高考数学理二轮课件三角函数的图象与性质

专题三三角函数与平面向量第1讲三角函数的图象与性质主干知识梳理热点分类突破真题与押题1.以图象为载体,考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值,重点考查分析、处理问题的能力,是高考的必考点．考情解读主干知识梳理1．三角函数定义、同角关系与诱导公式(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝

.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(2)同角关系：sin2α＋cos2α＝1，

＝tanα.(3)诱导公式：在

＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．2．三角函数的图象及常用性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象单调性在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ,π＋2kπ](k∈Z)上单调递减对称性对称中心：(kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝

＋kπ(k∈Z)对称中心：(＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(，0)(k∈Z)3.三角函数的两种常见变换y＝sin(x＋φ)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．(2)y＝sinx

y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)．热点一三角函数的概念、诱导公式及同角热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式热点三三角函数的性质热点分类突破三角函数的基本关系热点一三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系思维启迪

准确把握三角函数的定义．解析设Q点的坐标为(x，y)，答案A思维启迪

利用三角函数定义和诱导公式．根据三角函数的定义，(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．思维升华变式训练1解析由三角函数定义，所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，答案

D热点二函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及解析式思维启迪

先根据图象确定函数f(x)的解析式，再将得到的f(x)中的“x”换成“x－

”即可．所以ω＝2，又函数图象过点(，1)，代入解析式中，答案D思维启迪

将零点个数转换成函数图象的交点个数．解析由题意可知y＝2sin(2x＋

)＋a，该函数在[0，

]上有两个不同的零点，结合函数的图象可知1≤－a<2，所以－2<a≤－1.答案(－2，－1](1)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．思维升华(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．思维升华变式训练2

(1)如图，函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，|φ|≤)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，∠PQR＝

，M为QR的中点，PM＝2，则A的值为(

)解析由题意设Q(a,0)，R(0，－a)(a>0).答案B答案D例3设函数f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a(a∈R).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；热点三三角函数的性质思维启迪

先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图).解f(x)＝2cos2x＋sin2x＋a＝1＋cos2x＋sin2x＋a＝

sin(2x＋

)＋1＋a，则f(x)的最小正周期T＝

＝π，(2)当x∈[0，

]时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出y＝f(x)(x∈R)的对称轴方程.函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式；第二步：把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝Asin(ωx＋φ)＋B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.思维升华变式训练3已知函数f(x)＝2sinωxcosωx＋2sin2ωx－

(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)将函数f(x)的图象向左平移

个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象；若y＝g(x)在[0，b](b>0)上至少含有10个零点，求b的最小值.解将函数f(x)的图象向左平移

个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝2sin2x＋1的图象,所以g(x)＝2sin2x＋1，所以在[0，π]上恰好有两个零点，若y＝g(x)在[0，b]上有10个零点，则b不小于第10个零点的横坐标即可，1.求函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ)，或y＝Atan(ωx＋φ))的单调区间(1)将ω化为正.(2)将ωx＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解.本讲规律总结2.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的图象求解析式(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.3.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点.4.求三角函数式最值的方法(1)将三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，进而结合三角函数的性质求解.(2)将三角函数式化为关于sinx，cosx的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解.5.特别提醒进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身.真题感悟押题精练真题与押题12真题感悟12真题感悟12真题感悟答案B真题感悟21真题感悟21真题感悟21答案π押题精练121.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M(m,0)，N(n,2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列哪个区间中是单调的(

)押题精练12解析∵mn<0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M点在原点时，此时T＝π，则ω＝2，押题精练12答案B押题精练12押题精练12押题精练12(2)将函数f(x)的图象向右平移

个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，

]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围.押题精练12解将f(x)的图象向右平移

个单位长度后，得到y＝sin(4x－

)的图象，再将所得图象所有点的横