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文档简介
角的平分线的性质
小明家刚好位于两条公路所成角的平分线上,现在小明要步行到公路上坐车去两条公路交汇处的超市。问题1:他该怎样走到公路1最节省时间呢?到公路2呢?助人为乐公路2公路1问题2:你知道走哪条路最
近吗?超市
用纸剪一个角,把纸片对折,使角的两边叠合在一起,把对折后的纸片继续折一次,折出一个直三角形(使第一次的折痕为斜边),然后展开,观察两次折叠形成的三条折痕.动手与操作趣味折纸公路2公路1超市=数据收集PDPE第一位同学第二位同学第三位同学…观察表格中的数据说说你有什么发现?重大发现角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
当真如此吗?公路2公路1超市验证猜想几何模型21OABP你能用所学过的方法证明PA=PB吗?证明:∵
OP是∠AOB的平分线∴∠1=∠2在△OAP和△OBP中∠1=∠2(已证)∴△OAP≌△OBP(AAS)∴PA=PB(全等三角形对应边相等)∵
PA⊥OA于A,PB⊥OB于B∴∠OAP=∠OBP=90°∠OAP=∠OBP(已证)OP=OP(公共边)探究结果角的平分线上的点到角的两边的距离相等.角平分线的性质PD⊥OA于D,PE⊥OB于E∵OP平分∠AOB∴PD=PE.几何语言:
一平分两垂直得相等(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)AOBPED123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!6∵如图,AD平分∠BAC∴
=
,(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD×幸运5+1判断123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!5∵如图,DC⊥AC于C,DB⊥AB于B
∴
=
,(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD×判断幸运5+1123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!4恭喜你,直接通关!123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!3∵AD平分∠BAC,DC⊥AC于C∴
=
,(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD×判断幸运5+1123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!2∵AD平分∠BAC,DB⊥AB于B,DC⊥AC于C∴
=
,(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)BDCD√判断幸运5+1123456幸运5+16个金蛋任你选择,其中1个金蛋是直接通关,其余5个金蛋有相应的题目,答对奖励卡片,答错则机会属于别人,看谁是幸运的那一个!1幸运5+1证明:在△ABC和△ADC中AB=AD(已知)BC=DC(已知)AC=AC(公共边)∴△ABC≌△ADC(SSS)∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)∴AC平分∠DAB∵CE⊥AD于E,CF⊥AF于F∴CE=CF(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)ABCDEF21
如图,点D、B分别在∠EAF的两边上,C是∠EAF内一点,AB=AD,BC=DC,CE⊥AD于E,CF⊥AF于F.求证:CE=CF.探究思考
既然角平分线如此有用,我们该如何做一个角的平分线呢?如图,是一个角平分仪,其中AB=AD,BC=DC。ADBCE古人之才ADBCEADBCE角平分仪的原理是什么呢?证明:在△ACD和△ACB中AD=AB(已知)DC=BC(已知)AC=AC(公共边)∴△ACD≌△ACB(SSS)∴∠CAD=∠CAB
(全等三角形对应角相等)∴AC平分∠DABADBCE原理证明
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线?DABEC1.把角平分仪放在角的两边时,角平分仪两边AB=AD从几何作图角度怎么画?2.BC=DC从几何作图角度怎么画?3.射线OC与角平分仪中的AE代表同一条射线吗?OABC画法探究2.分别以点M,N为圆心.大于MN的长为半径画弧.两弧在∠AOB的内部交于点C.ABOMNC方法:1.以点O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.3.作射线OC.则射线OC即为所求.尺规做图盖理同角平分仪也!△OMC≌△ONC(SSS)
动手试试画出平角∠AOB的平分线。
通过上面的步骤,得射线OC以后,把它反向延长得到直线CD,直线CD与直线AB是什么关系?
BAOCD动手操作结论作平角的平分线即可平分平角,也是过直线上一点作这条直线的垂线的方法。ABCDE
如图∠C=90°,AD平分∠CAB,DE⊥AB于点E。若BD=2DE=6,求BC的长度。实战演习解:∵∠C=90°∴AC⊥BC于C又∵AD平分∠CAB,
DE⊥AB于E∴DC=DE(角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等)又∵BD=2DE=6∴DC=DE=3∴BC=BD+DC=6+3=9
如图,在△ABC中,∠B=90°,AC=10,AD是△ABC的一条角平分线。若BD=3,则求△ACD的面积。层层激战ABDCEE解:过点D作DE⊥AC于E∵∠B=90°∴AB⊥BC于B又∵AD平分∠BAC,BD=3∴DE=BD=3(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)∵AC=10
∴S△ACD=ACDE
=103=15××××1212思考点P在∠B的平分线上吗?迎难而上
如图,已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线,PM⊥BD,PN⊥BE,垂足分别为M、N,那么PM与PN的数量关系是什么?解:过点P作PQ⊥AC于Q∵PM⊥AD于M,AP平分∠DAC∴PM=PQ
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