（典型题）2021高考数学二轮复习 知识点总结 算法与复数

PAGEPAGE11算法与复数1.高考题中对算法的程序框图的考查主要以选择题或填空题的形式为主，试题难度中等偏易，试题主要以考查循环结构的程序框图为主，且常常与其它数学知识融汇在一起考查，如算法与函数、算法和数列、算法和统计以及应用算法解决实际问题.2.复数的概念和运算主要考查复数的分类、共轭复数、复平面和复数的四则运算为主，试题侧重对基本运算的考查，试题难度较低易于得满分，主要分布在试卷的第1、2题位置．1．算法的三种基本逻辑结构(1)顺序结构：如图(1)所示．(2)条件结构：如图(2)和图(3)所示．(3)循环结构：如图(4)和图(5)所示．2．复数(1)复数的相等：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.(2)共轭复数：当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．(3)运算：(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i、(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(bc＋ad)i、(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－da,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(4)复数的模：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R).考点一程序框图例1(1)(2013·安徽)如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是 ()A.eq\f(1,6) B.eq\f(25,24) C.eq\f(3,4) D.eq\f(11,12)(2)(2013·课标全国Ⅱ)执行右面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S等于 ()A．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10)B．1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,10！)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,11)D．1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,11！)答案(1)D(2)B解析(1)赋值S＝0，n＝2进入循环体：检验n＝2<8，S＝0＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，n＝2＋2＝4；检验n<8，S＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4)，n＝4＋2＝6；检验n<8，S＝eq\f(3,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(11,12)，n＝6＋2＝8，检验n＝8，脱离循环体，输出S＝eq\f(11,12).(2)k＝1，T＝eq\f(1,1)，S＝1，k＝2，T＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2！)，S＝1＋eq\f(1,2！)，k＝3，T＝eq\f(1,1×2×3)＝eq\f(1,3！)，S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)，…由于N＝10，即k>10时，结束循环，共执行10次．所以输出S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,10！).(1)高考中对于程序框图的考查主要有“输出结果型”“完善框图型”“确定循环变量取值型”“实际应用型”，具体问题中要能够根据题意准确求解．(2)关于程序框图的考查主要以循环结构的程序框图为主，求解程序框图问题关键是能够应用算法思想列出每一次循环的结果，注意输出值和循环变量以及判断框中的限制条件的关系．(1)执行如图所示的程序框图，如果输出的a＝341，那么判断框中可以是()A．k<4? B．k<5?C．k<6? D．k<7?(2)执行如图所示的程序框图，输出的结果S的值为________．答案(1)C(2)－1解析(1)执行程序后，a1＝4a＋1＝1，k1＝k＋1＝2；a2＝4a1＋1＝5，k2＝k1＋1＝3；a3＝4a2＋1＝21，k3＝k2＋1＝4，a4＝4a3＋1＝85，k4＝k3＋1＝5；a5＝4a4＋1＝341，k5＝k4＋1＝6.要使输出的a(2)第一次运行：S＝0，n＝2；第二次运行：S＝－1，n＝3；第三次运行：S＝－1，n＝4；第四次运行：S＝0，n＝5.……可推出其循环周期为4，从而可知，第2011次运行时，S＝－1，n＝2012，此时2012<2012不成立，则输出S＝－1.考点二复数的基本概念例2(1)(2013·安徽)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3 B．－1 C．1 D．3(2)(2013·四川)如图，在复平面内，点A表示复数z，由图中表示z的共轭复数的点是 ()A．A B．BC．C D．D答案(1)D(2)B解析(1)a－eq\f(10,3－i)＝a－(3＋i)＝(a－3)－i，由a∈R，且a－eq\f(10,3－i)为纯虚数知a＝3.(2)表示复数z的点A与表示z的共轭复数的点关于x轴对称，∴B点表示eq\x\to(z).选B.复数的基本概念问题涉及复数的分类、共轭复数、复数相等条件、复平面等基本知识，解决复数基本概念问题关键是能够充分地掌握各个概念，其实质上就是对复数z＝a＋bi(a，b∈R)中实部和虚部的限制条件的应用或运算．(1)复数eq\f(1＋i,1－ai)(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为________．(2)(2012·课标全国)下面是关于复数z＝eq\f(2,－1＋i)的四个命题：p1：|z|＝2;p2：z2＝2i；p3：z的共轭复数为1＋i;p4：z的虚部为－1.其中的真命题为 ()A．p2，p3 B．p1，p2 C．p2，p4 D．p3，p答案(1)1(2)C解析(1)eq\f(1＋i,1－ai)＝eq\f(1＋i1＋ai,1＋a2)＝eq\f(1－a＋1＋ai,1＋a2)，∴1－a＝0，a＝1.(2)利用复数的有关概念以及复数的运算求解．∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，∴p1是假命题；∵z2＝(－1－i)2＝2i，∴p2是真命题；∵eq\x\to(z)＝－1＋i，∴p3是假命题；∵z的虚部为－1，∴p4是真命题．其中的真命题共有2个：p2，p4.考点三复数的运算例3(1)(2013·山东)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数eq\x\to(z)为()A．2＋i B．2－i C．5＋i D．5－i(2)(2012·江苏)设a，b∈R，a＋bi＝eq\f(11－7i,1－2i)(i为虚数单位)，则a＋b的值为________．答案(1)D(2)8解析(1)由(z－3)(2－i)＝5得，z－3＝eq\f(5,2－i)＝2＋i，∴z＝5＋i，∴eq\x\to(z)＝5－i.(2)化eq\f(11－7i,1－2i)为标准形式，利用复数相等，求出a，b.∵eq\f(11－7i,1－2i)＝eq\f(11－7i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq\f(1,5)(25＋15i)＝5＋3i，∴a＝5，b＝3.∴a＋b＝5＋3＝8.(1)与复数z有关的复杂式子为纯虚数，可设为mi(m≠0)，利用复数相等去运算较简便．(2)在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解．(3)熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i，设ω＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝eq\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.(1)已知复数z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to(z)＝________.(2)(2013·安徽)设i是虚数单位，eq\x\to(z)是复数z的共轭复数．若z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，则z等于()A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i答案(1)eq\f(1,4)(2)A解析(1)∵z＝eq\f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq\f(\r(3)＋i,－2－2\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i,－21＋\r(3)i)＝eq\f(\r(3)＋i1－\r(3)i,－21＋\r(3)i1－\r(3)i)＝eq\f(2\r(3)－2i,－8)＝－eq\f(\r(3),4)＋eq\f(1,4)i，故eq\x\to(z)＝－eq\f(\r(3),4)－eq\f(1,4)i，∴z·eq\x\to(z)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)＋\f(1,4)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),4)－\f(1,4)i))＝eq\f(3,16)＋eq\f(1,16)＝eq\f(1,4).(2)设z＝a＋bi，a，b∈R，代入z·eq\x\to(z)i＋2＝2z，整理得：(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝2,a2＋b2＝2b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1，))因此z＝1＋i.1．算法(1)解答有关程序(算法)框图问题，首先要读懂程序(算法)框图，要熟练掌握程序(算法)框图的三个基本结构．(2)循环结构常常用在一些有规律的科学计算中，如累加求和，累乘求积，多次输入等．利用循环结构表示算法，第一要选择准确地表示累计的变量，第二要注意在哪一步结束循环．解答循环结构的程序(算法)框图题，最好的方法是执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误．(3)注意直到型循环和当型循环的本质区别．直到型循环是先执行再判断，直到条件满足才结束循环；当型循环是先判断再执行，若满足条件则进入循环体，否则结束循环．2．复数(1)与复数的相关概念和复数的几何意义有关的问题，一般是先变形，把复数的非代数形式化为代数形式，然后再根据条件，列方程(组)求解．(2)与复数z的模|z|和共轭复数eq\x\to(z)有关的问题，一般都要先设出复数z的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，代入条件，用待定系数法解决．(3)复数运算中常用的结论①(1±i)2＝±2i；②eq\f(1＋i,1－i)＝i；③eq\f(1－i,1＋i)＝－i；④－b＋ai＝i(a＋bi)；⑤i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，其中n∈N.1．已知m∈R，复数1－eq\f(m,i)在复平面内对应的点在直线x－y＝0上，则实数m的值是()A．－1 B．0 C．1 D．2答案C解析1－eq\f(m,i)＝1＋mi，该复数对应的点为(1，m)，∴1－m＝0，m＝1.2．执行如图所示的程序框图，输出的M的值为 ()A．17 B．53 C．161 D．485答案C解析由框图算法可得：M＝1，k＝0；k＝1，M＝3×1＋2＝5；k＝2，M＝3×5＋2＝17；k＝3，M＝3×17＋2＝53；k＝4，M＝3×53＋2＝161；不满足循环条件，跳出循环，输出M＝161，选C.3．已知z是纯虚数，eq\f(z＋2,1－i)是实数，那么z＝________.答案－2i解析由题意设z＝ai(a∈R且a≠0)，∴eq\f(z＋2,1－i)＝eq\f(2＋ai1＋i,1－i1＋i)＝eq\f(2－a＋a＋2i,2)，则a＋2＝0，∴a＝－2，即z＝－2i.一、选择题1．(2013·北京)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于 ()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴对应点坐标为(3，－4)，位于第四象限．2．(2012·陕西)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件答案B解析直接法．∵a＋eq\f(b,i)＝a－bi为纯虚数，∴必有a＝0，b≠0，而ab＝0时有a＝0或b＝0，∴由a＝0，b≠0⇒ab＝0，反之不成立．∴“ab＝0”是“复数a＋eq\f(b,i)为纯虚数”的必要不充分条件．3．设复数z满足z(1＋2i)＝4－2i(i为虚数单位)，则|z|等于 ()A．1 B．2 C.eq\f(3,2) D.eq\f(8,5)答案B解析由题知z＝eq\f(4－2i,1＋2i)，∴|z|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4－2i,1＋2i)))＝eq\f(|4－2i|,|1＋2i|)＝eq\f(\r(20),\r(5))＝2.4．(2013·课标全国Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s属于 ()A．[－3,4]B．[－5,2]C．[－4,3]D．[－2,5]答案A解析由程序框图知：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3tt<1,4t－t2t≥1))，①当－1≤t<1时，－3≤s<3；②当1≤t≤3时，s＝－(t－2)2＋4∈[3,4]，由①②知，s∈[－3,4]．故选A.5．如图所示的程序框图中，若输入值分别为a＝20.9，b＝(－0.9)2，c＝log0.91.3，则输出的数为 ()A．a B．b C．c D．不确定答案A解析由此程序框图可知输出的数是a，b，c三者当中最大的，∵a＝20.9>1，b＝(－0.9)2∈(0,1)，c＝log0.91.3<0，∴a最大．∴输出的数是a，故选A.6．已知i是虚数单位，复数z＝eq\f(－1＋2i,2＋i)＋eq\f(2,1－i)，则|z|等于 ()A．1 B．2 C.eq\r(5) D．2eq\r(2)答案C解析z＝eq\f(5i,5)＋eq\f(21＋i,2)＝1＋2i⇒|z|＝eq\r(5).7．(2013·陕西)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是 ()A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)B．若z1＝eq\x\to(z2)，则eq\x\to(z1)＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)答案D解析由|z1－z2|＝0，则z1－z2＝0，∴z1＝z2，所以eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，故A为真命题；由于z1＝eq\x\to(z2)，则eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)＝z2，故B为真命题；由|z1|＝|z2|，得|z1|2＝|z2|2，则有z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)，故C为真命题，D为假命题．8．执行如图的程序框图，输出的A为 ()A．2047 B．2049 C．1023 D．1025答案A解析该程序框图的功能是求数列{an}的第11项，而数列{an}满足a1＝1，an＝2an－1＋1.∵an＋1＝2an－1＋2＝2(an－1＋1)，∴{an＋1}是以2为首项，以2为公比的等比数列．∴an＝2n－1，∴a11＝211－1＝2047.9．某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，其中可以输出的函数是 ()A．f(x)＝x2 B．f(x)＝eq\f(1,x)C．f(x)＝lnx＋2x－6 D．f(x)＝sinx答案D解析第一个判断框的目的是判断输入的函数是否为奇函数，第二个判断框的目的是判断输入的函数是否存在零点．结合选项知，函数f(x)＝sinx为奇函数，且存在零点，故选D.10．(2013·重庆)执行如图所示的程序框图，如果输出s＝3，那么判断框内应填入的条件是()A．k≤6? B．k≤7?C．k≤8? D．k≤9?答案B解析当k＝2时，s＝log23，当k＝3时，s＝log23·log34，当k＝4时，s＝log23·log34·log45.由s＝3，得eq\f(lg3,lg2