2020年高校联合招收华侨港澳台学生考试数学试卷真题及答案详解

第1页（共1页）2020年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生入学考试数学（含答案与解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为（）A．32 B．31 C．16 D．152．（5分）设函数f（x）＝ln（3x+a），若f'（0）＝1，则a＝（）A．3 B．e C．ln3 D．13．（5分）设z＝，则＝（）A．5﹣3i B．﹣5﹣3i C．5+3i D．﹣5+3i4．（5分）设函数f（x）＝x2+x+c，若f（1），f（2），f（3）成等比数列，则c＝（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．65．（5分）离心率为的椭圆的焦距为2，则该椭圆的短轴长为（）A．1 B． C．2 D．46．（5分）设双曲线x2﹣y2＝4的焦点为F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横坐标为（）A． B．2 C． D．67．（5分）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（）A． B． C． D．8．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，AB＝2，PA＝，D为PC中点，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．9．（5分）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，则ab的最大值为（）A． B． C． D．10．（5分）函数f（x）＝lnx+的单调递增区间是（）A．（0，1） B．（，+∞） C．（0，e） D．（1，+∞）11．（5分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣sin2x，则f（x）的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣212．（5分）设点P1，P2，P3在⊙O上，若++＝，则∠P1P2P3＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）不等式组的解集为．14．（5分）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3的系数为．（用数字作答）15．（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝f（x+2），f（2）＝1，则f（20）＝．16．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，1，﹣1），则经过点A且与直线AB垂直的平面方程为．17．（5分）若多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，则a＝．18．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝m与椭圆2x2+3y2＝m+1有相同的焦点，则m＝．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）设函数f（x）＝．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的单调区间：（3）求f（x）在区间[1，5]的最大值和最小值．20．（15分）设△ABC的面积为10，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，sin2A＝sin2B+sin2C﹣sinBsinC．求A，b和c．21．（15分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：＜．22．（15分）经过点A（﹣2，4）且倾斜角为135°的直线与抛物线y2＝2px（p＞0）交于M，N两点，且＝λ，＝，λ＞0．求p和λ．2020年中华人民共和国普通高等学校联合招收华侨港澳台学生入学考试数学参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（5分）若集合A共有5个元素，则A的真子集的个数为（）A．32 B．31 C．16 D．15【分析】根据真子集个数的结论即可求解．【解答】解：∵集合A共有5个元素，∴A的真子集的个数为25﹣1＝31．故选：B．【点评】本题考查真子集个数的结论，属基础题．2．（5分）设函数f（x）＝ln（3x+a），若f'（0）＝1，则a＝（）A．3 B．e C．ln3 D．1【分析】先根据复合函数求导法则及导数公式求出导函数，再通过f'（0）＝1建立方程即可求解．【解答】解：∵f（x）＝ln（3x+a），∴f′（x）＝，又f'（0）＝1，∴，∴a＝3，故选：A．【点评】本题考查复合函数求导法则及导数公式，方程思想，属基础题．3．（5分）设z＝，则＝（）A．5﹣3i B．﹣5﹣3i C．5+3i D．﹣5+3i【分析】先化简复数z，再求，从而得解．【解答】解：∵z＝＝＝﹣5+3i，∴＝﹣5﹣3i．故选：B．【点评】本题考查复数的基本运算，属基础题．4．（5分）设函数f（x）＝x2+x+c，若f（1），f（2），f（3）成等比数列，则c＝（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【分析】根据根据等比数列的性质建立方程即可求解．【解答】解：∵f（x）＝x2+x+c，∴f（1）＝c+2，f（2）＝c+6，f（3）＝c+12，又f（1），f（2），f（3）成等比数列，∴f（1）f（3）＝[f（2）]2，∴（c+2）（c+12）＝（c+6）2，解得c＝6．故选：D．【点评】本题考查等比数列的性质，方程思想，属基础题．5．（5分）离心率为的椭圆的焦距为2，则该椭圆的短轴长为（）A．1 B． C．2 D．4【分析】根据题意建立a，b，c的方程组，再解方程组即可得解．【解答】解：∵椭圆的离心率e＝＝，又椭圆的焦距为2c＝2，∴c＝1，a＝2，∴b＝＝＝，∴该椭圆的短轴长为2b＝．故选：C．【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，方程思想，属基础题．6．（5分）设双曲线x2﹣y2＝4的焦点为F1，F2，点P在双曲线右支上，且∠F1PF2＝90°，则点P的横坐标为（）A． B．2 C． D．6【分析】设点P为（x，y），再根据题意建立方程组，最后解方程组即可得解．【解答】解：∵双曲线的方程为x2﹣y2＝4，∴a2＝b2＝4，∴c2＝a2+b2＝8，∴c＝，∴F1（，0），F2（，0），设P（x，y），根据题意可得：，解得x＝，∴点P的横坐标为．故选：C．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，方程思想，属基础题．7．（5分）从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张，其上数字和为偶数的概率是（）A． B． C． D．【分析】根据组合数公式，计数原理，古典概率的概率公式即可求解．【解答】解：从写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任选2张共有＝10个结果，而2张卡片上的数字和为偶数的条件为2个奇数或2个偶数，∴2张卡片上的数字和为偶数包含+＝4个结果，∴2张卡片上的数字和为偶数的概率是＝．故选：C．【点评】本题考查古典概率的概率公式，组合数公式及计数原理，属基础题．8．（5分）已知正三棱锥P﹣ABC，AB＝2，PA＝，D为PC中点，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A． B． C． D．【分析】由题意画出图形，求得棱锥底面面积，再求出棱锥的高，得到D到底面的距离，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，正三棱锥P﹣ABC中，AB＝2，则，设AC的中点为E，连接BE，则△ABC的中心O在BE上，且BO＝，又PA＝，∴三棱锥的高PO＝＝，∵D为PC中点，∴D到平面ABC的距离为，∴三棱锥D﹣ABC的体积为V＝．故选：A．【点评】本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．9．（5分）若a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，则ab的最大值为（）A． B． C． D．【分析】方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，根据基本不等式“和定，积有最大值”，，当且仅当4a＝3b时，等号成立即可得出答案；方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，则，令y＝ab，代入即可得到二次函数，即可得出答案．【解答】解：方法一：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，消去c得到4a+3b＝4，令a＞0，b＞0．则4a+3b≥，即，∴ab≤，当且仅当4a＝3b时，等号成立，故ab的最大值为．故选：C．方法二：由a+b+c＝4，3a+2b﹣c＝0，可消去c得到4a+3b＝4，则，令y＝ab，∴y＝，∴当b＝时，，故ab的最大值为．故选：C．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，解题时要注意“＝”成立的条件及使用基本不等式的条件，属于中档题．10．（5分）函数f（x）＝lnx+的单调递增区间是（）A．（0，1） B．（，+∞） C．（0，e） D．（1，+∞）【分析】先求函数的导函数f′（x），然后求解f′（x）＞0的解集即可得解．【解答】解：已知函数f（x）＝lnx+，则函数的定义域为：（0，+∞），则，令f′（x）＞0，解得x＞1，即函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞），故选：D．【点评】本题考查了导数的应用，重点考查了函数单调区间的求法，属基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝2sin2x﹣sin2x，则f（x）的最小值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣ D．﹣2【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦型函数，进一步利用余弦型函数性质的应用求出函数的最小值．【解答】解：函数f（x）＝2sin2x﹣sin2x＝＝1﹣2cos（2x﹣）；当（k∈Z），即x＝（k∈Z）时，函数的最小值为﹣1．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12．（5分）设点P1，P2，P3在⊙O上，若++＝，则∠P1P2P3＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【分析】根据已知条件，推得，即，再结合平面向量的数量积公式，即可求解．【解答】解：设＝r，∵++＝，∴，即，∴r2+r2+2×r×r×cos∠P1OP2＝r2，解得cos∠P1OP2＝，∴∠P1OP2＝120°，同理可得，∠P1OP3＝120°，∠P2OP3＝120°，∴△P1P2P3是等边三角形，∴∠P1P2P3＝60°．故选：C．【点评】本题主要考查平面向量的数量积公式，属于基础题．二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。13．（5分）不等式组的解集为{x|﹣4≤x＜﹣1}．【分析】由一元二次不等式的解法和集合的交集运算可得所求．【解答】解：由x2﹣2x﹣3＞0可得x＞3或x＜﹣1；由﹣x2﹣3x+4≥0可得﹣4≤x≤1．所以不等式组即为，解得﹣4≤x＜﹣1．故答案为：{x|﹣4≤x＜﹣1}．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查转化思想和运算能力，属于基础题．14．（5分）（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3的系数为﹣120．（用数字作答）【分析】先观察展开式中x3的特点，再求解即可．【解答】解：（x﹣3）（x﹣32）（x﹣33）（x﹣34）的展开式中x3的看作：（x﹣3），（x﹣32），（x﹣33），（x﹣34）中取3次x，取1次常数相乘得到，∴展开式中x3的系数为﹣3﹣32﹣33﹣34＝﹣3﹣9﹣27﹣81＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题主要考查二项展开式中特定项系数的运算，属于中档题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为R，且f（x）＝f（x+2），f（2）＝1，则f（20）＝512．【分析】由f（x+2）＝2f（x），根据自变量的关系，得到函数值的关系，逐步求解即可．【解答】解：∵f（x）＝f（x+2），∴f（x+2）＝2f（x），∴f（4）＝2f（2）＝2，∴f（6）＝2f（4）＝4，f（8）＝2f（6）＝8，f（10）＝2f（8）＝16，f（12）＝2f（10）＝32，f（14）＝2f（12）＝64，f（16）＝2f（14）＝128，f（18）＝2f（16）＝256，f（20）＝2f（18）＝512．故答案为：512．【点评】本题考查函数值的求法，找出规律是关键，属于中档题．16．（5分）在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B（1，1，﹣1），则经过点A且与直线AB垂直的平面方程为y﹣3z＝0．【分析】由已知可得＝（0，1，﹣3），设经过点A且与直线AB垂直的平面内任一点M（x，y，z），可得0×x+1×y+（﹣3）×z＝0，化简即可．【解答】解：∵A（1，0，2），B（1，1，﹣1），∴＝（0，1，﹣3），设经过点A且与直线AB垂直的平面内任一点M（x，y，z），则可得0×x+1×y+（﹣3）×z＝0，即y﹣3z＝0．故答案为：y﹣3z＝0．【点评】本题考查平面方程的求法，属基础题．17．（5分）若多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，则a＝2．【分析】根据整除的概念即可求解．【解答】解：∵x5+x3+2x2+a＝x3（x2+1）+2（x2+），又多项式x5+x3+2x2+a能被x2+1整除，∴，∴a＝2，故答案为：2．【点评】本题考查多项式整除问题，属基础题．18．（5分）已知双曲线x2﹣y2＝m与椭圆2x2+3y2＝m+1有相同的焦点，则m＝．【分析】确定椭圆、双曲线的焦点坐标，根据双曲线中三个系数a，b，c的关系求出m的值．【解答】解：∵2x2+3y2＝m+1，∴椭圆方程为，∴c2＝a2﹣b2＝＝，∵双曲线x2﹣y2＝m即为，双曲线与椭圆有相同焦点，∴2m＝，∴m＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了双曲线的性质和椭圆的标准方程．要记住双曲线和椭圆的定义和性质，是基础题．三、解答题：本题共4小题，每小题15分，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19．（15分）设函数f（x）＝．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的单调区间：（3）求f（x）在区间[1，5]的最大值和最小值．【分析】（1）解不等式﹣x2+5x+6≥0即可求解；（2）根据一元二次函数的单调性及复合函数的单调性即可求解；（3）由（2）中的结论数形结合即可求解．【解答】解：（1）∵f（x）＝，∴﹣x2+5x+6≥0，∴x2﹣5x﹣6≤0，∴﹣1≤x≤6，∴f（x）的定义域为[﹣1，6]；（2）∵一元二次函数y＝﹣x2+5x+6的开口向下，且对称轴为x＝，又x∈[﹣1，6]，∴根据复合函数的单调性可得：f（x）的单调增区间为[﹣1，]，单调减区间为[，6]；（3）由（2）可知f（x）在[1，]上单调递增，在[，5]上单调递减，∴f（x）的最大值为f（）＝，又﹣1＜5﹣，∴f（x）的最小值为f（5）＝，故f（x）在区间[1，5]的最大值为，最小值为．【点评】本题考查一元二次不等式的求解，一元二次函数的单调性，复合函数的单调性，属基础题．20．（15分）设△ABC的面积为10，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝7，sin2A＝sin2B+sin2C﹣sinBsinC．求A，b和c．【分析】由正弦定理化简已知等式可得b2+c2﹣a2＝bc，进而根据余弦定理可求cosA＝，结合范围0＜A＜π，可求A的值；由已知利用三角形的面积公式可求bc＝40，又由余弦定理可得b2+c2＝89，联立即可解得b，c的值．【解答】解：因为sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，所以b2+c2﹣a2＝bc，则cosA＝＝＝，因为0＜A＜π，所以A＝．因为△ABC的面积为10，所以bcsinA＝bc＝10，即bc＝40，①又因为由余弦定理可得：b2+c2﹣a2＝bc，a＝7，所以b2+c2＝89，②所以由①②联立解得b＝5，c＝8或b＝8，c＝5．【点评】本题考查三角形的正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21．（15分）设数列{an}的前n项和Sn＝2an﹣n．（1）求{an}的通项公式；（2）证明：＜．【分析】（1）由已知可得：an＝2