泸州市2020届高三二诊考试数学（文）试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精四川省泸州市2020届高三二诊考试数学（文）试题含解析2020年高考（文科）数学二诊试卷一、选择题1.集合,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用交集的定义直接计算即可.【详解】,故，故选：D。【点睛】本题考查集合的交运算，注意常见集合的符号表示，本题属于基础题.2。为虚数单位，则的虚部为（）A。 B. C。 D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则计算即可.【详解】，故虚部为.故选：C.【点睛】本题考查复数运算以及复数的概念，注意复数的虚部为，不是，本题为基础题，也是易错题。3。两名男生、一名女生站成一排，其中两名男生刚好相邻的概率为（）A. B。 C。 D。【答案】B【解析】分析】基本事件总数n6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，由此能求出其中两名男生刚好相邻的概率.【详解】两名男生、一名女生站成一排，基本事件总数n6，其中两名男生刚好相邻包含的基本事件个数m4，∴其中两名男生刚好相邻的概率p。故选：B。【点睛】本题考查概率的求法，考查排列组合、古典概型等基础知识,考查运算求解能力，是基础题。4。某校团委对“学生性别与中学生追星是否有关”作了一次调查,利用列联表,由计算得,参照下表:0。010.050。0250.0100。0050.0012.7063.8415。0246。6357.87910。828得到正确结论是(）A。有99％以上的把握认为“学生性别与中学生追星无关"B.有99%以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关"C。在犯错误的概率不超过0.5％的前提下，认为“学生性别与中学生追星无关"D。在犯错误的概率不超过0.5%的前提下,认为“学生性别与中学生追星有关"【答案】B【解析】【分析】通过与表中的数据6。635的比较，可以得出正确的选项.【详解】解：，可得有99％以上的把握认为“学生性别与中学生追星有关”,故选B.【点睛】本题考查了独立性检验的应用问题，属于基础题。5.已知，则的值为(）A. B。 C. D.【答案】D【解析】【分析】由即可得解.【详解】.故选D。【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式及同角三角函数关系，属于基础题。6。《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委菽依垣内角，下周三丈、高七尺、问积及为菽几何？“其意思为：“现将大豆在屋内靠墙堆成半圆锥形，底面半圆的弧长为3丈，高7尺、问这堆大豆的体积和堆放的大豆各为多少？"已知1丈等于10尺,1斛大豆的体积约为2。43立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的大豆有（)A.44斛 B。144斛 C.288斛 D.388斛【答案】B【解析】【分析】先求出圆的半径，再利用圆锥的体积计算公式即可得出.【详解】3丈＝30尺，30＝3×R，解得R＝10，由题意可得：3×102×7144斛。故选：B.【点睛】本题考查了圆锥的体积计算公式,考查考生的计算能力，属于基础题.7.函数的图象在点处的切线为,则在轴上的截距为(）A. B。 C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函数在处的导数后可得曲线在处的切线方程，从而可求切线的纵截距.【详解】,故，所以曲线在处的切线方程为：.令，则，故切线的纵截距为。故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义以及直线的截距，注意直线的纵截距指直线与轴交点的纵坐标,因此截距有正有负，本题属于基础题。8.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A。 B。3 C。15 D.10【答案】D【解析】【分析】根据题意一步一步进行运算，直到跳出循环.【详解】i＝1，S＝0,S＝0﹣1＝﹣1，i＝2；S＝﹣1+4＝3,i＝3；S＝3﹣9＝﹣6，i＝4；S＝﹣6+16＝10,i＝5，跳出循环。故选:D。【点睛】本题考查程序框图,考查了推理能力，属于基础题。9。已知函数f(x）=Asin（2x)(A≠0），若函数f(x﹣m）(m〉0）是偶函数、则实数m的最小值是（）A. B。 C. D。【答案】A【解析】【分析】由题意利用三角函数的奇偶性以及图象的对称性，求得m的最小值.【详解】函数f（x）＝Asin（2x)（A≠0），若函数f（x﹣m)＝Asin(2x﹣2m）（m＞0）是偶函数，则2m最小为,则实数m的最小值为，故选:A。【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性以及图象的对称性，属于基础题。10.已知椭圆的短轴长为2，焦距为分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，则的取值范围为（）A. B. C。 D.【答案】D【解析】【分析】先求出椭圆方程,再利用椭圆的定义得到，利用二次函数的性质可求，从而可得的取值范围.【详解】由题设有，故，故椭圆，因为点为上的任意一点,故.又，因为，故,所以。故选：D。【点睛】本题考查椭圆几何性质，一般地，如果椭圆的左、右焦点分别是,点为上的任意一点,则有，我们常用这个性质来考虑与焦点三角形有关的问题，本题属于基础题.11。若一个正三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（)A。 B. C。 D.【答案】B【解析】依题意得，该正三棱柱的底面正三角形的边长为2,侧棱长为1．设该正三棱柱的外接球半径为R,易知该正三棱柱的底面正三角形的外接圆半径是2sin60°×＝，所以R2＝＋＝，则该球的表面积为4πR2＝．12。过双曲线左焦点的直线交的左支于两点，直线（是坐标原点）交的右支于点，若,且，则的离心率是（)A. B。 C。 D。【答案】D【解析】【分析】如图，设双曲线的右焦点为，连接并延长交右支于，连接,设，利用双曲线的几何性质可以得到,，结合、可求离心率。【详解】如图，设双曲线的右焦点为,连接，连接并延长交右支于。因为，故四边形为平行四边形，故.又双曲线为中心对称图形，故.设,则，故,故.因为为直角三角形，故，解得。在中，有，所以.故选：D。【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于的方程，本题属于难题。二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分。把答案填在答题纸上）13。已知直线l:x+m2y＝0与直线n：x+y+m＝0,若,则m的值为_____。【答案】【解析】【分析】由m2﹣1＝0，解得m，经过验证即可得出。【详解】,则m2﹣1＝0,解得m＝±1，经过验证都满足l∥n,则m＝±1.故答案为：±1。【点睛】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查考生的计算能力，属于基础题。14.若x,y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是_____.【答案】【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可.【详解】由z＝3x+2y得y，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y由图象可知：当直线y经过点A时,直线y的截距最小,此时z也最小，将A(1，1）代入目标函数z＝3x+2y，得z＝5。故答案为：5。【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键,利用数形结合是解决问题的基本方法.15.设函数y=f(x)的图象与y＝2x+a的图象关于直线对称，且，则a＝_____。【答案】【解析】【分析】在函数y＝f（x）的图象上取点（x，y），则关于直线y＝﹣x对称点为（﹣y，﹣x），代入y＝2x+a,可得答案.【详解】因为函数y＝f（x）图象与y＝2x+a的图象关于直线y＝﹣x对称，且f（﹣4）＝1;故（﹣1，4)在y＝2x+a的图象上，故有4＝2﹣1+a⇒a＝3.故答案为：3.【点睛】本题考查函数的解析式，考查图象的对称性，考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.16。的角所对的边分别为，且,，若，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把转化为与边有关的等式，结合可求的值.【详解】因为，故，因为，所以.由正弦定理可得三角形外接圆的半径满足,所以即。因为,解得或（舍）.故答案为：。【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用，注意结合求解目标对所得的方程组变形整合后整体求解,本题属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17.已知数列｛an｝的前n项和Sn和通项an满足。(1）求数列{an}的通项公式；（2）等差数列{bn}中，b1＝3a1，b2＝2,求数列{an+bn｝的前n项和Tn.【答案】（1）。(2）【解析】【分析】（1）先由数列{an}的前n项和Sn和通项an的关系式求出相邻项之间的关系,判断出数列{an｝的类型，再求出通项公式;（2）先由题设条件求出bn,再结合（1）中的an求出an+bn，最后求出Tn。【详解】（1）当n＝1时有2S1+a1＝1＝3a1，解得。又∵2Sn+an＝1(n∈N*)①，∴2Sn+1+an+1＝1②.由②﹣①可得：2（Sn+1﹣Sn）+an+1﹣an＝0＝2an+1+an+1﹣an，即an+1，所以数列｛an}是以为首项，以为公比的等比数列，∴an＝（）n.（2）∵等差数列{bn}中，b1＝3a1＝1，b2＝2，∴bn＝n，an+bn＝(）n+n。∴Tn＝［]+（1+2+3+…n）。【点睛】本题考查等比数列的定义及通项公式和数列求和中的分组求和，考查了推理能力与计算能力,属于中档题。18。三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面AA1B1B⊥平面ABC,AB＝AA1＝A1B＝4，BC＝2，AC＝2，点F为AB的中点，点E为线段A1C1上的动点.（1）求证:BC⊥平面A1EF;（2）若∠B1EC1＝60°，求四面体A1B1EF的体积。【答案】(1）证明见解析.（2）【解析】【分析】(1）利用等边三角形的性质可得:A1F⊥AB.利用线面、面面垂直的判定定理与性质定理可得：A1F⊥BC。利用勾股定理的逆定理可得：BC⊥AC.进而证明结论.(2）利用直角三角形的边角关系可得:EC1，A1E。由（I)可得：A1F⊥底面A1B1C1，A1F⊥A1E，A1F＝2。可得△A1EF的面积S。由(I）可得：BC⊥平面A1EF,可得B1C1⊥平面A1EF,即可得出四面体A1B1EF的体积.【详解】（1）∵AB＝AA1＝A1B，点F为AB的中点,∴A1F⊥AB，∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC＝AB，∴A1F⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴A1F⊥BC。∵AB＝4,BC＝2,AC＝2，∴AB2＝BC2+AC2,∴∠ACB＝90°，∴BC⊥AC。∵AC∥A1C1，∴BC⊥A1C1，又A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF；(2）∵∠B1EC1＝60°，∴EC1，∴A1E＝2.由（1）可得：A1F⊥底面A1B1C1，∴A1F⊥A1E,A1F＝2.∴△A1EF的面积S4.由（1）可得:BC⊥平面A1EF，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面A1EF，∴四面体A1B1EF的体积S•B1C14×2.【点睛】本题考查了线面、面面垂直的判定定理与性质定理、等边三角形与直角三角形的性质、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。19。某公司为抓住经济发展的契机，调查了解了近几年广告投入对销售收益的影响，在若干销售地区分别投入4万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示）,由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的。（1）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；并估计该公司分别投入4万元广告费用之后,对应地区销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；(2)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据，并整理得到如表:广告投入x（单位:万元)12345销售收益y(单位：万元）2327由表中的数据显示，x与y之间存在着线性相关关系，请将(1）的结果填入空白栏,根据表格中数据求出y关于x的回归真线方程,并估计该公司下一年投入广告费多少万元时，可使得销售收益达到8万元？参考公式:最小二乘法估计分别为，.【答案】(1）宽度为:2，平均值：5（2）空白栏中填5，，投入万元【解析】【分析】（1）由频率分布直方图各个小长方形面积总和为1，建立方程，即可求得结论.利用组中值，求出对应销售收益的平均值;（2）利用公式求出即可计算y关于x的回归方程。【详解】（1）设长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知（0.08+0.1+0。14+0.12+0.04+0。02）m＝1，所以m＝2。小组依次是[0，2），［2，4)，［4，6)，[6，8）,［8，10),[10，12），其中点分别为1，3，5,7，9.11对应的频率分别为0.16，0。20，0.28，0。24，0.08，0.04。故可估计平均值为1×0。16+3×0.20+5×028+7×0.24+9×0。08+11×0.04＝5.（2）空白栏中填5。由题意可知，3，3。8，69，55，所以1.2，3。8﹣1.2×3＝0.2.所以关于x的回归方程为取，得到。【点睛】本题考查频率分布直方图、线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是看出这组变量是线性相关的,进而正确运算求出线性回归方程的系数，属于中档题。20。抛物线C:y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点P在C上,若PF⊥x轴,且△POF（O为坐标原点）的面积为1.（1)求抛物线C的方程；（2）若C上的两动点A,B（A，B在x轴异侧)满足,且|FA|+｜FB|＝｜AB｜+2，求|AB｜的值.【答案】（1)。（2）【解析】【分析】（1）先解出P点坐标，再表示△POF面积为1，解得p，进而得出抛物线方程.（2）设直线AB方程为x＝my+n，A(x1，y1），B（x2,y2），联立抛物线方程，消元x,可得含y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2,y1y2,|AB|①，因为｜FA|+|FB|＝｜AB|+2,得x1+x2＝|AB|，2m2+2n＝|AB｜②由①②得2m2+2n，根据•32，所以y1y2＝32，n2﹣8n﹣128＝0，进而得出答案。【详解】（1）由题知P点的横坐标为,代入抛物线方程得，y2＝2p，解得y＝p或﹣p，所以P（，﹣p）或（，p），△POF面积为1,解得p＝2，所以抛物线C方程为y2＝4x，S△OFP.（2）设直线AB方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2）联立抛物线方程得y2﹣2my﹣2n＝0，y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2n，|AB|①因为｜FA|+｜FB|＝｜AB｜+2,所以x1+1+x2+1＝｜AB|+2,即x1+x2＝|AB|，my1+n+my2+n＝｜AB|，m（y1+y2）+2n＝|AB|，2m2+2n＝｜AB|②由①②得2m2+2n,化简得m2＝n2﹣2n，因为•32,所以x1x2+y1y2＝32，所以y1y2＝32，(y1y2）2+16y1y2﹣16×32＝0，（﹣2n）2+16（﹣2n)﹣16×32＝0，n2﹣8n﹣128＝0,解得n＝﹣8（舍）或16，所以|AB|＝2m2+2n＝2（n2﹣2n）+2n＝2n2﹣2n＝480.【点睛】本题考查抛物线方程,向量在圆锥曲线的应用，直线与抛物线相交，属于中档题.21.已知函数。（1)求证：当x∈（0，π］时，f(x)〈1；（2)求证：当m＞2时，对任意x0∈(0,π］,存在x1∈（0，π]和x2∈(0，π］(x1≠x2）使g(x1)=g(x2)=f(x0)成立。【答案】（1）证明见解析.(2)证明见解析【解析】【分析】（1）变换得到，设，求导得到最值得到答案.(2)只需要求出f（x）在（0,π］上的值域，然后研究g（x)的单调性是先增后减或先减后增，同时说明每一段上的函数值范围都包含f（x）的值域即可.【详解】（1)，，即，设，则，函数单调递减，故，即,得证.（2）f（π)＝0，当时，,故f（x）的值域为[0，1）.又因为g′（x)，x∈（0，π]，m＞2.令∈（0，1）.显然y＝mx﹣2是增函数。∴时，g′（x)＜0，g（x)递减;，g′（x）＞0，g(x）递增。此时g(x）min，（m＞2）。将上式化简并令r（m）＝2lnm﹣m+2﹣2ln2，m＞2.∵，∴r（m)在（2，+∞）上递减.所以r（m）＜r（2）＝0，故g(x)min＜0。显然当x→0时，g（x）→+∞，即当时，g（x）递减，且函数值取值集合包含f（x）的值域［0，1)；而g（π）＝（π﹣1)m﹣2lnπ＞2（π﹣1）﹣2lnπ＝2(π﹣1﹣lnπ）＞2（3﹣1﹣lnπ）,∵，∴，即当x时，g（x）递增，且函数值取值集合包含f（x）的值域［0,1）。所以当m＞2时，对任意x0∈（0，π］，存在x1∈（0,π］和x2∈（0，π］(x1≠x2）使g（x1）＝g（x2）＝f（x0）成立。【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、最值等问题.考查了学生运用数学思想方法(转化与化归、数形结合、函数与方程分类讨论）解决问题的能力.同时考查了学生的逻辑推理、数学抽象、数学运算等数学核