行列式的展开定理与克拉默法则

行列式的展开定理与克拉默法则第1页，共32页，2023年，2月20日，星期二§3行列式展开定理、克拉默法则一、余子式、代数余子式二、行列式按一行（列）展开法则§3、4行列式展开定理、克拉默法则三、克拉默法则第2页，共32页，2023年，2月20日，星期二引例可见，三阶行列式可通过二阶行列式来表示．第3页，共32页，2023年，2月20日，星期二一、余子式、代数余子式定义在

n

阶行列式中将元素

所在的第

i

行与第

j

列划去，剩下个元素按原位置次序构成一个阶的行列式，称之为元素的余子式,记作．第4页，共32页，2023年，2月20日，星期二令称之为元素的代数余子式．注：①

行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和代数余子式．无关，只与该元素的在行列式中的位置有关．②

元素的余子式和代数余子式与的大小第5页，共32页，2023年，2月20日，星期二例如第6页，共32页，2023年，2月20日，星期二元素除外都为

0，则1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n

阶行列式

D=的中第

i

行所有第7页，共32页，2023年，2月20日，星期二证：先证的情形，即由行列式的定义，有第8页，共32页，2023年，2月20日，星期二结论成立.一般情形：第9页，共32页，2023年，2月20日，星期二第10页，共32页，2023年，2月20日，星期二结论成立.第11页，共32页，2023年，2月20日，星期二2.定理行列式

D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或行列式按行（列）展开法则第12页，共32页，2023年，2月20日，星期二证：第13页，共32页，2023年，2月20日，星期二例1.计算行列式解：第14页，共32页，2023年，2月20日，星期二例2.计算n阶行列式

解：第15页，共32页，2023年，2月20日，星期二例3.证明范德蒙行列式

（熟记）P18第16页，共32页，2023年，2月20日，星期二范德蒙行列式

中至少两个相等．注：范德蒙行列式另一形式：第17页，共32页，2023年，2月20日，星期二3.推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即第18页，共32页，2023年，2月20日，星期二证第19页，共32页，2023年，2月20日，星期二相同∴当时,同理可证,第20页，共32页，2023年，2月20日，星期二综合定理及推论，有关于代数余子式的重要性质：第21页，共32页，2023年，2月20日，星期二例4.设求

解：和第22页，共32页，2023年，2月20日，星期二第23页，共32页，2023年，2月20日，星期二例5.计算2n阶行列式其中未标明的元素都是0.第24页，共32页，2023年，2月20日，星期二解：将Dn按第一行展开得

第25页，共32页，2023年，2月20日，星期二

上式第一个行列式按最后一行展开，第二个行列式按第一列展开，可得到以此作递推公式，即得第26页，共32页，2023年，2月20日，星期二自然科学与工程技术中，我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则（Cramer，瑞士，1704~1752）2）n阶行列式的性质与计算？1）怎样定义n阶行列式？有解的情况下，如何表示此解？3）方程组(＊)在什么情况下有解？第27页，共32页，2023年，2月20日，星期二定理如果线性方程组（1）的系数行列式

则方程组(１)有唯一解:（2）Cramer法则第28页，共32页，2023年，2月20日，星期二其中是把行列式中第列所得的一个n级行列式，即的元素用方程组（1）的常数项代换

第29页，共32页，2023年，2月20日，星期二注解1：克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论：前提：（1）线性方程组（1）中方程的个数等于未知量的个数；（2）线性方程组（1）的系数矩阵的行列式不等于零.结论：（1）线性方程组（1）有解；（2）线性方程组（1）的解是唯一的；（3）线性方程组（1）的解由公式（2）给出