高中数学人教版选修2-2全套教案设计

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第一章导数及其应用

§1。1.1变化率问题

教学目标：

1．理解平均变化率的概念；2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率;

教学难点：平均变化率的概念．

教学过程:

一．创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生

了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等.

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的

工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．

二．新课讲授

（一)问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加,气球的半径

增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢?

气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm)之间的函数关系是

如果将半径r表示为体积V的函数,那么

h

分析:，

⑴当V从0增加到1时,气球半径增加了气球的平均膨胀率为

⑵当V从1增加到2时,气球半径增加了

气球的平均膨胀率为

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．

思考：当空气容量从V增加到V时，气球的平均膨胀率是多少?

12

问题2高台跳水

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位:m）与起跳后的时间t（单ot

位：s）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述

其运动状态?

思考计算：和的平均速度

在这段时间里，；

在这段时间里，

探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数h(t)=—4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,,

所以，

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虽然运动员在这段时间里的平均速度为，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平

均速度不能精确描述运动员的运动状态．

（二)平均变化率概念:

1．上述问题中的变化率可用式子表示,称为函数f(x）从x到x的平均变化率

12

2．若设，(这里看作是对于x的一个“增量"可用x+代替x,同样)

112

3．则平均变化率为

思考：观察函数f(x）的图象y

平均变化率表示什么？y=f(x)

f(x)

2

△y=f(x)-f(x)

21

直线AB的斜率

f(x)

1△x=x-x

21

xx

O12x

三．典例分析

例1．已知函数f（x)=的图象上的一点及临近一点,则．

解：,∴

例2．求在附近的平均变化率。

解：，所以

所以在附近的平均变化率为

四．课堂练习

1．质点运动规律为，则在时间中相应的平均速度为．

2。物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动,求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1，1）和Q（1+Δx，1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的

斜率.

五．回顾总结：1．平均变化率的概念；2．函数在某点处附近的平均变化率

六．布置作业

导数与导函数的概念

教学目标：

1、知识与技能：理解导数的概念、掌握简单函数导数符号表示和求解方法；

理解导数的几何意义；

理解导函数的概念和意义；

2、过程与方法：先理解概念背景,培养解决问题的能力；再掌握定义和几何意义，培养转化问

题的能力；最后求切线方程，培养转化问题的能力

3、情感态度及价值观；让学生感受事物之间的联系，体会数学的美。

教学重点：1、导数的求解方法和过程;2、导数符号的灵活运用

教学难点：1、导数概念的理解；2、导函数的理解、认识和运用

教学过程：

一、情境引入

在前面我们解决的问题:

1、求函数在点（2,4)处的切线斜率.，故斜率为4

2、直线运动的汽车速度V与时间t的关系是，求时的瞬时速度。

，故斜率为4

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二、知识点讲解

上述两个函数和中，当（)无限趋近于0时,（）都无限趋近于一个常数。

归纳：一般的，定义在区间（，)上的函数，,当无限趋近于0时，无限趋近于一个固定的常数A，

则称在处可导，并称A为在处的导数,记作或，上述两个问题中：（1），（2）

三、几何意义：我们上述过程可以看出在处的导数就是在处的切线斜率.

四、例题选讲

例1、求下列函数在相应位置的导数

(1）,（2），（3)，

例2、函数满足，则当x无限趋近于0时，

（1)（2）

变式:设f（x)在x=x处可导，（3）无限趋近于1，则=___________

0

(4）无限趋近于1，则=________________

(5)当△x无限趋近于0，所对应的常数与的关系。

总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。

例3、若，求和注意分析两者之间的区别。

例4：已知函数，求在处的切线。

导函数的概念涉及：的对于区间(,)上任意点处都可导，则在各点的导数也随x的变化而变化，因

而也是自变量x的函数，该函数被称为的导函数，记作.

五、小结与作业

§1.1。2导数的概念

教学目标：

1．了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2．理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵；

3．会求函数在某点的导数

教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率

(二）探究：计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考以下问题:h

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

探究过程：如图是函数h(t)=—4.9t2+6。5t+10的图像，结合图形可知，,

所以，

虽然运动员在这段时间里的平均速度为,但实际情况是运动员仍然运动，并非静

止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．

二．新课讲授

ot

1．瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速

度，那么,如何求运动员的瞬时速度呢？比如,时的瞬时速度是多少？考察附近的情况：

思考：当趋近于0时，平均速度有什么样的变化趋势?

结论：当趋近于0时，即无论从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度都

趋近于一个确定的值．

从物理的角度看，时间间隔无限变小时，平均速度就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员

在时的瞬时速度是

为了表述方便，我们用

表示“当，趋近于0时,平均速度趋近于定值”

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小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过

渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念

从函数y=f（x)在x=x处的瞬时变化率是：

0

我们称它为函数在出的导数，记作或,即

说明:（1)导数即为函数y=f(x）在x=x处的瞬时变化率

0

(2），当时，，所以

三．典例分析

2

例1．（1）求函数y=3x在x=1处的导数.

2

分析：先求Δf=Δy=f（１＋Δx)-f（１)=6Δx+(Δx)再求再求

解:法一（略）

法二：

(2）求函数f(x)=在附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．

解：

例2．(课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，

如果第时,原油的温度（单位:)为，计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

解:在第时和第时，原油温度的瞬时变化率就是和

根据导数定义，

所以同理可得:

在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和5，说明在附近，原油温度大约以的速率下降，在

第附近,原油温度大约以的速率上升．

注：一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况．

四．课堂练习1．质点运动规律为，求质点在的瞬时速度为．

2．求曲线y=f(x)=x3在时的导数．

3．例2中,计算第时和第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．

五．回顾总结：1．瞬时速度、瞬时变化率的概念;2．导数的概念

六．布置作业

§1。1。3导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2．理解曲线的切线的概念;

3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题；

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点:导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（一）平均变化率、割线的斜率

(二）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率，反映了函数y=f（x)在x=x附近的

00

变化情况，导数的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：如图3.1—2，当沿着曲线趋近于点时，割线的变化趋势是什么？

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我们发现,当点沿着曲线

无限接近点P即Δx→0时，

割线趋近于确定的位置，这

个确定位置的直线PT称为

曲线在点P处的切线。

问题：⑴割线的斜率与切线PT

的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率为多少?

容易知道,割线的斜率是,当

点沿着曲线无限接近点P

时，无限趋近于切线PT的斜

率，即

说明：（1）设切线的倾斜角为

α,那图3.1-2么当Δx→0时,割线PQ

的斜率，称为曲线在点P处

的切线的斜率.

这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;

②切线斜率的本质—函数在处的导数。

（2）曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关；2）要根据割线是否有极限位置来判断与求

解。如有极限，则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;3)曲线的切线,并

不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个.

(二）导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x处的导数等于在该点处的切线的斜率,

0

即说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤:

①求出P点的坐标;

②求出函数在点处的变化率,得到曲线在点的切线的斜率；

③利用点斜式求切线方程。

（二）导函数:

由函数f(x）在x=x处求导数的过程可以看到，当时,是一个确定的数，那么,当x变化时，

0

便是x的一个函数，我们叫它为f（x)的导函数。记作:或，

即:

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数．

（三）函数在点处的导数、导函数、导数之间的区别与联系.

1)函数在一点处的导数，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，它是一个常数，

不是变数.

2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x)的导函数

3）函数在点处的导数就是导函数在处的函数值，这也是求函数在点处的导数的方法之一.

三．典例分析

22

例1：（1）求曲线y=f(x）=x+1在点P（1,2)处的切线方程。（2)求函数y=3x在点处的导数.

解：（1),

所以，所求切线的斜率为2，因此，所求的切线方程为即

(2）因为

所以，所求切线的斜率为6，因此,所求的切线方程为即

（2）求函数f(x）=在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数．

解：

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例2．(课本例2）如图3.1—3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数，根据图像，请描述、

比较曲线在、、附近的变化情况．

解：我们用曲线在、、处的切线，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）当时，曲线在处的切线平行于轴，所以，在附近曲线比较平坦,几乎没有升降．

（2）当时，曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

（3）当时,曲线在处的切线的斜率，所以，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．

从图3.1—3可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度,这说明曲线在附近比在附近下降的缓慢．

例3．(课本例3）如图3.1—4，它表示人体血管中药物浓度(单位：）随时间（单位:）变化的图象．根

据图像,估计时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到）．

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数,从图像上看,它表示

曲线在此点处的切线的斜率．

如图3。1—4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓

度瞬时变化率的近似值．

作处的切线，并在切线上去两点,如，,则它的斜率为：

所以

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

0。20。40.60。8

—

药物浓度瞬时变化率0.40-0.7

1.4

四．课堂练习

1．求曲线y=f(x）=x3在点处的切线;2．求曲线在点处的切线．

五．回顾总结1．曲线的切线及切线的斜率；2．导数的几何意义

六．布置作业

§1。2.1几个常用函数的导数

教学目标:

1．使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数、、、的导数公式；

2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数．

教学重点：四种常见函数、、、的导数公式及应用

教学难点：四种常见函数、、、的导数公式

教学过程:

一．创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的

瞬时速度．那么，对于函数，如何求它的导数呢？

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法,但由于导数是用极限来定义的，所以求导数

总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数,这

一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数．

二．新课讲授

1．函数的导数

根据导数定义，因为所以

函数导数

表示函数图像（图3.2—1)上每一点处的切线的斜率都为0．若表示路程关于时间的函数，则可以

解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态．

2．函数的导数

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因为，所以

函数导数

表示函数图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1．若表示路程关于时间的函数，则可以

解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．

3．函数的导数

因为

所以

表示函数图像（图3.2-3）上点处的切线的斜率都为，说明随

函数导数

着的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数

在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，函数减

少得越来越慢；当时,随着的增加，函数增加得越来越快．若表示路程关于时间的函数，则可以解释为某物

体做变速运动,它在时刻的瞬时速度为．

4．函数的导数因为

所以

函数导数

（2）推广：若，则

三．课堂练习：1．课本P探究12．课本P探究23．求函数的导数

1313

四．回顾总结

函数导数

五．布置作业

§1.2。2基本初等函数的

导数公式及导数的运算法

则

教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公

式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：函数导数

一．创设情景

四种常见函数、、、

的导数公式及应用

二．新课讲授

（一)基本初等函数的导数公式表

函数导数

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（二）

导数的

运算法

则

导数运算法则

1．2．

3．

（2)推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)

三．典例分析

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为,物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下

函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大

约是多少（精确到0.01）？

解：根据基本初等函数导数公式表，有所以（元/年)

因此，在第10个年头,这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

例2．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1)（2）y＝；（3）y＝x·sinx·lnx;（4)y＝；

（5）y＝．（6）y＝（2x2－5x＋1）ex（7)y＝

【点评】

①求导数是在定义域内实行的．②求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心．

例3日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已

知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位:元）为

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：(1）(2）

解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

（1)因为,所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是52.84元/吨．

（2）因为，所以，纯净度为时，费用的瞬时变化率是1321元/吨．

函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可知，．它表示纯净度为左右时净化

费用的瞬时变化率，大约是纯净度为左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的

净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

四．课堂练习

1．课本P练习

92

2．已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4,求曲线C上横坐标为1的点的切线方程；（y＝－12x＋8）

五．回顾总结（1）基本初等函数的导数公式表（2）导数的运算法则

六．布置作业

§1.2。2复合函数的求导法则

教学目标理解并掌握复合函数的求导法则．

教学重点复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以

中间变量对自变量的导数之积．

教学难点正确分解复合函数的复合过程，做到不漏,不重，熟练，正确．

一．创设情景

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（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法

函数导数

则

导数运算法则

1．

2．

3．

(2)推论：(常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

二．新课讲授

复合函数的概念一般地,对于两个函数和，如果通过变量，可以表示成的函数，那么称这个函

数为函数和的复合函数，记作。

复合函数的导数复合函数的导数和函数和的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导

数的乘积．

若，则

三．典例分析

例1求y＝sin（tanx2）的导数．

【点评】

求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数，由外层向内层逐层求导，

直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果．

例2求y＝的导数．

【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理．

例3求y＝sin4x＋cos4x的导数．

【解法一】y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－sin22x

＝1－（1－cos4x）＝＋cos4x．y′＝－sin4x．

【解法二】y′＝(sin4x)′＋（cos4x)′＝4sin3x（sinx)′＋4cos3x（cosx）′＝4sin3xcos

x＋4cos3x(－sinx)＝4sinxcosx（sin2x－cos2x）＝－2sin2xcos2x＝－sin4x

【点评】

解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数,应

注意不漏步．

例4曲线y＝x(x＋1)（2－x)有两条平行于直线y＝x的切线，求此二切线之间的距离．

【解】y＝－x3＋x2＋2xy′＝－3x2＋2x＋2

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令y′＝1即3x2－2x－1＝0,解得x＝－或x＝1．

于是切点为P(1，2）,Q（－，－)，

过点P的切线方程为,y－2＝x－1即x－y＋1＝0．

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为＝．

四．课堂练习

1．求下列函数的导数(1)y=sinx3+sin33x；(2）;（3)

2.求的导数

五．回顾总结

六．布置作业

§1.3.1函数的单调性与导数（2课时）

教学目标：

1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；

2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程:

一．创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的赠与减、增减的快与慢以及

函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规

律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质,从中体会导数在研究函数中的作用．

二．新课讲授

1．问题:图3。3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像,图3。3-1（2）表示高台跳

水运动员的速度随时间变化的函数的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度随时间的增加而增加，即是增函数．相应地，．

（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少，即是减函数．相应地，．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3。3-3,导数表示函数在点处的切线的斜率．

在处，，切线是“左下右上”式的，时，函数在附近单调递增；

在处,,切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果,

那么函数在这个区间内单调递减．

说明：（1）特别的，如果,那么函数在这个区间内是常函数．

3．求解函数单调区间的步骤:

(1）确定函数的定义域;(2)求导数；

（3)解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

三．典例分析

例1．已知导函数的下列信息：

当时,；当,或时，;当，或时，

试画出函数图像的大致形状．

解：当时，,可知在此区间内单调递增；

当，或时，；可知在此区间内单调递减；

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当，或时,，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”．

综上，函数图像的大致形状如图3.3—4所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）;（2）

（3）；（4)

解：（1)因为，所以，

因此，在R上单调递增，如图3。3-5（1）所示．

（2）因为，所以，，当,即时，函数单调递增；

当,即时，函数单调递减;

函数的图像如图3。3-5（2）所示．

（3）因为，所以,

因此,函数在单调递减,如图3。3-5(3)所示．

（4）因为,所以．

当，即时，函数;

当,即时，函数;

函数的图像如图3。3—5（4)所示．

注：（3）、（4）生练

例3如图3.3—6，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器

中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗，所以水以常速注入时,开始阶段高度增加得慢,以后

高度增加得越来越快．反映在图像上,(A)符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：

思考:例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，

你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快,这时,

函数的图像就比较“陡峭";反之，函数的图像就“平缓”一些．

如图3.3—7所示，函数在或内的图像“陡峭”,

在或内的图像“平缓”．

例4求证：函数在区间内是减函数．

证明:因为

当即时，，所以函数在区间内是减函数．

说明：证明可导函数在内的单调性步骤：

（1)求导函数；（2）判断在内的符号;

（3)做出结论：为增函数，为减函数．

例5已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，因为在区间上是增函数,所以对恒成立，即对恒成立，解之得：

所以实数的取值范围为．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即

“若函数单调递增，则；若函数单调递减,则"来求解，注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x）=2x3－6x2+72.f（x)=+2x3。f(x)=sinx，x4。y=xlnx

2．课本练习

五．回顾总结

（1）函数的单调性与导数的关系

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（2)求解函数单调区间

(3）证明可导函数在内的单调性

六．布置作业

§1。3.2函数的极值与导数(2课时）

教学目标：1。理解极大值、极小值的概念;

2。能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；

3。掌握求可导函数的极值的步骤；

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法,以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点:对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤.

教学过程：

一．创设情景

观察图3。3—8，我们发现，时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么,函数在此点的导数

是多少呢？此点附近的图像有什么特点?相应地，导数的符号有什么变化规律？

放大附近函数的图像,如图3.3—9．可以看出；在，当时，函数单调递增，；当时，函数单调

递减，；这就说明,在附近,函数值先增（，）后减(，)．这样，当在的附近从小到大经过时，先正后

负，且连续变化,于是有．

对于一般的函数,是否也有这样的性质呢?

附:对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明。并且要说明函数的极值是就函数在某一点

附近的小区间而言的.从图象观察得出，判别极大、极小值的方法。判断极值点的关键是这点两侧的导

数异号

二．新课讲授

1．问题:图3。3-1（1），它表示跳水运动中高度随时间变化的函数的图像，图3。3-1(2)表示高台跳水

运动员的速度随时间变化的函数的图像．

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度随时间的增加而增加,即是增函数．相应地,．

（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度随时间的增加而减少,即是减函数．相应地,．

2．函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．

如图3。3-3，导数表示函数在点处的切线的斜率．在处，,切线是“左下右上”式的，这时，函数

在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减．

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间内，如果,那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减．

说明：(1）特别的，如果，那么函数在这个区间内是常函数．

3．求解函数单调区间的步骤：

（1）确定函数的定义域；（2）求导数;

（3）解不等式，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式，解集在定义域内的部分为减区间．

三．典例分析

例1．已知导函数的下列信息:

当时，；

当，或时,；

当，或时，

试画出函数图像的大致形状．

解：当时，，可知在此区间内单调递增;

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当,或时,;可知在此区间内单调递减；

当，或时，,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点"．

综上，函数图像的大致形状如图3.3—4所示．

例2．判断下列函数的单调性，并求出单调区间．

（1）；（2）

（3）；(4）

解：（1）因为，所以，

因此,在R上单调递增，如图3.3-5（1）所示．

(2）因为，所以，

当，即时，函数单调递增；

当，即时,函数单调递减;

函数的图像如图3。3-5（2）所示．

（3）因为，所以，

因此,函数在单调递减，如图3.3—5（3）所示．

（4）因为，所以．

当，即时，函数；

当，即时，函数；

函数的图像如图3.3-5（4）所示．

注：（3)、(4）生练

例6如图3.3-6，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器

中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图像．

分析：以容器（2）为例，由于容器上细下粗,所以水以常速注入时，开始阶段高度增加得慢，以后

高度增加得越来越快．反映在图像上,(A）符合上述变化情况．同理可知其它三种容器的情况．

解：

思考:例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢．结合图像，

你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗?

一般的，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化的快，这时,

函数的图像就比较“陡峭”;反之，函数的图像就“平缓”一些．如图3。3-7所示，函数在或内的

图像“陡峭”，在或内的图像“平缓"．

例7求证：函数在区间内是减函数．

证明：因为

当即时，，所以函数在区间内是减函数．

说明：证明可导函数在内的单调性步骤：

(1）求导函数；

（2)判断在内的符号；

（3）做出结论：为增函数，为减函数．

例8已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

解：，因为在区间上是增函数，所以对恒成立，即对恒成立，解之得：

所以实数的取值范围为．

说明：已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系：即

“若函数单调递增，则；若函数单调递减，则”来求解，注意此时公式中的等号不能省略,否则漏

解．

四．课堂练习

1．求下列函数的单调区间

1.f(x)=2x3－6x2+72.f(x)=+2x3。f(x)=sinx,x4。y=xlnx

2．课本P101练习

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五．回顾总结

(1）函数的单调性与导数的关系

（2）求解函数单调区间

（3）证明可导函数在内的单调性

六．布置作业

§1.3。3函数的最大（小）值与导数（2课时）

教学目标:

⒈使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端

点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；

⒉使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤

教学重点:利用导数求函数的最大值和最小值的方法．

教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．

教学过程：

一．创设情景

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质．也就是

说，如果是函数的极大（小）值点，那么在点附近找不到比更大（小）的值．但是,在解决实际问题或研究

函数的性质时，我们更关心函数在某个区间上，哪个至最大，哪个值最小．如果是函数的最大（小）值，

那么不小(大）于函数在相应区间上的所有函数值．

二．新课讲授

观察图中一个定义在闭区间上的函数的图象．图中与是极小值，是极大值．函数在上的最大

值是，最小值是．

1．结论：一般地，在闭区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，那么函数在上必有最大值与最小

值．

说明：⑴如果在某一区间上函数的图像是一条连续不断的曲线，则称函数在这个区间上连续．（可

以不给学生讲)

⑵给定函数的区间必须是闭区间，在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如函数在

内连续，但没有最大值与最小值；

⑶在闭区间上的每一点必须连续，即函数图像没有间断,

⑷函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．(可以不给

学生讲)

2．“最值”与“极值”的区别和联系

⑴最值”是整体概念，是比较整个定义域内的函数值得出的，具有绝对性；而“极值”是个局部概

念，是比较极值点附近函数值得出的，具有相对性．

⑵从个数上看,一个函数在其定义域上的最值是唯一的；而极值不唯一；

⑶函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有一个

⑷极值只能在定义域内部取得，而最值可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的

未必有极值;极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．

3．利用导数求函数的最值步骤：

由上面函数的图象可以看出,只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就

可以得出函数的最值了．一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值;

⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，

得出函数在上的最值

三．典例分析

例1．（课本例5）求在的最大值与最小值

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解：由例4可知，在上，当时，有极小值，并且极小值为，又由于，,因此，函数在的最大值是4,

最小值是．

上述结论可以从函数在上的图象得到直观验证．

四．课堂练习

1．下列说法正确的是()

A。函数的极大值就是函数的最大值B。函数的极小值就是函数的最小值

C.函数的最值一定是极值D。在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y=f（x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′（x）()

A。等于0B.大于0C.小于0D。以上都有可能

3．函数y=，在[－1，1］上的最小值为（)

A.0B。－2C。－1D.

4．求函数在区间上的最大值与最小值．

5．课本练习

五．回顾总结

1．函数在闭区间上的最值点必在下列各种点之中：导数等于零的点,导数不存在的点,区间端点；

2．函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件；

3．闭区间上的连续函数一定有最值；开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的

极值,则此极值必是函数的最值

4．利用导数求函数的最值方法．

六．布置作业

§1。4生活中的优化问题举例（2课时）

教学目标：

1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用，提高将

实际问题转化为数学问题的能力

教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题．

教学过程：

一．创设情景:生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通

过前面的学习,我们知道,导数是求函数最大（小)值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生

活中的优化问题．

二．新课讲授：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题,主要有

以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有

关的最值问题；4、效率最值问题.

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并

确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.

再通过研究相应函数的性质,提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的

工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题用函数表示的数学问题

解决数学模型

作答

优化问题的答案用导数解决数学问题

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三．典例分析

例1．汽油的使用效率何时最高

我们知道，汽油的消耗量（单位：L）与汽车的速度（单位：km/h）之间有一定的关系，汽

油的消耗量是汽车速度的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题:

（1）是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？

（2）“汽油的使用率最高"的含义是什么?

分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用表

示每千米平均的汽油消耗量,那么，其中,表示汽油消耗量（单位:L)，表示汽油行驶的路程(单位：

km)．这样,求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求的最小值的问题．

通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究,

人们发现，汽车在行驶过程中,汽油平均消耗率

（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的

平均速度(单位：km/h)之间有

如图所示的函数关系．

从图中不能直接解决汽油使用效率最高的问题．因此,我们首先需要将问题转化为汽油平均消

耗率（即每小时的汽油消耗量，单位：L/h）与汽车行驶的平均速度（单位:km/h)之间关系的问题，

然后利用图像中的数据信息，解决汽油使用效率最高的问题．

解：因为

这样，问题就转化为求的最小值．从图象上看,表示经过原点与曲线上点的直线的斜率．进一步发

现，当直线与曲线相切时，其斜率最小．在此切点处速度约为90．

因此，当汽车行驶距离一定时，要使汽油的使用效率最高，即每千米的汽油消耗量最小，此时的车

速约为90．从数值上看，每千米的耗油量就是图中切线的斜率,即，约为L．

例2．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和

扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定

长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比

特（bit)。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于,每比特所占用的磁道长度不得小于。为了

数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.

问题：现有一张半径为的磁盘，它的存储区是半径介于与之间的环形区域．

（1）是不是越小,磁盘的存储量越大？

（2）为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息）？

解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于与R之间,由于磁道之间的宽度必需大于，且最外面的磁道不存储任何信

息，故磁道数最多可达.由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装

满,即每条磁道上的比特数可达.所以，磁盘总存储量

×

（1）它是一个关于的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是越小,磁盘的存储量越大．

（2）为求的最大值，计算．

令，解得

当时,；当时,．

因此时，磁盘具有最大存储量。此时最大存储量为

例3．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？

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（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】:某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是分，其中

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的

瓶子的最大半径为6cm

问题：(１)瓶子的半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大？

(２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解:由于瓶子的半径为，所以每瓶饮料的利润是

令解得（舍去)

当时，；当时,．

当半径时，它表示单调递增，即半径越大，利润越高；

当半径时，它表示单调递减,即半径越大，利润越低．

（1）半径为cm时，利润最小，这时，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润

是负值．

（2）半径为cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知:当时,,即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等;当时，利润才为正

值．

当时，，为减函数，其实际意义为:瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径

为cm时，利润最小．

说明：

四．课堂练习

1．用总长为14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一边比另一边

长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积．（高为1.2m,最大容积)

5．课本练习

五．回顾总结

1．利用导数解决优化问题的基本思路：

建立数学模型

优化问题用函数表示的数学问题

解决数学模型

作答

优化问题的答案用导数解决数学问题

2．解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据,建立与其相应的数学模型，再通过研究相应

函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决．在这个过程中,导数往往是一个有利的工具。

六．布置作业

§1.5。3定积分的概念

教学目标：

1。通过求曲边梯形的面积和汽车行驶的路程，了解定积分的背景；

2.借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念,能用定积分定义求简单的定

积分；

3.理解掌握定积分的几何意义．

教学重点：定积分的概念、用定义求简单的定积分、定积分的几何意义．

教学难点:定积分的概念、定积分的几何意义．

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教学过程：

一．创设情景

复习:

1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法,解决步骤：

分割→近似代替(以直代曲)→求和→取极限（逼近）

2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳,找出共同点．

二．新课讲授

1．定积分的概念

一般地，设函数在区间上连续，用分点

将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上任取一点，作和式：

如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。

记为：，

其中积分号,－积分上限，－积分下限,－被积函数，－积分变量,－积分区间，－被积式。

说明：（1）定积分是一个常数,即无限趋近的常数（时）记为，而不是．

（2)用定义求定积分的一般方法是：①分割:等分区间;②近似代替：取点;③求和：；④取极

限:

（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功

2．定积分的几何意义

从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线和曲线所围成的曲边梯形（如

图中的阴影部分)的面积，这就是定积分的几何意义。

说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，

在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号.

分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值。

考察和式

不妨设

于是和式即为

阴影的面积—阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）

思考:根据定积分的几何意义，你能用定积分表示图中阴影部分的面积S吗？

3．定积分的性质

根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：

性质1；

性质2(定积分的线性性质）；

性质3（定积分的线性性质）;

性质4（定积分对积分区间的可加性）

（1）；(2）；

说明：①推广：

②推广：

③性质解释：

性质4

三．典例分析

性质1

例1．利用定积分的定义，计算的值。

分析:令；

（１）分割

把区间n等分，则第i个区间为:，每个小区间长度为：;

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（２）近似代替、求和

取,则(３）取极限

.

例2．计算定积分

分析：所求定积分是所围成的梯形面积，即为如图阴影部分面积,面积为。即：

思考:若改为计算定积分呢?改变了积分上、下限，

被积函数在上

出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题)y

例３．计算定积分

分析：利用定积分性质有，

利用定积分的定义分别求出，，就能得到的值.

四．课堂练习

Ox

计算下列定积分12

1．

2．

3．课本练习：计算的值,并从几何上解释这个值表示什么？

五．回顾总结

1．定积分的概念、用定义法求简单的定积分、定积分的几何意义．

六．布置作业:P503、5

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第二章推理与证明

合情推理

掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念。

感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感。

●教学重点：归纳推理及方法的总结。

●教学难点：归纳推理的含义及其具体应用。

●教具准备：与教材内容相关的资料。

●课时安排:1课时

●教学过程:

一。问题情境

(1)原理初探

①引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球!”

②提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？

③探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？

从而引入两则小典故：(图片展示—阿基米德的灵感)

A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？

B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？

正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想,然后小心求证，终于发现了伟大的

“杠杆原理”。

④思考：整个过程对你有什么启发?

⑤启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察,也离不开猜

想和证明”。

观察猜想证明

归纳推理的发展过程

（2）皇冠明珠

追逐先辈的足迹，接触数学皇冠上最璀璨的明珠—“歌德巴赫猜想”。

链接:

世界近代三大数学难题之一。哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690

5+13,....等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。但验格的

年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士。1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的

数学证明尚待数学家的努力。从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。思考：其他偶数是否也有类似的规律？200年过去

偶数都是两个素数（只能被和它本身整除的数）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742

了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的③讨论:组织学生进行交流、探讨。“明珠”。到了20世纪20年代，才

年6月7日哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何

有人开始向它靠近。④检验:2和4可以吗？为什么不行1920年、挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大的?

一个≥6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。(b)任何一个≥9之奇数，都可以表示成三个

偶数都可以表示为（⑤归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点。99）。这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数

奇质数之和。

里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了3