高中数学考点13 定积分与微积分基本定理

考点13定积分与微积分基本定理具体要求为：(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.一、定积分曲边梯形的面积曲边梯形：由直线、x=b(a≠b)、y=0和曲线y f(x)所围成的图形称为曲边梯如图①)．求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；“(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；的面积．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)a≤t≤bs.定积分的定义和相关概念f[a,b]a=x0<x1<…<xi−1<xi<…<xn=b[a,b]n个小区间，在每个小区间[xi−1

,xi]

,…n，作和式n fii1

xn bafn i1

)；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数 x)在区间a,]上的定积分，记作a

f(x)dx，即bf(x)dx=limn baf).a

n ii1在a

f(x)dx中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．定积分的性质bkfxdxk

fxdx(k为常数)；a ab[f(x)g(x)]xbf(x)xbg(x)x；a a ab

f(xx=

f(xx+

f(x)dx(其中a<c<b)．a a c【注】定积分的性质(3)称为定积分对积分区间的可加性，其几何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形AEFD与曲边梯形EBCF的面积的和．定积分的几何意义f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分

bf(x)dxx=a，x=b(a≠b)，y=0和曲a线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．一般情况下，定积分

baf(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形(，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x积等于该区间上积分值的相反数．常用结论)形来确定：设阴影部分面积为S,则Sa

fxx； (2)Sa

fxdx；(3)S

fxx

fxx； (4)S

fxxbgxxb[fxgx]x.a

c a a a变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s

bv(t)dta变力做功F(的作用下做直线运动，如果物体沿着与FsFW=Fs.如果物体在变力 F(x)的作用下沿着与 F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功WbF(x)dx.a二、微积分基本定理一般地，如果f,上的连续函数，且F)=f，那么ba

f(x)dx=F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把FbFa记作F(x)b，即b

f(x)dx=F(x)=F(b)−F(a)．a a a【注】常见的原函数与被积函数的关系bCdxCx

(C为常数)；a bxndx 1

xn1|b

(n1)；a n1 absindxcosxb；a abcosdxsinxb；ab1dxlnx

a(ba0)；ax abexdxexb；abaxdx

axa x

(a0,a1)；a lnaaba

xdx2x3|2b3 2b

(ba0).考向一 定积分的计算求定积分的三种方法()(2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，1 1 1 π4定积分4

1x2dx的几何意义是求单位圆面积的，所以 1x2dx= .0 4 0用牛顿莱布尼茨公式求定积分的步骤(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；分别用求导公式找到一个相应的原函数；(5).分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．奇偶函数的定积分若奇函数=[−，a上连续，则aa若偶函数=g[−，a上连续，则a

f(x)dx0；g(x)dx2ag(x)dx.011x1x01A．2C．2【答案】A【解析】

B．1D．31x1x1(x)dxx1x2111 .10 0

2 0 2 2故选A．.1．已知函数fxx3e1dxx2f(1)2x，则ff( )1xA．－1

B．1C．－2

D．2考向二 利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案．知图形的面积求参数定积分求出其面积，再由已知条件可找到关于参数的方程，从而可求出参数的值．与概率相交汇问题解决此类问题应先利用定积分求出相应平面图形的面积，再用相应概率公式进行计算.典例2 设抛物线C：y=x2与直线l：y=1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于1A．1 B．32 4C．3【答案】Dyx2

D．3【解析】由 ，得x.y1S2(11

1x2dx)2(11 x31)4.10 3 0 31故选D.如图，已知A0,1，点Px

x

0

x2上，若阴影部分面积与△OAP面积相等，则4 4 x .0

0 0 0考向三 定积分的物理意义利用定积分解决变速直线运动与变力做功问题利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得.求典例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)73t+v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是11

251

(t的单位：s，A．1＋25ln5C．4＋25ln5

B．8＋25ln3D．4＋50ln2【答案】Cv(t)=0t=4t825 25

舍去).汽车的刹车距离是

4(73t+ [7t t225ln(t1)]|4425ln5.C.

0 1t 2 0一个物体做变速直线运动，在时t的速度为vtt32(t的单位：h，v的单位：km/h)，那么它在0t1这段时间内行驶的路程s单位：km)的值( )2 73 B．45C．3 D．21．1(3x2sinx)dx等于()1A．0B．2sin1C．2cos1D．22．11

exdx的值为( )A．2C．2

B．D．2e2片叶子由曲线y2x|与曲线|y|x2围成，则每片叶子的面积( )3136 B．61 2C．3

a6

D．31已知x22x展开式的中间项系数为20，则由曲线yx3和yxa围成的封闭图形的面积( ) 5A．12C．1

1

5313D．12311.13已知

x

exex

，a 2

2sinxdx，b ，clog220 22

则下列选项中正确的( )3A．fafbfcC．fcfaf

B．fafcfD．fcfbfa一物体在力F(x)＝4x﹣1(单位)的作用下，沿着与力F相同的方向，从x＝1m处运动到x＝3m处，则力F(x)所作的功( )6JC．12J

4Jfx

xt4dt在上( )00，无最小值C．最小值32，无最大值3

B．有最大值0，最小值323D．既无最大值，也无最小值某人用随机模拟的方法估计无理数e的值，做法如下：首先在平面直角坐标系中，过点Ax轴的yexBByy轴相交于点C(如图OABC内投入M粒豆子，并统计出这些豆子在曲线yex上方的有N粒NM，则无理数e的估计值( )NMNMNC．N

MMNMD．N劳伦茨曲线为直线OL劳伦茨曲线为折线OKL平等AaS为△OKL的面积，将Ginia.S对于下列说法：Gini越小，则国民分配越公平；yfx)，则对x(0,1)

f(x)1；xyx2(x[0,1])，则Gini1；4④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为yx3(x[0,1])，则Gini1.2其中正确的是)①④C．①③④1

②③D．①②④10． ex2xdx= ．0抛物线x22y和直线yx4所围成的封闭图形的面积.已知数列

是公比q1x2dx的等比数列，且

a

，则a

.n 0 3 1 2 10在平面直角坐标系xOy中，已知点O，A2,0，BC现在矩形OABC 中随选取一点Px,y，则事件：点Px,y的坐标满足yx22x的概率.1．(2015年高考湖南卷理)2(x1)x ．02．(2015年高考天津卷理)曲线yx2与直线yx所围成的封闭图形的面积为 ．3．(2015年高考ft东卷理)执行如图所示的程序框,输出的T的值为 ．4(2015年高考福建卷理如图点A的坐标(1,0)点C的坐标(2,4)函数f)=.若在矩形D内随机取一,则此点取自阴影部分的概率等于 ．5．(2015年高考陕西卷理)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物型(图中虚线表则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．变式拓展变式拓展A【解析】【分析】先由微积分基本定理求出函数式中的积分值，然后求导，令x1f(1)f(1)可得结论．【详解】因为e1dxlnxe1

fxx3x2f12x，所以

fx3x22xf'12，1x 1x1f132f2f(1)1，31 1 所以f(x)x3 x22x，f(1)1 21 1

，ff

141，3 3 3

33 3故选：A．【点睛】本题考查微积分基本定理，考查导数的运算，解题时计算出积分值，由求导公式求导，令x1，赋值后就可化未知为已知．6【答案】64【解析】【分析】利用定积分求出阴影部分的面积，再建立面积等量关系，即可得答案；【详解】Pxy0 0

x0

0

x2上，所以y01 1 1

x2，0则S

OA‖x

x，12阴影部分的面积为12

0 2 x1100x2dx 3x x110

0 8 0x3，0 3 0 3 01 1因为阴影部分面积与的面积相等，所以x3 x,x20

3.所以x .68 0 46

3 0 8 0【点睛】本题考查定积分求面积，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.B【解析】【分析】由速度在给定的时间范围内的定积分可得到答案.【详解】

1

1 1 1 7这辆汽车在0t1这段时间内汽车行驶的路程s

t32dt4t4 424，0 0所以这辆汽车在0t1s7.4【点睛】本题考查了定积分在物理中的应用，速度在时间范围内的积分是路程，属于基础题.考点冲关考点冲关D1

【解析】C【解析】【分析】

3x2sinxdxx3cosx|11

1cos1

1cos1

2，故答案为D.根据微积分基本定理结合积分的性质计算．【详解】1exdx21exdx2ex11 0

2(e1)．故选：C．【点睛】本题考查微积分基本定理，属于基础题．C【解析】【分析】先计算图像交点，再利用定积分计算面积.【详解】xyx由yx

x0,，解得y

x1y1，0

2

1 1 1根据图形的对称性，可得每片叶子的面积为1

xx2 dx x33

x3 .3 330故答案选C【点睛】本题考查定积分的应用，考查运算求解能力A【解析】【分析】先利用二项展开式的通项公式求出a，再利用牛顿-莱布尼兹公式可求图形的面积.【详解】2 a62

3a3x2

2x

展开式的中间项为第4项且第4项为T C3 x24 6

，x xa因为系数为20，所以C3 20，解得aa6 21由x3x21

x0x1，11

3 4 1 5所以封闭图形的面积为 x3

x2dx x

x3 ，0 4 3

0 12【分析】档题.C【解析】【分析】fxRfxx0,x上单调递减，化简abc.【详解】fxlnexex，xR，则fxlnexexfx，fxR上的偶函数，并且fx

exex

，则x0,时，fx0，当且仅当x0时，“”成立，exexfx

x0,

x,

1 1 1所以

2sinxdx cos

2，0b11.1111

20 2 202 2 2， 3clog3

1log33 2 2又fcf

1

3

1

3

1，所以fcfafb. 2故选：C【点睛】

2

2 2.B【解析】【分析】由定积分的物理意义，变力F(x)所作的功等于力在位移上的定积分，进而计算可得答案．【详解】根据定积分的物理意义，力F(x)所作的功为34x1dx(2x2-x)|314.1 1故选B【点睛】本题主要考查了定积分在物理中的应用，同时考查了定积分的计算，属于基础题B【解析】【分析】由定积分的运算，求得fx1x32x2，再利用导数求得函数fx的单调性与极值，结合端点的函3数值，得到函数的最值，得到答案.【详解】fx

xt4dt(1t32)|x1x32x2，0 3 0 3则fxx24xx(x4)，x[1,0)fx0fx单调递增；x(0,4)fx0fx单调递减；x(4,5]fx0fx单调递增；f17f00f432f525，3 3 3所以函数fx的最大值为0，最小值为32.3【点睛】.D【解析】【分析】利用定积分计算出矩形OABC中位于曲线yex于e的等式，解出e.【详解】yexx1yeBBCye，矩形OABCyex上方区域的面积为S矩形OABC的面积为1ee，

eex11

exex 10

1，N由几何概型的概率公式得

1eM.【点睛】

M e N本题考查利用随机模拟的思想估算e的值，考查了几何概型概率公式的应用，同时也考查了利用定积分计算平面区域的面积，考查计算能力，属于中等题.A【解析】【分析】Gini越小，不平等区域越小，可知①正确，结合劳伦茨曲线的特点，可知x(0,1)，均有f(x)x，可知②错误，结合定积分公式，可求出a的值，即可判断出③④是否正确，从而可选出答案.【详解】Gini所以①正确；

aaS对于②，根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线，可知x(0,1)，均有f(x)x，可得②错误；

f(x)1，所以x1 1 1 1

1a 6 1对于③，因为a0

(xx2)dx( x2 x3) ，所以Gini 2 3 0 6 S

，所以③错误；1 321 1 1 1

1a 4 1对于④，因为a0【点睛】

(xx3)dx( x2 x4)2 4 0

，所以Gini 4 S

.1 22本题考查不等式恒成立，考查定积分的应用，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.【答案】e【解析】【分析】利用积分运算得

1ex1

dxexx2.0 0【详解】1 因为0

ex2x

dx(exx2)|10

(e1)1e.故答案为：e.【点睛】本题考查积分的运算，考查基本运算求解能力，属于基础题.18【解析】【分析】根据定积分的几何意义可求得结果.【详解】x22y联立 ，消去y得x22x80，解得x或x4，yx44(x4

x2)dx(x2

4x

x3)4)

42

4443488

18.所以所求面积是

2 2 2 6 2 2

6 2 6故答案为：18.【点睛】本题考查了定积分的几何意义，属于基础题.

1【解析】【分析】先由微积分基本定理求出q【详解】

1，再由a3

aa1

求出首项，进而可求出结果. 1 1 1因为等比数列a

的公比qx2dx

x31

，且

a

aq2a2q，∴a

1，∴

n01.

3 0

3 12 1 11 3

310

1本题主要考查等比数列的基本量运算，熟记微积分基本定理，以及等比数列的通项公式即可，属于基础题型.213．【答案】3【解析】【分析】求出矩形OABCSyx22xx轴围城的封闭图形的面积S1

x22xdx22 几何概型的概率公式，可求出答案.【详解】如图，由题意，矩形OABC 的面积S212，2 1 2yx22xx轴围城的封闭图形面积为S

x22xdx3x3x201 0 1 23220 ，1 3 31则PS 2.1S 3所以在矩形OABC中随机选取一点Px,y，事件：点Px,y的坐标满足yx22x的概率为2.32故答案为：3.【点睛】本题考查几何概型概率的计算，弄清随机事件对应的平面区域是关键，本题属于中档题.直通高考直通高考0【解析】2(x1)x(1x2x)21420.0 2 0 216【解析】由题意可得封闭图形的面积为1(xx2)dx(1x21x3)1

111.1111

0 2

0 2 3 66 6【解析】开始n=1,T=1,因为1<3所以T11dx11x21112

3,n=1+1=2;0 2 0 2 22<3,所以T

31x2dx

x3

11,n=2+1=3.3 3 2 0 2 3 0 2 3 63 3 113<3,T,T的值为6.5【答案】12【解析】依题意知点D的坐标为(1,4),所以矩形ABCD的面积S=1×4=4,

=42x2dx41x3|

475,阴影 1

3 1 3 3S5S根据几何概型的概率计算公式,所求的概率P= 阴3

5S 5阴影=3=5.【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：

S 4 12

4 1211022216x22py(p02点，所以2p252p

25x2

25y

2x2，所以当前最大流量是4 2 255(2

2x2)dx(2x

2x3)5

(25

253)[25

253]

40，故原始的最大流5 25 75 5 75 75 340161.2，所以答案为1.2．403列一元一次方程解应用题的一般步骤审题：弄清题意．找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．后利用已找出的等量关系列出方程．解方程：解所列的方程，求出未知数的值．和差倍分问题： 增长量＝原有量×增长率 现在量＝原有量增长量等积变形问题： 常见几何图形的面积体积周长计算公式依据形虽变但体积不变．①圆柱体的体积公式 底面积×高＝S·h＝②长方体的体积 V＝长×宽×高4．数字问题一般可设个位数字为bc100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程．5．市场经济问题（1）商品利润＝商品售价－商品成本价（2）商品利润率商品销售额＝商品销售价×商品销售量商品的销售利润＝（销售价－成本价）×销售量

商品利润×100%商品成本价880%出售．行程问题：路程＝速度×时间 时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间相遇问题：快行距＋慢行距＝原距追及问题：快行距－慢行距＝原距航行问题：顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）（静不速7．工程问题：工作量＝工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝18．储蓄问题利润＝每个期数内的利息×100% 利息＝本金×利率×期数本金实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）类型一：列二元一次方程组解决——行程问题13622.523解：设甲，乙速度分别为x，y千米/时，依题意得：(2.5+2)x+2.5y=363x+(3+2)y=36解得：x=6，y=3.6答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。22801420船在静水中的速度和水流速度。解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时,则水流速度y千米/小时，有：20（x-y）=28014（x+y）=280解得：x=17，y=3答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3千米/小时，类型二：列二元一次方程组解决——工程问题65.2万元；若甲公司49周完成，需工钱4.8解：类型三：列二元一次方程组解决类型三：列二元一次方程组解决——商品销售利润问题1】（2011）101800020001500菜各种植了多少亩？解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：①x+y=10②2000x+1500y=18000解得：x=6，y=4答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩ABAB进价（元/件）12001000售价（元/件）13801200（）A、B解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组1200x+1000y=360000(1380-1200)x+(1200-1000)y=60000解得x=200，y=120答：略类型四：列二元一次方程组解决——银行储蓄问题2400032.252.70%.三年后同时取出共得利息303.75解：设x第二种方式存款，则X+Y=4000X*2.25％*3+Y*2.7％*3=303.75解得：X=1500，Y=2500。答：略。类型五：列二元一次方程组解决——生产中的配套问题解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个x+y=1908x=22y/2解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个x+y=1908x=22y/2解得x=110，y=80即110张做盒身，80张做盒底2601420解：设生产螺栓的工人为x人，生产螺母的工人为y人x+y=6028x=20y解得x=25，y=3533141503005解：设用X立方米做桌面，用Y立方米做桌腿X+Y=5. (1)50X：300Y=1：4. 解得：Y=2，X=5-2=3答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。类型六：列二元一次方程组解决——增长率问题2420.81.1%，1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。x＋y＝420.8%×X＋1.1%×Y＝42×1%解这个方程组，得：x=14，y=28答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。类型七：列二元一次方程组解决——和差倍分问题221解：设：男有X人，女有Y人，则X-1=Y2（Y-1）=X解得：x=4，y=3答：略类型八：列二元一次方程组解决——数字问题【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5，余数是1，这个两位数是多少？解：设这个两位数十位数是解：设这个两位数十位数是x，个位数是y，则这个数是（10x+y)10x+y-3(x+y)=2310x+y=5(x+y)+17x-2y=235x-4y=1y=656(1)(2)【变式2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5，如果把十位上的数字与个位上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9，求这个两位数？解：解：设个位X，十位Y，有X-Y=5(10X+Y) +(10+X)=143即X-Y=5X-Y=5X+Y =13解得：X=9，Y=4这个数就是4931，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。解：设原数百位是x，个位是yx+y=9x-y=12x=10所以原数是504=>x=5=>y=5-1=4类型九：列二元一次方程组解决——浓度问题解：解：10%X克，85%YX+Y=12X*10%+Y*85%=12*45%即：X+Y=12X+8.5Y=54解得：Y=5.6答：略【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？解：解：8001.75%800×1.75%=141435%14÷35%=40千克由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克407601.75%800千克。类型十：列二元一次方程组解决类型十：列二元一次方程组解决——几何问题1483解：设长方形的长宽分别为xy厘米，则2(x+y)=48x-3=y+3解得：x=15，y=9正方形的面积比矩形面积大（x-3）（y+3）-xy=（15-3）（9+3）-15*9=144-135=9（cm²）答：略(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机解得(不合实际，舍去)故商场进货方案为(Ⅲ)购进乙、丙两种电视机解得(不合实际，舍去)故商场进货方案为类型十一：列二元一次方程组解决类型十一：列二元一次方程组解决——年龄问题1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.解：设小李X岁，爷爷Y岁，则5X=Y3（X+12）=Y+12两式联立解得：X=12Y=60所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。类型十二：列二元一次方程组解决——优化方案问题：【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。509150200250利最多，你选择哪种进货方案？(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机解得(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机解得解：(1)分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z(Ⅰ)购进甲、乙两种电视机解得(Ⅱ)购进甲、丙两种电视机解得购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台．(2)按方案(Ⅰ)，获利150×25＋200×25＝8750(元)；按方案(Ⅱ)，获利150×35＋250×15＝9000(元)．购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台．(2)按方案(Ⅰ)，获利150×25＋200×25＝8750(元)；按方案(Ⅱ)，获利150×35＋250×15＝9000(元)．∴选择购进甲种35台和丙种15台．∴选择购进甲种35台和丙种15台．三、列方程解应用题将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6430后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？1592300毫米，300毫米和80内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高（精确到0.1毫米，≈3.1．600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，