、两端铰支压杆的临界力:

假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，从挠曲线入手，求临界力。①弯矩：②挠曲线近似微分方程：PPxPxwPM2023/4/1913③微分方程的解：④确定积分常数：

临界力Pcr

是微弯下的最小压力，故，只能取n=1；且杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。2023/4/1914二、此公式的应用条件：1.理想压杆；2.线弹性范围内；3.两端为球铰支座。两端铰支压杆临界力的欧拉公式

压杆稳定2023/4/191511.2.2其他刚性支承细长压杆临界载荷的通用公式—长度系数（或约束系数）。压杆临界力欧拉公式的一般形式不同刚性支承条件下的压杆，由静力学平衡方法得到的平衡微分方程和端部的约束条件都可能各不相同，确定临界载荷的表达式亦因此而异，但基本分析方法和分析过程却是相同的。对比方法：以两端铰支的情况为依据，将其他约束的压杆的挠度曲线形状与两端铰支压杆的挠度曲线形状比较，来推出不同约束条件下的压杆临界应力公式。2023/4/19160.5l各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公式支承情况两端铰支一端固定另端铰支两端固定一端固定另端自由两端固定但可沿横向相对移动失稳时挠曲线形状PcrABl临界力Pcr欧拉公式长度系数μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1PcrABlPcrABl0.7lCCDC—挠曲线拐点C、D—挠曲线拐点0.5lPcrPcrl2llC—挠曲线拐点2023/4/191711.3长细比的概念三类不同压杆的判断11.3.1长细比的定义与概念

前面已经提到欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限，即对于某一压杆，当临界载荷FPcr尚未算出时，不能判断式(11-9)是否满足；当临界载荷算出后，如果式(11-9)不满足，则还需采用超过比例极限的临界载荷计算公式重新计算。这些都会给实际设计带来不便。能否在计算临界载荷之前，预先判断压杆是发生弹性屈曲还是发生超过比例极限的非弹性屈曲，或者不发生屈曲而只发生强度失效?为了回答这一问题，需要引进长细比(slendernessratio)的概念。2023/4/1918细长比用λ表示，定义为：其中μ为反映不同支承影响的长度系数，l为压杆长度，i为全面反映压杆横截面形状与尺寸的几何量。所以细长比λ是一个综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量。2023/4/1919(1)欧拉公式的应用范围是材料变形处于线弹性阶段。表明：当λ大于或等于极限值时，欧拉公式才是适用的。定义：当材料的E、σ

p给定之后，就可以独立计算出λp临界压缩应力小于材料的比例极限，就发生了屈曲破坏。当压杆的柔度λ大于λp时，可用上述欧拉公式计算，这种杆称为大柔度杆或细长杆2023/4/1920(2)如果压杆的柔度λ<λp时，则压杆的临界应力公式不能采用欧拉公式计算。这是属于压杆临界应力超出了材料的比例极限的压杆稳定问题。直线公式——经验公式把压杆的临界应力表示为柔度的线性函数其中a、b是与材料性质有关的常数，由实验测定。2023/4/1921的使用范围：最低限λs所对应的临界应力等于材料的压缩极限应力对于塑性材料(韧性材料)对于脆性材料定义：把这种压杆称为中柔度杆。当时，该类压杆称为小柔度杆

这类小柔度压杆的破坏是由于压应力达到材料的极限应力而引起的破坏，它不是因失稳而破坏，而是强度问题，要采用第6章所学知识来处理。2023/4/192211.3.2三类不同压杆的区分2023/4/192311.3.3.三类压杆的临界应力公式1.大柔度压杆的临界应力：2、中小柔度杆的临界应力计算1.直线型经验公式①P<<S

时：②S<

时：或2023/4/1924③临界应力总图(figuresofcriticalstresses)bass-=sl

PPEspl2

=小柔度杆中柔度杆大柔度杆2023/4/19252.抛物线型经验公式我国建筑业常用：①P<<s

时：②s<

时：2023/4/192611.4压杆稳定条件及其应用

构件的强度问题取决于危险截面上危险点的应力，所以强度条件是从一点的应力出发的。但是压杆稳定问题，既不存在危险截面，也不存在危险点，其危险标志就是失稳，要使得压杆不失稳，应该使得作用在杆上的压力F小于压杆的临界应力Fcr，故压杆的稳定条件是：[n]st是稳定安全系数，是随λ而变化的，λ越大，[n]st也越大。同时[n]st一般大于强度安全系数。nw为压杆的工作安全系数。它表示压杆的临界载荷Pcr与所受的轴向压力P的比值应不小于它的稳定安全系数[n]st，以上这种稳定计算方法称为安全系数法。2023/4/192711.4.2安全因数法与稳定性设计准则2023/4/192811.4.3压杆稳定性设计过程2023/4/192911.5压杆稳定性分析与稳定性设计示例2023/4/19302023/4/19312023/4/1932对于第一个问题：对于(a)，属于中长杆。而对于(b)，属于粗短杆。约等于原来的2倍。约等于原来的1.5倍。2023/4/19332023/4/19342023/4/19352023/4/19362023/4/19372023/4/19382023/4/193911.6结论与讨论11.6.2影响压杆承载能力的因素2023/4/194011.6.3提高压杆承载能力的主要途径：

为了提高承载能力，必须综合考虑杆长、支承、截面的合理性以及材料性能等因素的影响。1.尽量减小压杆杆长

对于细长杆，其临界载荷与杆长平方成反比。因此，减小杆长可以显著地提高压杆承载能力，在某些情形下，通过改变结构或增加支点可以达到减小杆长，从而提高压杆承载能力的目的。2023/4/19412.增强支承的刚性

支承的刚性越大，压杆长度系数值越低，临界载荷越大，例如，将两端铰支的细长杆，变成两端固定约束的情形，临界载荷将成数倍增加。3.合理选择截面形状

当压杆两端在各个方向弯曲平面内具有用同的约束条件时，压杆将在刚度最小的主轴平面内屈曲。这时如果只增加截面某个方向的惯性矩(例如只增加矩形截面高度)，并不能提高压杆的承载能力，最经济的办法是将截面设计成中空心的，且使Iy＝Iz，从而加大横截面的惯性矩，并使截面对各个方向轴的惯性矩均相同。因此，对于一定的横截面面积，正方形截面或圆截面比矩形截面好；空心正方形或环形截面比实心截面好。当压杆端部在不同的平面内具有不同的约束条件时，应采用最大与最小主惯性短不等的截面(例如矩形截面)，并使主惯性矩较小的平面内具有较强刚性的约束，尽量使两主惯性矩平而内压杆的柔度相互接近。2023/4/19424.合理选用材料

在其他条件均相同的条件下，选用弹性模量大的材料，可以提高细长压杆的承载能力，例如钢杆临界载荷大于铜、铸铁或铝制压杆的临界载荷。但是，普通碳家饲、合金饲以及高强度钢的弹性模量数值相差不大。因此，对于细长杆，若选用高强度钢，对压杆临界载荷影响甚微，意义不大，反而造成材料的浪费。但对于粗短杆或中长杆，其临界载荷与材料的比例极限或屈服强度有关，这时选用高强度钢会使临界载荷有所提高