逻辑代数初步

11.1二进制及其转换1．理解二进制计数法，了解数位和基数的概念，会进行二进制数与十进制数间的换算．2．理解二进制数加法和乘法的运算规则，会进行简单的二进制数加法和乘法运算．二进制的概念、二进制数与十进制数的相互换算．二进制数与十进制数的相互换算十个数码符号(或叫数码)放到相应的位置来表示数，如3135．数码符号在数中的位置叫做数位.计数制中,每个数位上可以使用的数码符号的个数叫做这个计数制的基数．十进制的每一个数位都可以使用十个数码符号(或叫数码)，因此，十进制的基每个数位所代表的数叫做位权数．十进制数的进位规则为“逢10进位1”．位权数如表整数部分整数部分小数点第3位第2位第1位起点位置位权数十进制数的意义是各个数位的数码与其位权数乘积之和．例如将361200用各个数位的数码与其位权数乘积之和表示在电路中，电子元件与电路都具有两种对立的状态．如电灯的“亮”与“不亮”，电路的“通”与“断”，信号的“有”和“无”．采用数码0和1表示相互对立的两种状态十分方便，因此，在数字电路中普遍采用二进制．整数部整数部分小数点位置……第3位第2位第1位起点位权数的意义是表将这些数字计算出来，就把二进制数换算成了十进制数．为区别不同进位制的数,通常用下标指明基数．如(100)2表示二进制中的数，(100)10表示十10由上面的计算知(1100100)=(10010【注意】10将下列二进制数转换成十进制数：将十进制数换算为二进制数，其实质是把十进制数化成2的各次幂之和的形式，并且各次具体方法是：不断用2去除要换算的十进制数，余数为1，则相应数位的数码为1；余数为0，则相应数位的数码为0．一直除到商数为零为止．然后按照从高位到低位的顺序写出换例2将十进制数(97)换算为二进制数读数方读数方向读数方向263一余1余0余0余0余0余1余1个个个所以(97)=(126+125+024+023+022+021+120)=(1100001)10102.例3将十进制数(84)换算为二进制数252一余0余0余1余0余1余0余1个个个25位2.所以(84)=2.将下列十进制数转换成二进制数：(1)(45)(2)(89)课时作业几个常用联结词的意义及条件判断几个常用联结词的意义晴天”等等具有判断性的话，你还能举一些例子吗？数学中的命题逻辑就是研究判断的，我们首先从命题入手能够判断真假的语句叫做命题。正确的命题称为真命题，并记它的值为“真”。错误的命题称为假命题，并记它的值为“假”。下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？如果是命题，指出它是真命题还是假命题。(1)2>5。(2)x+y=1。(3)如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。(4)你吃过午饭了吗？(5)火星上有生物。(6)禁止吸烟！(7)平行四边形的两组对边平行且相等。(8)今天天气真好啊！(9)在同一平面内的两条直线，或者平行，或者垂直。(1)(3)(5)(7)(9)是命题，其中(3)(7)是真命题，(1)(9)是假命题，(5)到目前为止还无法确定真假，但就命题本身而言是有真有假的，之所以无法真假，是因为人类的认识水平还不够，(2)(4)(6)(8)是假命题。q:如果一个三角形的两个内角相等，那么这个三角形是等腰三角形。解决：命题p是假命题，命题q是真命题。注：将一些简单命题要联结词联结，就构成复合命题“非”——设p是一个命题，则p的非(又称为否定)是一个新的命题。记作?p真真假例1：写出下列命题的非命题，并判断其真假(1)p：2+3=6。(2)q：雪是白的。(3)r：不存在最大的整数。(4)p：2>3(2)q:雪不是白的，它是一个假命题(3)p：存在最大的整数，它是一个假命题“且”——设p，q是两个命题，则“p且q”是一个新命题。记作p∧q真真假真假真真假假q(1)p：雪是黑的；q：太阳从东方升起。解：(1)p^q：雪是黑的且太阳从东方升起，它是一个假命题(3)p^q：60是3的倍数且是5的倍数，它是一个真命题注：用“且”连接的命题真假判断时是：同真为真，有一假为假“或”q值关系吗？并举例说明。真真假真假真真假假(1)p：雪是黑的；q：太阳从东方升起。解：(1)pq：雪是黑的或太阳从东方升起，它是一个真命题(3)pq：60是3的倍数或是5的倍数，它是一个真命题注：用“或”连接的命题真假判断时是：同假为假，有一真为真.学时诊断:(3)p:2是有理数q:2是无理数(4)p:y=x2是R上的增函数q:y=x2是R上的减函数拓展深化问题4：某单位招工的基本条件是“笔试合格，从事相关工作2年以上”，符合基本条件的人就可以参加面试。如果用p表示“笔试合格”，命题q表示“从事相关工作两年以上”，那么参加面试的条件用复合命题如何表示？问题5：评选优秀干部的条件是：每门科目成绩都合格，担任班干部或者团干部。如果那么评选优秀干部的条件用复合命题如何表示？精炼:命题的是()A.语文或数学其中正确的命题是()A.0B.1C.2D.3(1)p:6是自然数,q:6是偶数;q(4)p:两直线平行,同位角相等,q:两直线平行内错角相等7.判断下列命题中是否含有逻辑联结词“且”、“或”、“非”，若含有，请指出其中(1)菱形的对角线相互垂直平分;:1.理解逻辑变量的概念及三种基本的逻辑运算．2了解逻辑运算的优先次序．学习重点:种基本的逻辑运算．学习难点:念．过程探究:ABS如下(如表11合上合上合上合上灭亮亮亮可以看到，电灯S是否亮，取决于开关A、B的状态，它们之间具有因果逻辑关系．逻辑代ABS字母A，B，逻辑变量只能取值0和1．需要说明的是，这里的值“0”和“1”，不是数学中通常表示数学概念的0和1，而是表示两种对立的逻辑状态，称为逻辑常量．在具体问题中，可以一种状态为“0”，与它相反的状态为“1”．规定开关“合上”为“1”，“断开”为“0”；“灯亮”为“1”，“灯灭”为“0”，则AA00B000在开关相并联的电路(如图11－1)中，开关A与开关B至少有一个“合上”时，电灯S就“亮”．我们将这种逻辑关系叫做变量A与变量B的逻辑加法运算(“或”运算)，并把S叫做A00B00例1,写出下列各式的运算结果学时诊断:写出下列各式的运算结果观察两个开关相串联的电路(如图4-2)，当开关A和开关B同时合上时，电灯P才会亮．A0B000学时诊断:写出下列各式的运算结果观察开关与电灯相并联的电路(如图11-3)．当开关A合上时，电灯灭；当开关A断开时，我们把这种逻辑关系叫做变量A的逻辑非运算，并把D叫做A的逻辑非，记作D=A．其01A【注意】学时诊断:AA+BAB00000ABAB+=D010100AB精炼::1.理解逻辑式及真值表的概念2.能够进行逻辑式与真值表互化3.了解等值逻辑式的含义,能够用真值现场采访验证等值逻辑式学习重点:逻辑式的运算及逻辑式对应的真值表学习难点:逻辑式与真值表的互化过程探究:由常量1、0以及逻辑变量经逻辑运算构成的式子叫做逻辑代数式，简称逻辑式．例如 等都是逻辑式．这里我们把表示常量的1和0及单个变量都看作是逻辑式．逻辑运算的优先次序依次为“非运算”，“乘运算”，“加运算”．比如D=AB+C的运算顺序应A，再计算AB，最后计算AB+C．对于添加括号的逻辑式，首先要进行括号内的学时诊断:逻辑代数式与普通代数式有什么异同？将各逻辑变量取定的一组值代入逻辑式，经过运算，可以得到逻辑式的一个值(0或1)．例AA00B0000:真值表必须列出逻辑变量所有可能取值所对应的函数值．两个逻辑变量有22=4种可能取如果对于变量A、B、C的任何一组取值，两个逻辑式的值都相同，这样的两个逻辑式叫做等值逻辑式，等值逻辑式可用等号“=”连接，并称为等式，如(A+B)C=AC+BC．需要注意，这种相等是状态的相同．(2)AB+AB=(A+B)(A+B)．分析真值表的行数取决于逻辑变量的个数，题目中有两个逻辑变量，真值表有四行．解(1)列出真值表：AA+B0A0B00000000000000ABAB相同，所以A+B=AB．(2)列出真值表AA+B0111A00B0000000000000ABAB(A+B)(A+B)的值都相同，所以AB+AB=(A+B)(A+B)．分析这个电路是开关A，B，C相并联的电路，三个开关中至少有一个“合上”时，电灯D就亮，所以使用逻辑加法．学时诊断:精炼::1.了解逻辑运算的运算律2.能能利用真值表验证运算律的正确性,利用运算律化简逻辑式学习重点:逻辑运算的运算律学习难点:用运算律化简逻辑式过程探究:根据常量的基本运算,不论逻辑变量A取1或0,你能得出下列各式的结果吗?A解决:普通代数有加、减、乘、除、乘法、开方等多种运算，但是逻辑运算只有三种基本运算．与普通代数相类似，逻辑代数也有许多运算律．现将常用的运算定律列表如下：(1)基本的“逻辑加”、“逻辑乘”、“逻辑非”运算定律(如表11-11所示)序号序号运算律序号运算律序号运算律(1)(4)()7(2)(5)()8(3)(6)()9(2)其他运算定律(如表11-12)运运算律名称交换律结合律分配律吸收率反演律序号(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)((10)上述运算律可以通过真值表进行验证．利用这些运算律可以化简逻辑式．化简逻辑式一般要完成下面几个步骤：(1)将被加项中的括号去掉；(2)使被加项的项数最少；(3)基本逻辑变量出现的次数最少．解(1)AB+B=(A+B)+B(反演律)(结合律)(基本运算律7)(结合律)(基本运算律7)学时诊断:精炼: (反演律) :1.理解逻辑函数最小项表达式的概念及获得函数的最小项表达式的方法．2,理解卡诺图的概念．能根据给定的逻辑函数,画出对应的卡诺图3.能根据给定的卡诺图化简对应的逻辑函数学习重点:逻辑函数的最小项及最小项的编号,获得逻辑函数最小表达式的方法学习难点:对最小项进行编号,将一个逻辑函数写成最小项的表达式过程探究:由三个逻辑变量，可以构成许多乘积项．其中有一类项具有如下的特征：(1)每一项只有3个因子，而且包含了全部的三个变量；(2)每个变量作为因子在各项中只出现一次．具备这两个特征的项叫做这三个逻辑变量的逻辑函数的最小项．ABC十进制数，作为该项的下标．列表如下(如表11-13)：赋值赋值最小项的编号最小项一般地，n个逻辑变量，可以构成2n个最小项．利用真值表可以验证，最小项具有下面的性质(以三个自变量为例)：(1)所有的最小项相加，其和为1．即m+m+m+m+m+m+m+m=1．01234567(2)任意两个最小项的积都是0.如(3)只有一个因子不同的两个最小项，叫做逻辑相邻的最小项．可以消去一个因子，合并成一项．例如m+m=ABC+ABC=AB(C+C)=AB.1=AB．67(4)任意一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和形式，叫做最小项表达式(“与?或”表达式)．例如f(A，B，C)=ABC+ABC+ABC=m+m+m．247为了获得函数的最小项表达式，首先要将逻辑函数展开成“逻辑和”与“逻辑积”的形式(“与?或”表达式)，然后将因子不足的项进行配项补足．例1将逻辑函数f(A,B,C)=AB+BC+ABC表示为最小项表达式．解f(A，B，C)=AB+BC+ABC=AB(C+C)+(A+A)BC+ABC学时诊断:1.将逻辑函数f(A，B，C)=AB+ABC+AB表示为最小项表达式．2.将下列各逻辑函数表达式表示为最小项表达式：利用运算律来化简逻辑函数表达式，需要一系列的推导，一般是比较复杂的．实际中，这种化简过程可以利用“卡诺图”来完成．卡诺图是一张表，除了直接相邻的两个格称为相邻外，表中最左边一行的小方格与最右边一行的对应方格也称为相邻，最上面一行的小方格与最下面一行的对应方格也称为相邻的．就像我们把画有表格的纸卷成筒一样．将逻辑函数每个最小项用一个小方格表示，再将这些小方格进行排序，使得相邻的小方格中的最小项在逻辑上也是相邻的，这样的图形叫做卡诺图．下面是两个逻辑变量的卡诺图(如图11?5)：为了清楚地看出卡诺图与逻辑函数表达式之间的关系，我们将卡诺图画成下面的形式(图1?6)：AAAB01B0三个逻辑变量的卡诺图为(如图11-7)：k诺图，要画A01小项相对A编号与最小辑变量的卡格与一个最应，方格的项的编号相.学时诊断:画出下列各逻辑函数的卡诺图：(1)f(A，B，C)=ABC；(2)f(A，B，C)=AC．BC分析首先将逻辑函数用最小项表达式表示，然后画出卡诺图．Y=ABC+BC+ABC=m+m+m．462在三个逻辑变量的卡诺图中，将m4、m6、m2对应的小方格中填入“1”，其余位置填入“0”(如图)，得到已知函数卡诺图．:辑函数的最式，可以画