函数、极限与连续教案

高等数学教学教案

第章函数、极限与连续

1

教学基本指标

教学课题第1章第1节函数课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点反函数、复合函数教学难点反三角函数

参考教材同济七版《高等数学》作业布置课后习题

大纲要求1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。

2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。

3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

4.掌握基本初等函数的性质及其图形。

教学基本内容

一．预备知识

1.集合

（1）集合的定义：一般说来，由一些确定的不同的研究对象构成的整体称为集合.构成集合的对象，称

为集合的元素.

（2）集合的表示.

（3）集合的元素的性质：确定性、互异性、无序性.

（4）高等数学中常用数集及其记法.

2．区间与邻域

（1）有限区间与无限区间及其记法.

（2）邻域：集合xxx,0表示开区间(x,x)，称之为点x的邻域，记作

0000

U(x,).x称为邻域中心，称为邻域半径.

00

（3）去心邻域：集合x0xx,0，表示(x,x)(x,x)，称之为点x的去心

000000

o

邻域，记作U(x,).

0

3．映射

（1）定义：设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x按照法则f,在Y中

1

有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:XY,

其中y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即

yf(x),

而元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像；集合X称为映射f的定义域,记作D，即

f

DX.

f

X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为R,或f(X),即

f

Rf(X)f(x)xX.

f

（2）满射、单射和双射

设f是从集合X到集合Y的映射,若RY,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X

f

到Y上的满射；若对X中任意两个不同元素xx,它们的像f(x)f(x),则称f为X到Y的单射；若映

1212

射f既是单射,又是满射,则称f为双射(或一一映射).

（3）逆映射与复合映射

设f是X到Y的单射,则由定义,对每个yR,有唯一的xX,适合f(x)y,于是,我们可定

f

义一个从R到X的新映射g,即

f

g:RX,

f

对每个yR,规定g(y)x,其中x满足f(x)y.这个映射g称为f的逆映射,记作f1,其定义域

f

DR,值域RX.

f1ff1

设有两个映射

g:XY,f:YZ，

12

其中YY.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个xX映射成f[g(x)]Z.显

12

然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作fg,即

fg:XZ,

(fg)(x)f(g(x)),xX.

二．函数

1.函数定义

（1）设D是一个给定的非空数集.若对任意的xD，按照一定法则f，总有唯一确定的数值y与之对

应，则称y是x的函数，记为yfx.数集D称为函数fx的定义域，x为自变量，y为因变量.函数值的

全体Wyyfx,xD称为函数fx的值域.

（2）函数的两要素：定义域与对应法则是确定函数的两要素，两要素可以作为判断两个函数是否相同的

标准.

（3）两函数相等

2.常见的分段函数

在自变量的不同变化范围内，对应法则用不同数学式子来表示的函数称为分段函数.

2

(1)绝对值函数

(2)符号函数

(3)取整函数

(4)狄利克雷函数

3.函数的性质及四则运算

（1）函数的有界性：有上界、有下界、有界

定理：函数yf(x),xD在其定义域上有界的充分必要条件是它在定义域D上既有上界又有下界.

（2）函数的单调性

严格单调增加和严格单调减少的函数统称为严格单调函数.一般情况下，若不单独说明，本书所指单调增

加(减少)即为严格单调增加(减少).

（3）函数的奇偶性

（4）函数的周期性

（5）函数的四则运算

4.反函数

（1）定义：设函数yf(x),xD,yW(D是定义域，W是值域)．若对于任意一个yW，D中都有唯

一确定的x与之对应，这时x是以W为定义域的y的函数，称它为yf(x)的反函数，记作xf1(y),yW．

习惯上往往用字母x表示自变量，字母y表示函数．为了与习惯一致，将反函数xf1(y),yW的变量对

调字母x、y，改写成yf1(x),xW．

今后凡不特别说明，函数yf(x)的反函数均记为yf1(x),xW形式．

在同一直角坐标系下，yf(x),xD与反函数yf1(x),xM的图形关于直线yx对称．

（2）定理：单调函数必有反函数，且单调增加(减少)的函数的反函数也是单调增加(减少)的．

（3）介绍反三角函数.

5.复合函数

（1）定义:设有函数链yf(u),uD，ug(x),xD，且RD，则yf[g(x)],xD称

fgf

为由式(1.1)，(1.2)确定的复合函数,u称为中间变量.

这个新函数yf(g(x))称做由yf(u)和ug(x)复合而成的复合函数，ug(x)称为内层函数，yf(u)

称为外层函数，u称为中间变量．

（2）复合函数不仅可以由两个函数经过复合而成，也可以由多个函数相继进行复合而成．

6.初等函数

（1）基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数统称为基本初等函数．

（2）初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成的并能用一个式子表示的

函数，称为初等函数．

（3）双曲函数与反双曲函数

三.例题讲解

3

x11

例1.确定函数yarcsin的定义域.

525x2

例2.某河道的一个断面图形，其深度y与一岸边点O到测量点的距离x之间的对应关系如图1.3中曲线

所示.

xb

Ox

y

y

图1.3

这里深度y与测距x的函数关系是用图形表示的，定义域D0,b.

1x2,x1，

例3.确定函数f(x)的定义域并作出图形.

x21,1x2

例4.求函数ysinxsinx的值域.

例5.某城市制定每户用水收费（含用水费和污水处理费）标准（参见下表）：

用水量不超出10立方的部分超出10立方的部分

收费（元/立方）1.302.00

污水处理费（元/立方）0.300.80

那么每户用水量x（立方）和应交水费y（元）之间的函数关系是怎样的呢？

例6.某工厂生产某型号车床，年产量为a台，分若干批进行生产，每批生产准备费为b元.设产品均匀投入

市场，且上一批用完后立即生产下一批，即平均库存为批量的一半.设每年每台库存费为c元.显然生产批量大

则库存费高；生产批量少则批量增多，因而生产准备费高.为了选择最优批量，试求出一年中库存费与生产准备

费的和与批量的函数关系.

授课序号02

4

教学基本指标

教学课题第1章第2节极限的概念与性质课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点数列极限与函数极限的概念与性质教学难点数列极限与函数极限的概念

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。

教学基本内容

一．数列极限的概念

1.数列定义

2.数列极限的定义

（1）对于数列x，当n无限增大(n)时，若x无限趋近于一个确定的常数a，则称a为n趋于无穷大

nn

时数列x的极限（或称数列收敛于a），记作limxa或xa(n)；此时，也称数列x的

nnnn

n

极限存在；否则，称数列x的极限不存在（或称数列是发散的）.

n

（2）(N定义)设x为一数列，a是常数，如果对0，NN+，使得对于满足nN的一切x，

nn

总有xa.则称a为数列x的极限（或称数列收敛于a），记作limxa或xa(n).

nnnn

n

（3）数列极限的几何意义：任意给定正数，当nN时，所有的点x都落在(a,a)内，只有有限

n

个（至多只有N个）落在其外.

二．数列极限的性质

1.(唯一性)收敛数列的极限是唯一的.

2.(有界性)收敛数列是有界的.

注(1)定理1.3中的M显然不是唯一的，重要的是它的存在性.

(2)有界性是数列收敛的必要条件，例如，数列(1)n1有界但不收敛.

(3)无界数列必定发散.

3.（保序性）若limxa,limyb，且ab，则NN,使得当nN时，有xy.

nnnn

nn

注：（1）若NN，使得当nN时，x0（或0），则a0（或a0）.

n

（2）（保号性）若a0（或0），则NN，使得当nN时，x0（或x0）.

nn

三．子列

1.定义：在数列{x}中任意抽取无限多项，保持这些项在原数列中的先后次序不变，这样得到的新数列称为数

n

5

列{x}的子数列，简称子列.

n

2.定理：（收敛数列与子列的关系）若数列{x}收敛于a，则其任意子数列也收敛于a.

n

注：该定理的逆否命题常用来证明数列{x}发散，常见情形如下：

n

(1)若数列{x}有两个子数列分别收敛于不同的极限值，则数列{x}发散；

nn

(2)若数列{x}有一个发散的子数列，则数列{x}发散.

nn

四．函数极限的概念

1.自变量趋于无穷大时函数的极限

（1）定义:(描述性定义)设函数yf(x)，在|x|a0时有定义，当x的绝对值无限增大（x）时，

若函数f(x)的值无限趋近于一个确定的常数A，则称常数A为x时函数f(x)的极限．记作

limf(x)A或f(x)A(x)．

x

此时也称极限limf(x)存在，否则称极限limf(x)不存在．

xx

（2）定义:(X定义)设函数yf(x)在x大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的

正数（不论它有多小），总存在正数X，使得当x满足不等式xX时，对应的函数值f(x)都满足不等式

f(x)A，

则称常数A为x时函数f(x)的极限．记作limf(x)A或f(x)A(x)．

x

（3）极限limf(x)A的几何意义：任意给定正数，作直线yA与yA，总能找到一个

x

X0，当xX时，函数yf(x)的图像全部落在这两条直线之间.

（4）定理：极限limf(x)存在的充分必要条件是limf(x)与limf(x)都存在且相等，即

xxx

limf(x)Alimf(x)Alimf(x).

xxx

2.自变量趋向有限值时函数的极限

（1）定义：(描述性定义)设函数yf(x)在点x的某一去心邻域有定义，当x无限地趋近于x(但xx)时，

000

若函数f(x)无限地趋近于一个确定的常数A，则称A为当xx时函数f(x)的极限．记作

0

limf(x)A或f(x)A(xx)．

0

xx0

这时也称极限limf(x)存在，否则称极限limf(x)不存在．

xxxx

00

（2）定义：(定义)设函数yf(x)在点x的某一去心邻域有定义，如果存在常数A，对于任意给定的

0

6

正数（不论它有多小），总存在正数，使得当x满足不等式0xx时，对应的函数值f(x)都满足不

0

等式

f(x)A，

则称常数A为当xx时函数f(x)的极限．记作：limf(x)A或f(x)A(xx)．

0xx0

0

（3）极限limf(x)A的几何意义：任意给定正数，作直线yA与yA，总能找到点x的一个

xx0

0

邻域(x,x)，使得当x(x,x(x,x)时，函数yf(x)的图像全部落在这两条直线之间.

000000

（4）定义：设函数yf(x)在点x的左邻域有定义，如果自变量x从小于x的一侧趋近于x时，函数f(x)无

000

限趋近于一个确定的常数A，则称A为当xx时函数f(x)的左极限，记作：

0

limf(x)A或f(x0)A或f(x)A.

00

xx

0

（5）定义：(定义)设函数yf(x)在点x的左邻域(x,x)有定义，如果存在常数A.对于任意

0010

给定的正数（不论它有多小），总存在正数(0)，使得当x满足不等式xxx时，有

100

f(x)A，则limf(x)A．

xx

0

（6）定义：设函数yf(x)在点x的右邻域有定义，如果自变量x从大于x的一侧趋近于x时，函数f(x)无

000

限趋近于一个确定的常数A，则称A为当xx时函数f(x)的右极限，记作：

0

limf(x)A或f(x0)A或f(x)A.

00

xx

0

(7)定义：(定义)设函数yf(x)在点x的右邻域(x,x)有定义，如果存在常数A.对于任意给

0002

定的正数（不论它有多小），总存在正数(0)，使得当x满足不等式xxx时，有

200

f(x)A，则limf(x)A．

xx

0

（8）定理：极限limf(x)存在且等于A的充分必要条件是左极限limf(x)与右极限limf(x)都存在且等

xxxxxx

000

于A.即limf(x)Alimf(x)limf(x)A.

xxxxxx

000

五．函数极限的性质（以limf(x)为例说明）

xx

0

1.(唯一性)若极限limf(x)存在,则极限是唯一的.

xx

0

2．(局部有界性)若limf(x)存在,则f(x)在x的某去心邻域Uo(x)内有界.

00

xx0

7

3.(局部保序性)设limf(x)与limg(x)都存在,且在某去心邻域Uo(x)内有f(x)g(x),则

xxxx0

00

limf(x)limg(x).

xxxx

00

4．(局部保号性)若limf(x)A0(A0),则对一切xUo(x)，有f(x)0或(f(x)0).

0

xx0

5．定理：(海涅定理)设函数yf(x)在点x的某一去心邻域有定义，则limf(x)A的充要条件是对

0

xx

0

任何收敛于x的数列{x}(xx,nN)，都有limf(x)A.

0nn0n

n

注海涅定理的否命题常用于证明函数在x点的极限不存在，常见情形如下：

0

(1)若存在以x为极限的两个数列{x}与{y}，使得limf(x)与limf(y)都存在，但

0nnnn

nn

limf(x)limf(y)，则limf(x)不存在；

nn

nnxx

0

(2)若存在以x为极限的数列{x}，使得limf(x)不存在，则limf(x)不存在.

0nn

nxx

0

六．例题讲解

n(1)n

例1.已知x，证明数列x的极限为1.

nnn

(1)n

例2.已知x，证明limx0.

nn

(n1)2n

例3.设q1,证明等比数列1,q,q2,,qn1,的极限是0.

例4.考察极限limarctanx与limex是否存在？

xx

x21

例5.考察极限lim是否存在？

x1x1

例6.考察下列函数当x1时，极限limf(x)是否存在？

x1

2x,x1,

x,x1,

(1)f(x)(2)f(x)0,x1,

2x1,x1;

x2,x1.

1

例7.讨论当x0时，函数f(x)sin的变化趋势.

x

授课序号03

8

教学基本指标

教学课题第1章第3节极限的运算法则课的类型复习、新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点四则运算法则、复合函数的极限、夹逼准则、两教学难点复合函数的极限、夹逼准则

个重要极限

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求1.掌握极限的性质及四则运算法则。

2.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。

教学基本内容

一．极限的四则运算法则

定理：如果limf(x)与limg(x)都存在，且limf(x)A,limg(x)B，则

（1）limf(x)g(x)存在，且有limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

（2）limf(x)g(x)存在，且有limf(x)g(x)limf(x)limg(x)AB;

f(x)limf(x)A

f(x)

（3）若B0，则lim存在，且有lim.

g(x)g(x)limg(x)B

推论设limf(x)存在，且limf(x)A，则

（1）若c是常数，则limcf(x)存在，且有limcf(x)climf(x);

（2）若a为正整数，则limf(x)a存在，且有limf(x)alimf(x)aAa

二．复合函数的极限

定理：设limf(u)A，lim(x)u，且在点x的某去心邻域内(x)u，则由yf(u)和u(x)

0000

uuxx

00

复合而成的函数yf(x)的极限存在，且limf(x)limf(u)A.

xxuu

00

三．极限存在准则

1.定理：（数列极限的夹逼准则）如果数列x,y及z满足下列条件：

nnn

(1)yxz，n1,2,；(2)limylimza,

nnnnn

nn

则数列x的极限存在，且limxa.

nn

n

o

2.定理：（函数极限的夹逼准则）设函数f(x)、g(x)、h(x)在x的某去心邻域U(x,)（或|x|M）

00

内有定义，且满足下列条件：

9

(1)当xx|0|xx|（或）时，有gxfxhx成立；

0|x|M

(2)limg(x)limh(x)a,则limf(x)存在，且limf(x)a.

xxxxxxxx

(x0)(x0)(x0)(x0)

3.定理：(单调有界原理)单调有界数列必有极限.

四．两个重要极限

sinx

1.重要极限Ilim1.

x0x

1

2.重要极限IIlim(1)xe.

xx

五．例题讲解

例1．求lim(3x22x1).

x1

x31

例2．求lim.

x2x25x3

2n22n3

例3．求lim.

n3n21

x3

例4.求lim.

x29

x3

例5.求limn21n22.

n

例6.求极限lim(x35x1)10.

x1

12n

例7.求lim＋.

nn2n1n2n2n2nn

1a

例8.设a0，x0，x(x)(n1,2,),

1n12nx

n

(1)证明limx存在；(2)求limx.

nn

nn

tanx

例9.求lim.

x0x

sinkx

例10.求lim（k为非零常数）.

x0x

1cosx

例11.求lim.

x0x2

1

例12.求极限lim(12x)x.

x0

2

例13.求极限lim(1)x1.

xx

例14.(信息传播规律)信息传播是现实生活中普遍存在的现象，日新月异发展的信息媒介给信息传播提供

了温床，使得信息给人类生活及认知带来了更多的影响.在传播学中有这样一个规律：在一定的状况下，信息

10

的传播可以用下面的函数关系来表示：

1

pt，

1aekt

其中pt表示t时刻人群中知道该信息的人数比例，a、k均为正数.

1

通过limp(t)lim1，我们知道t时刻人群中知道此信息的人数比例为100%，这就从数学理论上

tt1aekt

解释了信息传播的威力.例如，在“SARS病毒”时期人们抢购板蓝根药物、白醋、口罩等，甲流感病毒袭来时

人们“抢购大蒜”的疯潮，日本发生核辐射泄漏后的惊动，在日本掀起了一场“抢盐”的疯狂行为.很显然信

息传播会呈现出这样一个规律：随着时间的慢慢推移，最终所有的人都将会知道这个信息.

授课序号04

教学基本指标

11

教学课题第1章第4节无穷小与无穷大课的类型新知识课

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点无穷小与无穷大的定义，无穷小阶的比较教学难点无穷小阶的比较

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。

教学基本内容

一．无穷小

1.定义：如果limf(x)0，则称函数f(x)为当xx时的无穷小.

0

xx

0

在定义中，可将xx成x,x,x,xx,xx以及n可定义不同变化

000

过程中的无穷小.

注(1)一个变量是否为无穷小，除了与变量本身有关外，还与自变量的变化趋势有关．

(2)无穷小不是绝对值很小的常数，而是在自变量的某种变化趋势下，函数的绝对值趋近于0的变量.特别

地，常数0可以看成任何一个变化过程中的无穷小.

2.定理：limf(x)A的充分必要条件是f(x)A，其中(x)是xx的无穷小，即

0

xx0

lim(x)0.

xx0

3.无穷小的性质

（1）有限个无穷小的代数和是无穷小；

（2）有限个无穷小的乘积是无穷小；

（3）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；

（4）常数与无穷小的乘积是无穷小．

二．无穷大

1.定义：当xx时，如果函数f(x)的绝对值无限增大，则称当xx时f(x)为无穷大，记作limf(x).

00

xx

0

在定义中，将xx换成x,x,x,xx,xx以及n可定义不同变化

000

过程中的无穷大.

注(1)无穷大是变量，它不是很大的数，不要将无穷大与很大的数(如101000)混淆；

(2)无穷大是没有极限的变量，但无极限的变量不一定是无穷大.

(3)无穷大一定无界，但无界函数不一定是无穷大.

(4)无穷大分为正无穷大与负无穷大.

2.无穷小量与无穷大量的关系

12

定理：设函数yf(x)在点x的某一去心邻域有定义，当xx时，

00

1

(1)若f(x)是无穷大，则是无穷小；

f(x)

1

(2)若f(x)是无穷小，且f(x)0，则是无穷大.

f(x)

三．无穷小阶的比较

1.定义：设,是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且0，

（1）如果lim0，则称是比高阶的无穷小，记作；o；

（2）如果lim，则称是比低阶的无穷小；

（3）如果limc(c0)，则称与是同阶的无穷小；

（4）如果lim1，则称与是等价的无穷小，记作；等价无穷小具有自反性和传递性；

~

（5）如果limc(c0,kN)，则称是关于的k阶的无穷小.

k

注并非任何两个无穷小都能进行比较.

2.等价无穷小代换

定理：若,是同一自变量变化过程中的无穷小，且，，lim存在，则limlim.

注(1)该定理说明在求极限的过程中，可以把积或商中的无穷小用与之等价的无穷小替换，从而达到简化运算

的目的.但须注意，在加减运算中一般不能使用等价无穷小代换.

(2)当x0时,常用的等价无穷小有：

xsinxarcsinxtanxarctanxln(1x)ex1；

1

ax1~xlna(a0,a1)；1cosx~x2；1x1~x（0，且为常数）.

2

定理1.20与是等价无穷小的充要条件为o.

四．例题讲解

1

例1.求极限limx2sin.

x0x

2x3

例2.求lim.

x1x25x4

sin2x

例3.求极限lim.

x0x21cosx

3

例4.求极限limln(12x)ln(1).

xx

13

例5.设x0时ln(1xk)与x3x为等价无穷小，求k的值.

授课序号05

教学基本指标

教学课题第1章第5节函数的连续性课的类型新知识课

14

教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合

教学重点函数的连续性、函数的间断点教学难点函数的间断点的判别

参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题

大纲要求1.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。

2.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性定理、最大

值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。

教学基本内容

一．函数连续的概念

1.定义：设变量u从它的一个初值u变到终值u，终值与初值的差uu称为变量u的增量，记为u，

1221

即uuu.

21

2.定义：（1）设函数yf(x)在点x的某邻域内有定义，如果当自变量x有增量x时，函数相应的有

0

增量y，若limy0，则称函数yf(x)在点x处连续，x为f(x)的连续点.

00

x0

（2）设函数yf(x)在点x的某邻域内有定义，若limf(x)f(x)，则称yf(x)在点x处连续.

000

xx0

（3）设函数yf(x)在点x的某邻域有定义，如果对于任意正数，总存在正数，使得当x满足不等式

0

xx时，有f(x)f(x)，则称函数yf(x)在点x处连续.

000

3.定义：如果函数f(x)在开区间(a,b)