曾谨言《量子力学导论》课后习题解答

第一章量子力学的诞生

co,x<0,x>a

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，V(x)=/

0,0<x<a

试用deBroglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有a=n--(〃=1,2,3,…)

2

A-2a/n(1)

又据deBroglie关系p=hJ九(2)

而能量

E=p2/2m=力2/2〃比2

h2n2乃②力1oo\⑶

=~~r5=1,2,3,…)

2m-4a2ma

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿轴三个方向的运动

分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

^px-dx=nxh,(%=1,2,3,…)

即px-2a-nxh(2a：一来一回为一个周期)

px-nxh/2a,

同理可得，p、=n、h/2b,p.=n.h/2c,

nx,ny,n.=1,2,3,…

（2M22、

厂1/222\71~

粒子能量E（；Y）区+0+区

=-2mPL+P乙+P叩1=--2m-a2b-c2

\7

nx,ny,n.=1,2,3,•••

L3设质量为加的粒子在谐振子势=中运动，用量子化条件求粒子能量£的可能取值。

2

提示：利用《p.dx=nh,n=p=yj2m[E-V(x)]

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为

|x|<a(1)

2

其中。由下式决定：E=VM\xa=^mtoa\

山此得a-mco1(2)

x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

+a+a__________

①，

,P-dx=2-gm2)dx=2mco2-x?dx

-a-a

2m①a2•—=mcoTia'=nh

2

加2nh2方"

得a=-------=——(3)

mcojimco

代入(2),解出

En=ntico,〃=1,2,3,…(4)

积分公式：fyja2-u2du=—yla2-u2+—arcsin—+c

J22a

1.4设一个平面转子的转动惯量为/,求能量的可能取值。

提示：利用=〃=1,2,…，是平面转子的角动量。转子的能量E=p；/2/0

解：平面转子的转角（角位移）记为9。

它的角动量（广义动量），是运动惯量。按量子化条件

『p/x=2乃p“=〃也加=1,2,3,…

...P<p=mh,

因而平面转子的能量

22

Em=pl/2I=mti/2I,

m=1,2,3，•一

第二章波函数与Schrbdinger方程

2.1设质量为他的粒子在势场V。）中运动。

（a）证明粒子的能量平均值为E=口3广。，

方2*,

co=——v〃〃+(能量密度)

2m

dwc_八_ti2(di//*di//*1―^金、

（b）证明能量守恒公式—+V-5=0s=--一-----H--------V</(能流伯度)

dt2mdtdtJ

证：（a）粒子的能量平均值为（设“已归一化）

力2

EV2+Vwd”=T+V(1)

2m7

V=（势能平均值）(2)

T-Jd〉/（动能平均值）

2m)

2

2m,

其中了的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此

_力2

T=——\dEa(3)

2mJ

力2**

结合式（1）、（2）和（3）,可知能量密度G=—▽夕•▽夕+〃丫收，（4）

2m

且能量平均值£=pV（yo

（b）由（4）式，得

四=以1处.v〃++皿丫〃+“V叱

dt2mdtdtdtdt

上V.吆V〃+至V/-叱寸w+也寸w*+任Lv…*v也

2mdtdtdtdtdtdt

_\/\人

=7K+E—pCp：几率密度)

dt

=-Vi（定态波函数，几率密度夕不随时间改变）

所以

2.2考虑单粒子的Schrodinger方程

法f-沙亿。=一4▽V(^0+k(尸)+也(r)k(rj)

(1)

ot2m

K与匕为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

(b)证明粒子在空间体积T内的几率随时间的变化为

万川"〃〃二一诉!\\i//vy/-i/A/i//yas4-―

rS力T

证：(a)式(1)取复共桅,,得

力2,、

--21

/=----V^4-(Vj-iV2\/(2)

dt2m

w*X(1)-1//X(2),得

衅(""b=('*?/一四?夕*)+2i/V即

--^―V•(夕’▽—一四1//)+2iV“i//

••Q)=一+与("*")(3

即空+▽•:2匕“、

dtJi

此即儿率不守恒的微分表达式。

(b)式(3)对空间体积7积分，得

=-白JJR•城v"一四"'+1JjpVv,(^v)

rr

v

=-齐g(“'w-四八S"JJpVv2^V

ST

上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体枳7■的几率(==-由了•dS),而第二项代表体积7中“产

生”的几率，这一项表征几率(或粒子数)不守恒。

2.3设内和沙？是Schrodinger方程的两个解，证明

修,]*(>/阪)(尸/)=0。

atJ

dll/,「力22'

证：・・・法卫二-----V2+V5(1)

dtIImJ1

请除=(一[e+”k

(2)

dty2mJ

取(1)之复共瑰：—ih|--^―V24-V〃:

(3)

dtI2mJ1

i//2X(3)一〃；X(2),得

一清一袅一初之)

对全空间积分：

_法£jd〉V；(尸")”2(7，0=_"："2步J

atJ2mJ

=一答W>[v.(忆▽〃:一〃;V匕)一(v%).(▽〃；)+(▽〃；)•(V%)]

2m,

=—答口>[▽.(%▽%*一%*\7匕)]

2m,

-g—J(忆V”；一〃；V匕)=0,(无穷远边界面上，心"?-0)

：小/)=。。

即

2.4)设一维自由粒子的初态〃(x,0)=eE"",求〃(xj)。

唔

解:科(xj)=e

2.5设一维自由粒子的初态"(x,0)=8x),求M(x,"2。

+00+00

2

提示：利用积分公式jcose""jsin(^)c/^=7^/2

-00-00

+00

或JexpML=正exp[zR4]o

-00

[-too

解：作Fourier变换：=73J次P¥""'dP'

1+C0C[+oo]

ipxlt,ipxlh

9(P)=-yL=\(p(xS))e-dx=-yL=[3{x}e-dx=-4=,

(,E-p2121n)

(指数配方)

+<X>

]gnvc212Mitmx.

p----dp

2万力2mtit)

-00

令r,则

2.6设一维自由粒子的初态为〃(x,0),证明在足够长时间后,

imxmx

W(x,t)=—exp[-z^-/4]exp■(P\

ht~2htht

]+x

式中(p(k)=.——dx是.(x,0)的Fourier变换。

X

提示：利用lim6)(x)o

aTOO

证：根据平面波的时间变化规律

*93-E/h=hk12m,

任意时刻的波函数为

“(X")=~jL=「MOe'Ql必/2m)成

J2乃

2

1imx212tu

(1)

当时间足够长后(所谓8),上式被积函数中的指数函数具有b函数的性质，取

a=ht/2m,(2)

参照本题的解题提示，即得

(3)

(4)

物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为女=，/x/初，即

x^hkt/m,强度8帆⑹2,因子切而描述整个波包的扩散，波包强度8I"。

设整个波包中最强的动量成分为球0,即女=心时帆伏片最大，由(4)式可见，当，足够大以后，附2的最

大值出现在切必价=心处，即x=M(〃加处，这表明波包中心处波群的主要成分为篙。

2.7写出动量表象中的不含时Schriidinger方程。

2

解：经典能量方程-+V(r)。

2m

在动量表象中，只要作变换pfp,—

dp

所以在动量表象中，Schriidinger为：

:+V卜方:材(p)=E〃(p)。

2mIdpJ

第三章一维定态问题

3.1)设粒子处在二维无限深势阱中，

V(x,y)一］°，0<x<a,0<y<b

'=卜0,其余区域

求粒子的能量本征值和本征波函数。如。=b,能级的简并度如何？

解：能量的本征值和本征函数为

%,=喙的+.)

2.7m、x.勿

=r=sin——sin——n,n=1,2,…

"入aab*x*J

2

若则4"，=犷(〃:+〃;)

2.7uix.如y

„=—sin——xsin——v

''aaa

这时，若〃则能级不简并;若aw〃,则能级一般是二度简并的（有偶然筒并情况，如%=10,〃、,=5

**JaJvAy

与〃.r=1l,nv=2)

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

0,

V(x,y,z)=0<x<a,0<y<b,0<z<c

00,其余区域

求粒子的能量本征值和本征波函数。如a=z?=c,讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为

E=—(4+4+4

2ma2b2c2

nx,ny,n.=1,2,3,…

当a=b=c时，

方2万2

E(〃：+〃；+Y)

nnn2ma~

.mx.叫y.7m.y

wsin——xsin-;—sin——

nxnyna

nx=ny=〃：时，能级不简并;

三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。

%,〃v，〃：三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

52+62+82=32+42+102(1,7,9)->(1,341)

如<

102+122+162=62+82+202(1,5,10)->(3,6,9)

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，

VHy）」。，0<…

[oo,x<0,x>a

证明处于定态〃“（x）的粒子

-a6

(x-x)2=—(1

X~2,-2"""2)

12nTV

讨论“f00的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数

(、f2.nn

-“(x)=J-sin——x.

Vaa

2

-rII,2r.2n7r分部a

x=])x\i//n|ax=—yxsin——xdx^=—(1)

-2?一4

(x-X)=X-x=2dx上

4

2

21,,2nma

x­—(1-cos----)dx----

2a4

—121(1——n2—7C2)(2)

在经典情况下，在（o,。）区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改

变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于xfx+dx范围的几率为%,故

_________22

-2—2_aa

(X-X)=X-X=-----(4)

34

当n38时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中,

0,\x\<a/2

V(x,y)=<

00,\x\<aj2

处于基态5=1）,求粒子的动量分布。

[271X

解：基态波函数为=J-COS一，(参P57,(12))

Vaa

“、1%JP%2m,

.•.，(〃)=---~.e/h-—cos—dx

/^AVaa

悭e4%

而1%2(

1pa1pa

cos——4-----cos

wp2方7T2ti

+p

hah

pa

cos2—

万2力2_a2p22%

动量的几率分布p（p）=M（p）/=（产）八，cos2烂

\7T2h2-a2p2）2方

3.5）设粒子处于半壁高的势场中

oo,x<0

V（x）=<-Vo,0<x<a(1)

0,x>a

求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。

解：分区域写出s.eq:

〃；(x)+k'2〃i(x)=0,0<x<a

(2)

以(x)-kM(x)=°，x>a

其中片2=#匕+矶2/zE

k2(3)

n

方程的解为=(4)

W2(x)=C*+De*

根据对波函数的有限性要求，当X-8时，〃2（万）有限，则

c=o

当x=0时，的(x)=0,则A+8=0

%(x)=FsinZ:x,0<x<a

于是(5)

夕2(x)=0e*,x>a

在x=〃处，波函数及其一级导数连续，得

110

Fsinka=De-,k'Fcosk'a=-kDe』(6)

上两方程相比，得(7)

即(79

若令k'a=百,ka=t](8)

则由(7)和(3),我们将得到两个方程：

7=gctgg(9)

小〃=爷。2(10)式是以

(10)

n

r=，2〃匕/力2a为半径的圆。对于束缚态来说，-%<E<0,

结合(3)、(8)式可知，&和〃都大于零。(10)式表达的圆与曲线77=-1小4在第象限的交点可决定束缚

态能级。当尸2万/2,亦即

〃匕/2后方2小(11)

时，至少存在一个束缚态能级.这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3-6)求不对称势阱中粒子的能量本征值。

解：仅讨论分立能级的情况，即0<E<%,

_2/n(V-E)

~~h▽

dx‘

当x—>±oo时，〃一>0,故有

,4个,x<0,k[=/2m(y「E)/h

i//Asin(乙+5),0<x<a,k-yjlmE/h(b<万)

a<x,k2=仅2-♦)/方

由"In/在x=。、x=。处的连续条件，得

k、=kctgb,k2=-kctg(ka+6)(1)

由(la)可得(2)

由于匕，右,女皆为正值，故由(1b),知履+6为二，四象限的角。

因而)土-,加

sin(hz+6=(3)

J2叫

又由（1）,余切函数（erg）的周期为万，故由（2）式,

6=n^+sin-1(4)

.Thk

由(3),得kci+b=n兀--sin/⑸

yl2mV2

..ifikhk

结合(4),(5),得ka=n27r--n乃一sin7—

’2机匕

hk._ihk

(6)

，2叫7121nV2

n=1,2,3,…

一般而言，给定一个〃值，有一个解心，相当于有一个能级:

EX

(7)

"2m

a-yj2mV2

当匕=匕时，仅当

力

才有束缚态故匕，匕给定时，仅当(8)

时才有束缚态（若匕=匕=丫，则无论V和。的值如何，至少总有一个能级）

当匕，匕，。给定时,山（7）式可求出〃个能级（若有〃个能级的话）。相应的波函数为:

hkknx

x<0,kln=J2m化-砌/力

匕="A“sin(k“x+2),0<x<a,

A㈠产要-e-),X>a,k=y]2m(V-E)/方

(2〃M2n2

其中A“=j2/(a+%+“&)

3-7）设粒子（能量E〉0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

一%,x<0,

解：势阱为V(x)=<

0,x>0.

在区域I上有入射波与反射波，在区域H上仅有透射波。故

%=Aeik'x+Be-ik'x,k,=J2〃?(％+E)/%

k-\l2mE/ft

y/2-Ce*"2

由%（0）=〃2（0），得A+B=Co

由%(0)=〃2(0),得k1(A—B)=k2co

从上二式消去c,得(&i一22)4=(&i+葭)B。

炉=优_七）2

反射系数

A*2（占+七）2

将匕，号代入运算，可得

22

_-VO/16E,E〉＞匕

R=______面=[1—47^,

(J%+E+

E«V0

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（1D）,证明

谐振子波函数满足下列关系

9一1。）+心〃|+-匕1,+1。）

x〃“(x)=一

a2

(x)=(〃-1腔2(x)+(2〃+1(X)+J(〃+l)(n+2M+2(x)]

并由此证明，在科“态下，x=0,y=En/2

证：谐振子波函数忆（x）=A,"i'72H“（ax）(1)

其中，归一化常数A“a=[m①伍(2)

H(ax)的递推关系为Hn+}(ax)-laxHn(czx)+2nHn_}(ax)-0.(3)

.e.xi//n(x)=A〃ea''?.xHn(ax)=—4〃6一'，/2.2axHn(ax)

2a

=7T-4产，2[Hn+l(ax)+2nHll_l(ax)]

2ax

1a：x22

e~nHn.(«%)+—•

a■n\〃T'/C2a

1

a

ej72.”向gx)

]〃“T(X)+J*n+k1+i(x)

ct2

〃+1

xV“(x)Zxw.T(x)+J^-xi^il+l(x)

〃+2

匕.2(X)+匕,(x)+-y-^»+2W>

—T]〃("l)〃"-2(x)+(2〃+1%,(x)+J("+lX〃+2"2(x)]

一X]

y=^,M--mco2x2-i//„Mdx

—co~

J2la~

~—ma)'--^-r-(2n+1)=—〃+；W=E“/2

22a2'72

3—9)利用Hermite多项式的求导公式。证明(参A3.式(12))

n+1

区k(x)=a山

dx

为.(x)=%[j〃(〃-1)%,_2一(2〃+1*“+J(〃+1/"+2K2]

叫”=2〃皿一皿)

证：A3.式(12)：H“④=2皿_必),

dx

~a'x'-H(ax)+e-a%'2.2naH_(ax)]

五%3=A"•卜以nlli

2

-axy/n(x)+后四(x)

-a,“a(x)+｛胃n+1k+i⑴+a•而匕(%)

aqn*1(x)-J㈠匕用(x)

%(x)=a72+2

—a亍夕〃+2

=y-/伍-1)喂-(2〃+1期“+J(〃+1X"+2限2]

〃"+1公=0

同•~_(2〃+1V„+J(〃++2K2\lx

若.(2〃+NwMdx也等(2〃+1)T〃+9。=f

3-10)谐振子处于〃“态下，计算

Ap=(p-p\",Ax-Ap=?

〃+；卜

—2VEn

解：由题3―6),x=0,X~2=2

mcomcoinco

由题3—7),p=0,p~-2niT=mEn-〃+—ynhco

<2J

对于基态，〃=0,Ar-Ap=〃2,刚好是测不准关系所规定的下限。

3-11)荷电q的谐振子，受到外电场£的作用，

V(x)=—ma)2x2-qsx(1)

求能量本征值和本征函数。

2[

解：H=-^—+—meo2x2-qsx=//-qsx

0(2)

2m2

a2x2/2

的本征函数为Wn=Ane-Hn(ax),

本征值62=(〃+3)方0

现将H的本征值记为本症函数记为(pn(x)。

式(1)的势能项可以写成V(x)=；/W—%)2-焉]

2

其中x0=qs/mco(3)

(4)

如作坐标平移，令x=x-xQ

由于p=-iti—=-ih—7=p(5)

dxdx

H可表成H——---1—m①2x、2—m(6)

2m220

（6）式中的“与（2）式中的“°相比较，易见”和"°的差别在于变量由x换成x,并添加了常数项

12

——ma>%o,由此可知

2

(7)

亿（X）=材〃（X）=〃〃。一/）(8)

即

2

IL12q£

E"n+—uiCD——mat-

2)2met)2

(9)

n+4”

nHmCD--------,n=0,1,2,…

2)2机/~

凡小-牟)(10)

LImcoJ

其中a=Jm。方(11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，

oo,x<0,

V（x）=h22n

—ma）~x,x>0.

12

求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入x<0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在x=0处为零。另一方面，在x>0的区

域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的“完全一样，粒子的波函数

和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n=2攵+1的奇宇称波函数在x=0处为零，因而这些波函数是

这一问题的解（n=2k的偶宇称波函数不满足边条件-（0）=0）所以

Ek=（2女+3/2）力④&=0,1,2,…

3—13）设粒子在下列势阱中运动,

oo,x<0,/、

/X(厂,4>0)⑴

{-ro[x-a),x>0.

是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

力2d2

解：S.eq:----------I//-r5{x-a)ii/-El//(2)

2m

对于束缚态(石<0),令尸=J_