线性变换及其矩阵表示

（优选）线性变换及其矩阵表示现在是1页\一共有34页\编辑于星期三一、线性变换的引入在技术科学、社会科学和数学的一些分支中，不同向量空间之间的线性变换起着重要的作用。因此，为了研究两个向量空间之间的关系，有必要考虑能够从一个向量空间到另一个向量空间的转换关系的函数。事实上，在我们的日常生活中，也经常遇到这种转换。当我们欲将一幅图像变换为另一幅图像时，通常会移动它的位置，或者旋转它。例如，函数就能够将图像的坐标和坐标改变尺度。根据和大于1还是小于1，图像就能够被放大或者缩小。

现在是2页\一共有34页\编辑于星期三线性变换的定义现在是3页\一共有34页\编辑于星期三现在是4页\一共有34页\编辑于星期三现在是5页\一共有34页\编辑于星期三例1判断下面两个从R3到R2变换的类型（线性或非线性）现在是6页\一共有34页\编辑于星期三例2定义在闭区间上的全体连续函数组成实数域上的一个线性空间V，在这个空间中变换是一个线性变换.证明设则有现在是7页\一共有34页\编辑于星期三

例3线性空间V中的恒等变换（或称单位变换）I，是线性变换。证明则有设所以恒等变换是线性变换。现在是8页\一共有34页\编辑于星期三例4线性空间V中的零变换是线性变换。证明设则有所以零变换是线性变换。现在是9页\一共有34页\编辑于星期三例5证明实内积空间

变换到实数域R上的线性变换。是一种将笛卡儿积现在是10页\一共有34页\编辑于星期三例6A称为线性变换T的标准矩阵(Standardmatrix)。线性变换也称为矩阵变换。

。

易证T是线性变换.现在是11页\一共有34页\编辑于星期三二、线性变换的性质3若则4线性变换T的象集是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。现在是12页\一共有34页\编辑于星期三由于由此知它对中的线性运算封闭，故它是的子空间。证明从而4线性变换T的象集T（Vn）是一个线性空间，称为线性变换T的象空间。现在是13页\一共有34页\编辑于星期三证明则则现在是14页\一共有34页\编辑于星期三定义设T是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换T下的象为三、线性变换在给定基下的矩阵现在是15页\一共有34页\编辑于星期三其中那末，A就称为线性变换T在基下的矩阵。上式可表示为现在是16页\一共有34页\编辑于星期三现在是17页\一共有34页\编辑于星期三例6现在是18页\一共有34页\编辑于星期三现在是19页\一共有34页\编辑于星期三现在是20页\一共有34页\编辑于星期三现在是21页\一共有34页\编辑于星期三例7现在是22页\一共有34页\编辑于星期三例8解

由条件知现在是23页\一共有34页\编辑于星期三现在是24页\一共有34页\编辑于星期三定理设线性变换T在基e1,e2,

…,en下的矩阵是A，向量β在基e1,e2,…,en下的坐标是(x1,x2,…,xn)，则T(β)在基e1,e2,…,en下的坐标(y1,y2,…,yn)可以按下式计算现在是25页\一共有34页\编辑于星期三定理线性变换的矩阵表示式现在是26页\一共有34页\编辑于星期三四、线性变换在不同基下的矩阵上面的几个例子表明：同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵，那么这些矩阵之间有什么关系呢？现在是27页\一共有34页\编辑于星期三定理设线性空间中取定两个基由基到基的过渡矩阵为P，中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么

定理表明B与A相似，且两个基之间的过渡矩阵P就是相似变换矩阵。现在是28页\一共有34页\编辑于星期三于是证明因为线性无关，所以现在是29页\一共有34页\编辑于星期三练习解现在是30页\一共有34页\编辑于星期三现在是31页\一共有34页\编辑于星期三定义现在是32页\一共有34页\编辑于星期三思考题现在是33页\一共有34页\编辑于星期三正交变换的定义

欧氏空间V的线性变换T称为正交变换，如果它保持中