结构力学虚功原理和结构位移计算

结构力学虚功原理和结构位移计算现在是1页\一共有102页\编辑于星期四主要内容§4－2刚体体系虚功原理及其应用§4－3变形体结构位移计算一般公式§4－4荷载作用下的位移计算及举例§4－5图乘法§4－6温度作用时的位移计算

§4－7互等定理§4－8小结§4－1结构位移概念现在是2页\一共有102页\编辑于星期四§4-1结构位移概念1、工程结构在荷载作用、温度变化、材料收缩和支座移动等因素下：

结构的形状一般会发生变化-变形(或形变)

结构的截面位置会发生变化-位移(线位移或角位移)

(２)为超静定结构的内力分析打下基础．（３）为研究结构动力计算和稳定分析的打基础在结构的制作、架设、养护等过程中，往往需预先知道结构的变形情况，以便采取相应的措施（如图），以消除位移的影响2、结构位移计算的目的(1)验证结构的刚度现在是3页\一共有102页\编辑于星期四3、位移产生的原因（1）、结构内力应变结构上各点位置发生变化荷载作用变形（2）、结构非荷载作用温度改变、支座移动、材料涨缩、制造误差位移虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。现在是4页\一共有102页\编辑于星期四变形(deformation)－－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变；由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。1）、线位移

4、结构位移2）、角位移：3）、位移有“相对位移”与“绝对位移”之分。

上述各种位移统称为“广义位移”。与广义位移相对应的力称为“广义力”。水平线位移：H铅直线位移：V现在是5页\一共有102页\编辑于星期四在梁和桁架中，垂直方向位移称为挠度(deflection)在刚架中，结点水平方向位移称为侧移在超静定刚架中，荷载作用下，结点不仅有角位移，同时有侧移现象。如图示现在是6页\一共有102页\编辑于星期四4）、各种位移举例相对位移Relativedisplacement△CD=△C+△D绝对位移(Absolutedisplacement)现在是7页\一共有102页\编辑于星期四一般而言，位移有其产生的原因和所在结构部位和方向。位移用Δ表示.双角标表示第二角标：产生该位移的原因第一角标：位移的地点和方向ijPjABΔijΔij－－由于作用于j点确定方向的力Pj所引起的i点在某确定方向的位移现在是8页\一共有102页\编辑于星期四ijPj=1ABδijδjj柔度δ(Flexibility)－－单位力所引起的位移δij－－间接柔度δjj－－直接柔度δjj>0δij>0<0=0现在是9页\一共有102页\编辑于星期四5、计算位移的有关假定

1)、结构材料服从“虎克定律”，即应力、应变成线形关系。

2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。

3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。

4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时，不考虑由于杆弯曲所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载为线形关系，故求位移时可用叠加原理。PPBA6、计算结构位移的方法几何法单位荷载法现在是10页\一共有102页\编辑于星期四§4-2刚体体系虚功原理及其应用一、基本概念

1、功(Work)：

2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。P当静力加载时，即：

P由0增加至P

由0增加至实功的计算式为：现在是11页\一共有102页\编辑于星期四

3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。

PAAD虚功的计算式为：

4、虚功对应的两种状态及应满足的条件：虚功的两因素:力相应的位移（1）虚力状态：为求真实位移而虚设的力状态，应满足

静力平衡条件．（2）虚位移状态：为求真实力而虚设的位移状态，应满足

变形协调条。现在是12页\一共有102页\编辑于星期四刚体虚功原理：刚体平衡的充要条件是作用于刚体上的外力在刚体的任何虚位移上所作的虚功总和为零。即：

(3)、虚力原理：研究虚设的平衡力系在实际位移上的功，以计算结构的未知位移(如挠度、转角等).(4)、虚位移原理：研究实际的平衡力系在虚设位移上的功，以计算结构的未知力(如支座反力等).二、刚体虚功原理理论力学质点、质点系虚功原理W外＝0现在是13页\一共有102页\编辑于星期四1、虚力原理(Virtualforcetheory)以图(a)示静定梁为例说明虚力原理已知：支座A移动位移c1，求解：因位移状态给定故用虚力原理虚设一单位力，如图(b)示ABCP=1R1图（b）由平衡条件知：R1由虚功方程：即未知力与已知力之间的几何方程ABC图（a）abc1A'B'现在是14页\一共有102页\编辑于星期四应用虚力原理求未知位移的关键是沿拟求位移Δ方向虚设单位荷载，并利用平衡条件求与已知位移c1对应的支反力R1这种解法称为单位荷载法。特点：利用静力平衡，通过虚功方程来解几何问题。适用范围：刚体体系的位移计算，变形体体系的位移计算问题。2、支座位移时静定结构的位移计算虚设单位荷载的目的使虚功方程中正好包含拟求位移对应的力即：单位荷载所作的虚功在数值上正好等于拟求的位移。现在是15页\一共有102页\编辑于星期四例1:如图示梁在支座A有竖向位移cA，拟求C点的竖向位移ΔC;杆CD的转角β.解:(1)在Ｃ点加一竖向Ｐ＝１，图(b)示:(a)(b)(c)列虚功方程：(２)在ＣＤ杆上一力偶Ｍ＝１，图(Ｃ)示:解得：所得位移为正，表明与单位荷载方向一致现在是16页\一共有102页\编辑于星期四小结：支座K有给定位移cK时静定结构的位移计算步骤2.令虚设力在实际位移上作虚功，写出虚功方程１．沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载，求出单位荷载下的支座反力FRK.得到虚设的平衡力系。3.求拟求位移为：现在是17页\一共有102页\编辑于星期四图（c）例2：已知B截面处有相对转角θ，拟求A点的竖向位移Δ。分析：图（b）图（a）M2)虚设P=13)虚功方程所以1）等效图（b）现在是18页\一共有102页\编辑于星期四例题3

三铰刚架，支座B发生如图所示的位移,a=5cm,b=3cm,l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座处杆端截面的转角A。-5解：思路:沿拟求位移方向上加单位力（图2），求出支座反力后依求位移公式计算位移：（图1）（图2）现在是19页\一共有102页\编辑于星期四3.局部变形时刚体体系的位移计算公式图示悬臂梁B点附近的微段ds有局部变形．微段局部变形包括平均剪切应变γ轴线曲率为k轴向伸长应变ε求A点沿方向的位移分量dΔBCAsdsC1A1dΔ思路：相对剪切位移

dη=γ

ds相对转角dθ=k

ds

=ds/R相对轴向位移dλ＝εds首先dl

gdsdq现在是20页\一共有102页\编辑于星期四其次：将微段变形集中化，即ds0B截面发生集中的相对位移dλ、d

η

、dθ最后：应用刚体虚功原理，得或虚设单位力在截面B处引起的弯矩、剪力、轴力BAP=1ＭＱＮ局部变形的位移计算公式现在是21页\一共有102页\编辑于星期四§4-3变形体结构位移计算一般公式其中----虚拟单位力下的弯距、轴力、剪力和反力

----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应变、平均剪切应变和支座位移

一、公式支座位移现在是22页\一共有102页\编辑于星期四分析，见图(a)求结构上任一点C沿指定方向K-K’上的分位移(1)可按常规计算方法，但计算工作麻烦。(2)利用虚功原理，结构有变形又要有力系。现在是23页\一共有102页\编辑于星期四求结构变形，须有平衡力系虚功原理中，作功力系与位移可以彼此无关，二者之一可以虚设。见图(b)状态II表示虚拟状态，沿K-K’方向作用虚拟力引起的内力为求现在是24页\一共有102页\编辑于星期四(1)先设刚架处于II：

内力，外力满足平衡条件(2)再设其产生I

的位移：即，将结构的实际位移作为状态II的虚位移根据虚功原理和得：现在是25页\一共有102页\编辑于星期四，，现在是26页\一共有102页\编辑于星期四此即为由虚功原理得到的计算结构位移的一般公式

(称单位载荷法)它可以计算结构的：线位移、角位移、结构绝对、相对位移。虚拟状态中的单位力为所计算位移相应的广义力。现在是27页\一共有102页\编辑于星期四二、变形体位移计算的步骤：1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载3、利用公式计算拟求位移Δ注：1、Δ是广义位移2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反2、确定单位荷载下的结构内力M、N、Q和支反力R现在是28页\一共有102页\编辑于星期四三、几种类型的虚拟状态求线位移：沿拟求位移方向上施加相应的单位力。现在是29页\一共有102页\编辑于星期四求转角、相对转角：

沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。现在是30页\一共有102页\编辑于星期四若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方向加一单位力，如图示现在是31页\一共有102页\编辑于星期四2)若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。若求桁架中AB杆的角位移，应加一单位力偶，构成这一力偶的两个集中力的值取1/d。作用于杆端且垂直于杆(d为杆长)。现在是32页\一共有102页\编辑于星期四3)若要求结构上两点(A、B)沿其连线的相对位移，可在该两点沿其连线加上两个方向相反的单位力。现在是33页\一共有102页\编辑于星期四4)若求梁或刚架上两个截面的相对角位移，可在两个截面上加两个方向相反的单位力偶。现在是34页\一共有102页\编辑于星期四§4-4荷载作用下的位移计算及举例一、荷载作用下内力和变形的关系现在是35页\一共有102页\编辑于星期四式中M,FN,FQ－－是实际荷载引起的内力以使微段顺时针转动为正现在是36页\一共有102页\编辑于星期四1）梁和刚架2）桁架3）桁梁混合结构4）拱二、各类结构的位移公式现在是37页\一共有102页\编辑于星期四三、位移计算举例

例题1试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料相同，截面抗弯模量为EI。现在是38页\一共有102页\编辑于星期四解：（1）在A点加一单位力，建立坐标系如（图2）示，写出弯矩表达式AB段：BC段：（2）荷载作用下（图1）的弯矩表达式AB段：BC段：（3）将以上弯矩表达式代入求位移公式现在是39页\一共有102页\编辑于星期四例2，计算图示刚架C端的水平位移和角位移已知EI为常数。现在是40页\一共有102页\编辑于星期四解：在载荷作用下，刚架的图如图所示，状态IAB柱BC梁现在是41页\一共有102页\编辑于星期四<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力得状态II，图BC梁AB柱状态II代入位移公式，得：现在是42页\一共有102页\编辑于星期四<2>求C点的角位移，可在C点加一单位弯矩,如图示.其计算方法与(1)相同现在是43页\一共有102页\编辑于星期四例2.计算桁架结点C的竖向位移，设各杆EA都相同。解1)、分析内力：本问题因为桁架与载荷均对称，所有只需计算一半桁架的内力。ABDE现在是44页\一共有102页\编辑于星期四<a>利用体系整体平衡关系，得：支座反力<b>利用结点法，取A点分析由A点的Y方向平衡得：ABDE现在是45页\一共有102页\编辑于星期四<c>利用三角形关系A点X方向平衡得：(拉力)ABDE(压力)同理现在是46页\一共有102页\编辑于星期四ABDE<d>取D点分析D点X方向平衡(压力)显然DC杆的杆力为零。现在是47页\一共有102页\编辑于星期四2)、计算位移C点加一单位力P＝1由位移公式：为正值表示，C处的位移与虚拟力的方向相同。现在是48页\一共有102页\编辑于星期四例题3试求图示桁架C点的竖向位移CV。各杆材料相同，截面抗拉压模量为图(a)图(b)解（1）在C点加一单位力，作桁架内力图.如图(b)示.（2）作出荷载作用下的桁架内力图,如图(a)示.现在是49页\一共有102页\编辑于星期四（3）将NK、NP代入求位移公式现在是50页\一共有102页\编辑于星期四

例题3试求图示半径为R的圆弧形曲梁B点的竖向位移BV。梁的抗弯刚度EI为常数。现在是51页\一共有102页\编辑于星期四解（1）在B点加一单位力，写出单位力作用下的弯矩表达式（2）写出单位力作用下的弯矩表达式（3）将MK、MP代入求位移公式现在是52页\一共有102页\编辑于星期四

练习题：试求图示连续梁C点的竖向位移CV和A截面的转角θA,截面抗弯模量为EI。PCBAl/2l/2答案：CBAl/2l/2M答案：(1)(2)现在是53页\一共有102页\编辑于星期四实际荷载虚设单位荷载3）求位移(3)试求所示悬臂梁在A端的竖向位移解：1）虚设单位荷载如图(b)2）求内力表达式讨论:现在是54页\一共有102页\编辑于星期四解：0.50.5001.5-1.581.5-1.58(4)求所示桁架顶点C的竖向位移。现在是55页\一共有102页\编辑于星期四2）求1.51.54.50-4.743.00-4.42-0.951.503）求现在是56页\一共有102页\编辑于星期四(5)求B点的竖向位移。现在是57页\一共有102页\编辑于星期四§4-5图乘法

Methodofgraphmultification一、图乘法得引入二、图乘法适用条件及公式推导1、适用条件积分可通过M、MP两图相乘的方法求得.

1）、杆件为等截面直杆。

2）、EI为常数。

3）、M、MP图形中至少有一个为直线图形。现在是58页\一共有102页\编辑于星期四2、公式推导结论：在满足前述条件下，积分式之值等于某一图形面积乘以该面积形心所对应的另一直线图形的纵距y0,再除以EI。yxoyycdxdMP(x)M

(x)xxcBA此即位图乘法的公式积分问题转化为求内力图的面积、形心、和竖标的问题现在是59页\一共有102页\编辑于星期四3、使用乘法时应注意的问题

1）、适用条件必须满足，缺一不可。2)、正负号规则：面积ω与标距y0在杆件同侧，乘积为正；否则为负。a）杆件是等截面直杆，即EI＝常数b）两内力图中至少有一个是直线c）纵距y0只能从直线图中取得.现在是60页\一共有102页\编辑于星期四4、几种常见图形的面积和形心位置现在是61页\一共有102页\编辑于星期四三、使用乘法时应注意的问题M图MP图ωPyo1、yo必须取自直线图形现在是62页\一共有102页\编辑于星期四M图MP图ω1y1ω2y22、当M为折线图形时，必须分段计算现在是63页\一共有102页\编辑于星期四M图MP图3、当杆件为变截面时亦应分段计算ω1y1ω2y2现在是64页\一共有102页\编辑于星期四MP图M图4、图乘有正负之分：弯矩图在杆轴线同侧取正号；异侧取负号。ωPyoωPyo现在是65页\一共有102页\编辑于星期四M图MP图5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形ω2y2ω1y1现在是66页\一共有102页\编辑于星期四6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法分别图乘ly1y2ω1y3y4ω2abcdMP图M图现在是67页\一共有102页\编辑于星期四M图MP图acdlal现在是68页\一共有102页\编辑于星期四使用乘法时应注意的问题小结：

1、yo必须取自直线图形；

2、当M为折线图形时，必须分段计算；

3、当杆件为变截面时亦应分段计算；

4、图乘有正负之分；

5、若两个图形均为直线图形时，则面积、纵标可任意分别取自两图形；

6、图乘时，可将弯矩图分解为简单图形，按叠加法

分别图乘；

7、三角形、标准二次抛物线的面积、形心公式必须牢记。现在是69页\一共有102页\编辑于星期四5、举例解：1）作Mp图2）作图3）求(a)1现在是70页\一共有102页\编辑于星期四解：1）作Mp图2）作图3）求例2图示为一悬臂梁，在A点作用集中荷载Fp。试求中点C的挠度CV现在是71页\一共有102页\编辑于星期四w1w2w3解：1）作Mp图2）作图3）求例3试求下列图示刚架结点B的水平位移BH。各杆截面为矩形bh,惯性矩相等。只考虑弯曲变形的影响。现在是72页\一共有102页\编辑于星期四解：（1）绘Mp图

例题试求左图所示刚架C点的竖向位移CV和转角C。各杆材料相同，截面抗弯模量为:（2）求C点的竖向位移，在C处加一单位力，绘M1图Mp图M1图现在是73页\一共有102页\编辑于星期四(3)求C点的转角在C处加一单位力偶，绘出（M2图）Mp图M2图现在是74页\一共有102页\编辑于星期四§6-5温度作用时的位移计算一、由于温度改变引起的位移静定结构温度改变并不引起内力，变形和位移是材料自由膨胀、收缩的结果。杆件的微段h1、

h2分别为轴至上、下边缘的距离现在是75页\一共有102页\编辑于星期四上边缘温度上升下边缘温度上升沿杆截面厚度为线性分布，轴线温度上下温差现在是76页\一共有102页\编辑于星期四轴线温度：上下边缘的温差：曲率：伸长应变：线膨胀系数d现在是77页\一共有102页\编辑于星期四由位移计算公式：若沿每一杆件的全长为常数，则：以温度升高为正，弯矩和温差引起的弯矩为同一方向时，其乘积取正，反之取负。式中:现在是78页\一共有102页\编辑于星期四例：试求右图，a所示刚架C点的水平位移。已知刚架各杆外侧温度无变化，内侧温度上升10°C，刚架各杆的截面相同且与形心轴对称，线膨胀系数为。解：在C点沿水平方向加一单位力P＝1。现在是79页\一共有102页\编辑于星期四作出相应的、图。并有：轴向上的温度上升值。现在是80页\一共有102页\编辑于星期四式中h为截面高度。所得结果为正值，表示C点位移与单位力方向相同。杆件由于温度改变而发生的弯曲变形，该变形与由于所产生的弯曲变形方向相同(如图虚线所示)，现在是81页\一共有102页\编辑于星期四应用条件：线性小变形体系1、功的互等定理§4-7互等定理现在是82页\一共有102页\编辑于星期四功的互等定理：在任一线形变形体系中第一状态外力在第二状态位移上所作的功等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功，即现在是83页\一共有102页\编辑于星期四2、位移互等定理位移影响系数如果作用在体系上的力是单位力，则在第一个单位力方向上，由于第二个单位力所引起的位移等于第二个单位力方向上，由于第一个单位力所引起的位移。现在是84页\一共有102页\编辑于星期四3、反力互等定理反力影响系数如果结构支座发生的是单位位移，则支座1由于支座2的单位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的单位位移所引起的反力r21。4、位移、反力互等定理（自学）现在是85页\一共有102页\编辑于星期四要求1熟练写出位移计算一般公式及其各符号含义，并理解公式推导过程2熟练掌握静定结构位移计算方法。积分法图乘法（应用条件、计算步骤、注意事项）刚架、梁、桁架和组合结构的位移计算3互等定理§6－8小结现在是86页\一共有102页\编辑于星期四4、习题一、判断题1）计算组合结构的位移时可以只考虑弯曲变形的影响，即。（）2）静定结构的内力计算，可不考虑变形条件。（）3）静定结构在温度变化、支座移动等影响下，不仅产生变形，同时产生内力。（）4）静定结构在荷载作用下，产生的位移大小与该结构的各杆EI的相对值有关。（）现在是87页\一共有102页\编辑于星期四5）求图示结构

A点竖向位移可用图乘法。（）

6）静定结构，在支座移动作用下，有位移、有内力产生。（）现在是88页\一共有102页\编辑于星期四二、选择题1）求图示梁铰C左侧截面的转角时，其虚拟状态应取（）现在是89页\一共有102页\编辑于星期四2）图示结构（EI=常数）,受荷载P及支座移动的共同作用，

A

端的弯矩MA

等于：A.Pl+3EIa/4(上侧受拉）; B.Pl+EIa/3(上侧受拉）;C.Pl/2+3EIa/4(下侧受拉）; D.Pl/2(下侧受拉）。()现在是90页\一共有102页\编辑于星期四3）图示结构的两个状态，位移互等，和的量纲为：

A.长度；

B.无量纲；

C.长度/力；

D.力/长度。（）状态(1)

状态(2)现在是91页\一共有102页\编辑于星期四4）图示梁A点的竖向位移为（向下为正）：A.;

B.;

C.;

D.。()

现在是92页\一共有102页\编辑于星期四5）图示结构

EI=常数，刚结点

C的角位移为：A.（顺时针）；

B.（顺时针）；C.（顺时针）；D.。（）现在是93页\一共有102页\编辑于星期四三、填空题1）结构位移计算的两个主要目的是___________和_____________。3）结构位移计算的理论基础是______________原理4）图示桁架仅上弦各杆温度增高℃,材料的线膨胀系数为α，则

A点的水平位移为：__________。2）应用图