连续域离散化设计

连续域离散化设计第1页，共25页，2023年，2月20日，星期二一设计原理和步骤1.基本思想◆计算机控制系统是由计算机及相应的信号变换装置取代了常规的模拟控制器，基于此，将原来的模拟控制规律离散化，变为数字算法，并由计算机实现，便可完成计算机控制系统的设计，即所谓连续域－离散化设计。◆连续域－离散化设计是一种间接设计法，其实质是将数字控制器部分看作一个整体，并等效为连续传函De(s)，从而用连续系统理论来设计De(s)，再将其离散化而得到D(z)。第2页，共25页，2023年，2月20日，星期二第3页，共25页，2023年，2月20日，星期二2De(s)的数学描述A/D转换器

若不计量化效应，A/D

本质上可看作一个理想的采样开关，其输入输出关系表示为 当系统具有低通特性，且时，可取基频来近似即A/D

的传函可近似为第4页，共25页，2023年，2月20日，星期二计算机算法 即待设计的计算机控制算法D(z)，其频率特性可用D(ejT)表示。D/A转换器

D/A

可抽象为一个零阶保持器

ZOH，由于采样频率远大于闭环带宽，ZOH

也只工作在低频段，其频率特性可近似表示为

即幅频可近似为常值T，相频近似为一个纯滞后环节。第5页，共25页，2023年，2月20日，星期二■等效控制器De(s)

综合起来可得等效控制器De(s)

的频率特性

其中，Ddc(s)为数字算法D(z)的等效传函，即设计对象；滞后环节为A/D和D/A的近似，反映了ZOH相位滞后特性。第6页，共25页，2023年，2月20日，星期二

▲实际设计时，e－sT/2

有时也可取为如下的一阶或二阶近似：

▲将被控对象、执行机构、传感器、前置滤波器等合在一起构成广义对象

G(s)，则简化结构图：G(s)e－sT/2Ddc(s)De(s)第7页，共25页，2023年，2月20日，星期二3.控制器的设计

经过以上对De(s)

的分析可知，数字控制器

的设计归结为：根据系统性能指标的要求，用连续系统理论设计等效控制器Ddc(s)，然后再离散化。第8页，共25页，2023年，2月20日，星期二4.连续域－离散化设计步骤根据系统的性能指标要求，选择采样频率，并设计抗混叠的前置滤波器；考虑ZOH

的相位滞后，根据性能指标的要求和连续域设计方法，设计数字控制算法的等效传递函数Ddc(s)；选择合适的离散化方法，将Ddc(s)离散化，得到D(z)，并使二者尽量等效；检验系统闭环性能，如指标满足，进行下一步；否则重新改进设计，包括：选择更合适的离散化方法提高采样频率修正连续域设计将D(z)变为数字算法，并用计算机编程实现。第9页，共25页，2023年，2月20日，星期二二各种离散化方法★前提：已设计出Ddc(s)，以下用D

(s)

来表示1.脉冲响应不变法（Z变换法）

该方法要求离散环节的脉冲响应等于连续环节脉冲响应的采样值，即在采样时刻二者的脉冲响应等效。

第10页，共25页，2023年，2月20日，星期二设连续环节的传递函数为单位脉冲作用下的输出响应为对u(t)进行等间隔T的采样，得到对上式进行z变换，得到第11页，共25页，2023年，2月20日，星期二特点

Z

变换法工程使用意义不大。由于Z

变换是多对一的映射，将会产生严重的频率混叠；同时，Z

变换不具备串联性质，即 处理起来不方便。第12页，共25页，2023年，2月20日，星期二2.阶跃响应不变法该方法要求离散环节和连续环节的阶跃响应的采样值保持不变 将连续传函做带零阶保持器的Z变换，即 则能保证D

(s)

和D

(z)

的阶跃响应在采样时刻保持不变。第13页，共25页，2023年，2月20日，星期二等效变换前后的响应情况D(s)ZOHD(z)D(s)由于在计算机内存中，每个采样间隔内保持信号不变，相当于零阶保持器的性能，因此采用带ZOH的Z变换比Z变换法更实用一些。第14页，共25页，2023年，2月20日，星期二【例】设，试用阶跃响应不变法求D

(z)

，设采样周期T=1。【解】第15页，共25页，2023年，2月20日，星期二特点：若连续环节D

(s)稳定，则离散后的D

(z)也一定稳定；带ZOH的Z变换同样无串联特性；由于ZOH具有低通作用，频率混叠现象较单纯的Z变换法能显著减轻，离散前后频率特性畸变较小；离散前后稳态增益保持不变，即 以上两种方法均要做Z变换，且无串联特性，工程应用并不方便第16页，共25页，2023年，2月20日，星期二3.向前差分法

用一阶向前差分近似代替微分 设连续环节传函为

可得其对应的微分方程为以一阶向前差分代替微分第17页，共25页，2023年，2月20日，星期二如令k=k-1，则由此可得一阶向前差分法离散化的一般公式对上式做Z变换比较D

(s)

与D

(z)

，可得s

与z的关系为第18页，共25页，2023年，2月20日，星期二第19页，共25页，2023年，2月20日，星期二第20页，共25页，2023年，2月20日，星期二★向前差分法s平面与z平面的映射关系

由，并令 可得 取模 令（即对应单位圆），则有

z

平面的单位圆映射为s

平面左半平面以点（－1/T，0）为圆心，以1/T

为半径的圆（如下图所示）。第21页，共25页，2023年，2月20日，星期二向前差分法s平面与z平面的映射关系(图）

由此可见，只有当连续环节D

(s)的所有极点均位于s

左半平面以点（－1/T，0）为圆心，以1/T为半径的圆内，才能将离散化后D

(z)

的极点映射到z

平面的单位圆内。ReImO1[Z]jO-1/T[S]1/T第22页，共25页，2023年，2月20日，星期二★向前差分法的特点置换公式简单，且有串联性（与采样开关无关），应用方便；当采样周期T

较大时，等效精度较差；稳态增益维持不变，即只能将s

左半平面一个半径为1/T

的圆映射到z

平面单位圆，所以D

(s)稳定，