高考数学大题训练30

高考数学大题训练301．（本小题满分16分）（A）（四星高中学生做）第19题图yxOF1F2··已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于第19题图yxOF1F2··（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）点P的纵坐标为，过作动直线与椭圆交于两个不同点M、N，在线段MN上取点，满足，试证明点恒在一定直线上．19．解：（1）由题，，又因为从而得，所以椭圆E：………………………4分(2)设，，因为，所以，所以又因为且代入化简得……10分(3)设过P的直线l与椭圆交于两个不同点，点，则，．∵，∴设，则，∴，整理得，，∴从而，∴，所以点恒在直线上．…………………16分2（B）（三星高中及普通高中学生做）已知椭圆E：上任意一点到两焦点距离之和为，离心率为，左、右焦点分别为，点是右准线上任意一点，过作直线的垂线交椭圆于点．（1）求椭圆E的标准方程；（2）证明：直线与直线的斜率之积是定值；（3）证明：直线与椭圆E只有一个公共点．解：（1）（2）同（A）(3)由(2)知，直线的方程为，即，由得，化简得:，解得，所以直线与椭圆只有一个交点．………16分3．（本小题满分16分）（A）（四星高中学生做）设函数，．(1)记，若，求的单调递增区间；(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若在上存在一点，使得成立，求的取值范围.解：（1）当时，，此时，=3\*GB3③当，即时，在上单调递减，只需，得，又因为，所以，．综上所述，或．…………………16分4（B）（三星高中及普通高中学生做）设函数，．(1)记，若，求的单调递增区间；(2)记为的导函数，若不等式在上有解，求实数的取值范围；(3)若，对任意的，不等式恒成立．求的值.解：（1）（2）同（A）（3）当，．由恒成立知，恒成立，设．由题意知，故当时函数单调递增，则恒成立，因此，恒成立，记，由，知函数在上单调递增，在上单调递减，则，所以，又，所以．……………16分5.（本题满分16分）在函数的图象上有三点，横坐标依次是．yxooACAAyxooACAAA（第18题图）（2）求的面积的值域．解：，，所以；………4分（2）…8分………………12分，………………14分因为时，单调递减，所以．………………16分6.（本题满分16分）已知函数．（1）当时，解不等式；(2）若方程在恰好有两个相异的实根，求实数的取值范围（注：）；（3）当时，若在的最大值为，求的表达式．解（1）当时，，，解得或．………2分（2）由得，令，则，当时，．……………4分当时，，此时递增；当时，，此时递减；所以，…………6分又因为，，所以当时，恰好有两个相异的实根实数的取值范围为．……………8分（3）,令得，．……………10分当时，在上，所以在上递减，所以；当时，在上，所以在上递减；在上，所以在上递增；在上递减，，，（注：以上可简化）当时，解得或（舍去）．当时，；当时，．………14分所以．………16分7.（本题满分16分）已知函数．（1）求函数在点处的切线方程；（2）若函数在区间上恒为单调函数，求实数a的取值范围；（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．24.．（1）所以，，因为，所以，过点的切线方程为．………4分（2）当在恒成立时，在区间上恒为单调增．即，所以，而在上最小值为0,所以，，即．当在恒成立时，在区间上恒为单调减．即，所以，而在上最小值为12,所以，，即．所以，实数a的取值范围是或．…………10分（3）令，注意到，所求问题转化为对任意的恒成立．又，，．1°当时，，（等号不恒成立），∴在上为增函数，对任意的恒成立．2°当时，，∵，∴当时，，在上为减函数，于是，不合题意，舍去．综上所述，实数a的取值范围为．…………16分8.（本题满分14分）已知函数，是实数．（1）若函数有零点，求的取值范围；（2）当时，求函数的值域．.（1）函数的定义域为．…１分由函数有零点，即方程有非负实数解，…２分可得在上有解，…３分因为，所以，所以的取值范围是．………8分（2）当时，，，函数的值域为．………………14分9．（本题满分16分）工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预计产量每年递增10万只，投入次后，每只产品的固定成本为（为常数，）．若产品销售价保持不变，第次投入后的年纯利润为万元（年纯利润＝年收入－年固定成本－年科技成本）．⑴求的值，并求出的表达式；⑵问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？解：（1）由题意当n＝0时，g(0)＝8，可得k＝8．…………………2分所以，即，．……………8分（2）由，………………12分当且仅当，即n＝8时取等号，………14分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元．……16分10.（本题满分16分）设二次函数，方程的两个根、满足．(1)当x∈(0，x1)时，证明：x<f(x)<x1(2)设函数f(x)的图象关于直线x＝x0对称，证明：x0<．证明：(1)由于、是方程的两个根，则当时，有∴又∴即又由得∵又∴，∴即综上所述，．(2)∵∴变式训练4：设f(x)=3ax,f(0)＞0，f(1)