第9章IIR滤波器设计

第9章IIR滤波器设计第一页，共69页。理想低通滤波器T滤波器性能指标截止频率第二页，共69页。实际滤波器幅度响应指标通带阻带过渡带通带波纹阻带波纹通带截止频率阻带截止频率第三页，共69页。通带峰值波纹最小阻带衰减第四页，共69页。模拟低通滤波器的归一化幅度指标11/Apcs第五页，共69页。过渡比或选择性参数分辨参数第六页，共69页。IIR滤波器设计方法1、解析方法：模拟滤波器→数字滤波器2、数值方法：计算机辅助设计(a)模拟逼近技术很成熟(b)能产生闭式解(c)模拟滤波器设计有大量图表可查(d)很多应用中需要模拟滤波器的数字仿真第七页，共69页。常用的模拟滤波器巴特沃兹（Butterworthfilter）切比雪夫（Chebyshevfilter）椭圆（Ellipticfilter）贝塞尔（Besselfilter）第八页，共69页。巴特沃斯滤波器n阶巴特沃斯滤波器归一化形式（c=1）ai可以查表得到第九页，共69页。2、-3dB截止频率：c3、滚降的陡峭度：N巴特沃斯滤波器的特性1、=0处前2N-1阶导数为0（最大平坦幅度特性）第十页，共69页。幅度响应与相位响应在通带3/4内近似线性相位第十一页，共69页。巴特沃斯滤波器设计——确定c和N已知：第十二页，共69页。第十三页，共69页。第十四页，共69页。N=4N=10N=21(3)查表得到归一化系数，经过频率变换后得到传输函数第十五页，共69页。切比雪夫滤波器切比雪夫滤波器1型滤波器（全极点）切比雪夫多项式第十六页，共69页。幅度响应特点：1、通带内具有等波纹 2、阻带内单调下降第十七页，共69页。切比雪夫滤波器2型滤波器零极点系统第十八页，共69页。幅度响应特点：1、通带内单调下降

2、阻带内具有等波纹第十九页，共69页。巴特沃斯：通/阻带内随频率单调变化(误差非均匀分布，某些频带指标高出要求)切比雪夫：误差均匀分布在通/阻带内实现相同幅度指标，切比雪夫阶数更少第二十页，共69页。椭圆滤波器椭圆函数第二十一页，共69页。特点：通带和阻带具有等波纹特性 (误差均匀分布)同样的性能要求，比前两种滤波器所需用的阶数都低第二十二页，共69页。几种滤波器比较第二十三页，共69页。幅度响应巴特沃斯：通带和阻带均具有平滑幅度切比雪夫I型：通带内等波纹，阻带平滑切比雪夫II型：阻带内等波纹，通带平滑椭圆：通带、阻带内具有等波纹特性过渡带宽度巴特沃斯>切比雪夫>椭圆相位巴特沃斯、切比雪夫：通带3/4内近似线性相位椭圆：通带1/2内近似线性相位第二十四页，共69页。线性相位IIR模拟滤波器1、IIR+全通滤波器2、贝塞尔滤波器（BesselLowpassFilter）：求解考虑相位约束通带近似线性相位贝塞尔多项式第二十五页，共69页。h(n)无限—设计h(n)根有限—传输函数入手从何入手设计IIR滤波器？×IIR滤波器的解析设计第二十六页，共69页。传输函数—根有限低通、高通等如何对应根(零极点)？利用已有成熟结果—模拟传输函数(S域)IIR滤波器设计:S域→Z域第二十七页，共69页。S域→Z域单位圆S平面Z平面映射模拟数字第二十八页，共69页。IIR滤波器设计的双线性变换法目标：模拟滤波器→数字滤波器要求：s域稳定

→z域稳定

保持幅度特性s域z域变换第二十九页，共69页。常见的s域→z域变换极点变换s域极点z域极点冲激响应不变法优点：频率坐标变换线性缺点：频谱混叠S域->Z域例:第三十页，共69页。利用梯形数值积分将模拟系统变换为数字系统参数T表示数值积分的步长31/133双线性变换第三十一页，共69页。双线性变换：单位圆S平面Z平面S平面虚轴→Z平面单位圆S左半平面→Z平面单位圆内第三十二页，共69页。双线性变换：单位圆S平面Z平面-10第三十三页，共69页。

单调：一一对应双线性变换：模拟频率Ω

数字频率ω

非线性：频率弯折(低频提升，高频压缩)特点：kHzrad第三十四页，共69页。模拟滤波器315Hz例：低通滤波器的频率畸变截止频率改变数字滤波器双线性变换185Hz1k采样第三十五页，共69页。例：带通滤波器的频率畸变数字模拟模拟畸变如何消除？第三十六页，共69页。频率指标预扭曲+=预扭曲双线性变换校正后的频率数字频率指标模拟频率指标预扭曲：第三十七页，共69页。低通IIR滤波器设计2、设计模拟低通滤波器1、数字低通指标

模拟低通指标预扭曲3、模拟低通滤波器

数字低通滤波器双线性变换第三十八页，共69页。例：设计一个低通IIR数字滤波器G(z)，性能指标如下:11/Aps第三十九页，共69页。

1、将数字截止频率预弯折为模拟截止频率第四十页，共69页。

2、设计模拟低通原型滤波器三阶归一化低通Butterworth传输函数:第四十一页，共69页。3、模拟低通->数字低通（双线性变换）第四十二页，共69页。高通、带通、带阻IIR滤波器设计2、设计模拟低通滤波器1、数字频率指标

模拟低通频率指标预扭曲、谱变换3、模拟低通

数字滤波器双线性变换、谱变换第四十三页，共69页。1、数字高通/带通/带阻→模拟低通数字指标同类模拟滤波器指标模拟低通滤波器指标模拟谱变换预扭曲3、模拟低通→数字高通/带通/带阻数字高通/带通/带阻模拟高通/带通/带阻模拟低通模拟谱反变换双线性反变换实现方法-1第四十四页，共69页。模拟谱变换

模拟低通←→模拟高通/带通/带阻s平面ŝ平面第四十五页，共69页。模拟低通→模拟高通第四十六页，共69页。模拟低通→模拟带通第四十七页，共69页。模拟低通→模拟带阻第四十八页，共69页。例：

高通滤波器的指标为：通带截止频率Fp=700Hz，阻带截止频率为Fs=500Hz，通带波纹，最小阻带率减，抽样频率为Ft=2kHz解：1、归一化截止角频率预扭曲：模拟高通滤波器截止频率2、高通->低通：模拟低通滤波器归一化通带截止频率为模拟低通滤波器的性能指标为：第四十九页，共69页。3、设计低通切比雪夫滤波器

[N,Wn]=cheb1ord(1,1.96,1,32,’s’) [B,A]=cheby1(N,1,Wn,’s’)4、模拟低通->模拟高通

[BT,AT]=lp2hp(B,A,1.96)5、双线性变换

[num,den]=bilinear(BT,AT,0.5)第五十页，共69页。例7.10带通滤波器的指标为：通带截止频率，阻带截止频率为，，通带波纹，最小阻带率减解：1、模拟带通滤波器截止频率2、模拟带通->模拟低通如不满足对称条件：1、增加，通带大于要求的通带 2、调整，通带宽度不变，左边过渡带小于原值第五十一页，共69页。3、设计低通巴特沃兹滤波器

[N,Wn]=buttord(1,2.36,1,40,’s’) [B,A]=butter(N,Wn,’s’)4、模拟低通->模拟高通

[BT,AT]=lp2hp(B,A,1.18,0.78)5、双线性变换

[num,den]=bilinear(BT,AT,0.5)选择模拟低通滤波器通带截止频率为1，则其性能指标为：第五十二页，共69页。1、数字高通/带通/带阻→模拟低通数字指标同类模拟滤波器指标模拟低通滤波器指标模拟谱变换预扭曲3、模拟低通→数字高通/带通/带阻实现方法-2数字高通/带通/带阻数字低通模拟低通数字谱变换双线性反变换第五十三页，共69页。数字低通与数字高通/带通/带阻的关系-ππ-ππ-ππωωω|H||H||H|π2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ωπ2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ωπ2π-4ππ3π-3π-2π4π|H|ω第五十四页，共69页。数字谱变换：

模拟低通→模拟高通、带通、带阻z平面平面第五十五页，共69页。需满足：平面内部(稳定)z平面内部为有理函数z平面单位圆平面单位圆为全通函数第五十六页，共69页。低通→低通ωω^零极图第五十七页，共69页。ωω^低通→高通零极图第五十八页，共69页。低通→带通ωω^第五十九页，共69页。低通→带阻ωω^第六十页，共69页。解析的方法：S域→Z域的变换模拟滤波器的选择映射变换的选择如何通过数值方法设计？IIR滤波器的数值设计第六十一页，共69页。IIR数字滤波器数值设计对应差分方程第六十二页，共69页。由设计滤波器指标，给定一输入x[l]，可得理想输出y[l]K个方程组如何解？由幅频特性导出第六十三页，共69页。K<M+N欠定方程，无穷解需增加n，增加方程数K=M+N满秩：恰定方程，克莱姆法则求解不满秩：欠定方程，增加方程数K>M+N求秩困难，出现概率小超定方程，非常可能严格解不存在的数学角度不能解？第六十四页