现代理论课件9wzj第六章最优控制

第六章最优控制最优控制问题的提出研究控制系统的两大课题：●控制系统的分析●

控制系统的综合在建立数学模型的基础上，分析系统的各种性能（如：响应、能控性、能观性、稳定性）及性能与系统的结构、参数和外部作用间的关系。设计控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求都得到满足。24月-23最优控制问题的提出1.常规综合：综合目标仅是为了使系统的性能满足某种笼统的指标。2.最优综合：综合目标要确保系统的性能指标在某种意义上达到最优。系统综合的分类：系统的最优控制34月-23最优控制与最优化的关系⒈最优控制属于最优化的范畴。⒉最优控制和最优化有着共同的性质和理论基础。⒊最优化所涉及的内容极为广泛。⒋最优控制通常是针对控制系统而言。研究最优控制的理论方法：变分法极小值原理动态规划44月-23§6-1

概述(1)一、最优化的概念A900包C1200包B600包运费1元运费2元运费4元运费4元运费5元运费9元仓库甲1500包水泥仓库乙1800包水泥怎样发运使运费最省？54月-23§6-1

概述(2)

二、建立数学模型设：甲仓库运往A、B、C工地的水泥包数分别为：乙仓库运往A、B、C工地的水泥包数分别为：总运费将是的函数64月-23§6-1概述(3)

最优化的任务：为最小确定

x

使目标函数三、约束条件：由于目标函数与约束条件都是x

的一次函数——线性最优化74月-23§6-1

概述(4)

考虑甲仓库到各工地的运费便宜，故有：将此约束条件代入到等式得到：约束条件由不等式等式约束条件84月-23§6-1概述(5)

四、最优化的通常描述目标函数：约束条件为等式约束和不等式约束最优化的任务：在上述约束条件下，寻求

x

，使目标函数取得最优值（最大或最小）。94月-23§6-1概述(6)五、静态优化和动态优化1.静态优化：若变量x

与时间无关，为静态优化。2.动态优化：在最优控制系统中，受控对象是一个动态系统，所有的变量都是时间的函数，为动态优化。3.静态优化和动态优化的关系在动态优化中，将时域[t0，tf]分成许多有限区段，在每一个区段中将变量近似看作常量，则动态优化问题可近似按分段静态优化问题来处理；——离散时间优化问题！104月-23§6-1概述(7)六、泛函数的概念在动态优化中，目标函数是时间函数的函数，称之为泛函数。结论：分段越多，近似程度越高。静态优化和动态优化不是截然分立的。4.动态优化的分类确定性动态优化——没有随机变量，系统的参数全部为确定的。随机性动态优化——系统的参数有随机变量。114月-23§6-1概述(8)例如，在时间定义域[t

0，t

f

]上的目标泛函数为基本约束条件是受控对象的状态方程，如最优控制要解决的问题——在满足上式的约束条件下，寻求最优控制函数使目标泛函数取得极值（最大值或最小值）。124月-23§6-2研究最优控制的前提条件(1)一、给出受控系统的动态描述（状态方程）连续系统：离散系统：二、明确控制作用域应满足某些约束条件即不能在空间任意取值，134月-23§6-2研究最优控制的前提条件(2)将所有满足以上约束条件的点的集合称为控制集，记作将属于的称为容许控制三、明确初始条件固定始端：初始时刻t0给定，初始状态给定。自由始端：初始时刻t0给定，初始状态任意。144月-23§6-2研究最优控制的前提条件(3)可变始端：如果必须满足某种约束条件；相应的始端集为此时，称之为可变始端。四、明确终端条件固定终端：终端时刻tf

给定，终端状态给定。自由终端：终端时刻tf

给定，终端状态任意。154月-23§6-2研究最优控制的前提条件(4)可变终端：指的情况，其中，是由约束条件形成的一个目标集。五、给出目标泛函数（性能指标）连续时间系统：离散时间系统：164月-23§6-2研究最优控制的前提条件(5)六、关于最优控制从可供选择的容许控制集U

中，寻求一个控制矢量使受控系统在时间域[t0，tf]内，从初始状态终止状态或目标集时，性能指标J

取最小（大）值。满足上述条件称之为最优控制状态方程的解在作用下称之为最优轨迹J沿最优轨迹使J

达到最优称之为最优指标174月-23§6-3静态最优化问题的解(1)静态最优化的目标函数求解的方法：古典微分法求函数的极值多元普通函数动态最优化的目标函数泛函数求解的方法：古典变分法求泛函数的极值一、一元函数的极值为区间[a，b]上的单值连续可微函数，存在极值点的必要条件是：184月-23为拐点§6-3静态最优化问题的解(2)为极小值的充要条件：为极大值的充要条件：注意：极值点只是相对于的邻域而言，具有局部性相对极值。在整个定义区间[a，b]上最小的极小值最小值记为：194月-23§6-3静态最优化问题的解(3)二、多元函数的极值n

元函数n

维列向量取得极值的必要条件：或函数的梯度为0矢量：取得极小值的充要条件：204月-23§6-3静态最优化问题的解(4)即，海赛矩阵为正定矩阵214月-23§6-3静态最优化问题的解(5)例题6-1设：求的极值点和极小值解：由极值的必要条件得到联立解得224月-23§6-3静态最优化问题的解(6)海赛矩阵：正定极值点为极小值点极值点为：极小值234月-23§6-3静态最优化问题的解(7)三、具有等式约束条件的极值通过等效变换，将等式约束化为无约束例：封闭圆柱形容器的容积现给定铁皮的面积S

＝A

为一定容积为最大，受约束条件的约束常用的解决方法：嵌入法（消元法）拉格朗日乘子法（增元法）244月-23§6-3静态最优化问题的解(8)⑴嵌入法从约束条件中解出一个变量，然后带入目标函数受约束条件限制的目标函数无约束条件限制的目标函数在圆柱容器容积问题中，解出代入目标函数，得到无约束条件限制的目标函数254月-23§6-3静态最优化问题的解(9)取极值：得到极值点：极大值点最大容积：264月-23§6-3静态最优化问题的解(10)⑵拉格朗日乘子法（增元法）约束条件乘子λ×＋目标函数新的可调整函数没有约束条件的三元函数取得极值的条件：274月-23§6-4离散时间系统的最优控制(1)一、基本形式离散时间动力系统：第k

步～k

＋１步间系统的控制输入，ｒ维。离散时间系统的最优控制使目标函数最小确定控制矢量序列284月-23§6-4离散时间系统的最优控制(2)强调不趋于零时，在目标函数中要付出的代价。二、与静态最优化的区别——只是变量的个数增加了N倍，本质没有区别。约束条件294月-23§6-4离散时间系统的最优控制(3)拉格朗日待定系数也增加了N倍构造的新函数为：求：有约束条件的目标函数J

的极小值求：无约束条件的目标函数V

的极小值304月-23§6-4离散时间系统的最优控制(4)记：令：注意下标！314月-23§6-4离散时间系统的最优控制(5)求V的增量，忽略高阶无穷小，得其线性主部：324月-23§6-4离散时间系统的最优控制(6)V

取极小值的必要条件为：△V

＝0由有前式取得极小值的必要条件变成：334月-23§6-6泛函及其极值——变分法(1)一、变分法的基本概念⒈泛函的概念——函数的函数（通俗的概念）函数：定义域中的每一个x

y

都有一个（或一组）确定的值对应对应则称：y

是x

的函数，记为泛函的概念？宗量，不是独立的自变量因变量——是某独立自变量

t

的函数（函数的嵌套）泛函344月-23§6-6泛函及其极值——变分法(2)关于泛函的定义还可理解为：对应某一类函数中的每一个确定的函数因变量J都有一确定的值注意：不是函数值！注意：不是函数！是宗量的泛函数354月-23§6-6泛函及其极值——变分法(3)△x△y△xy0例如：曲线长度（弧长）是曲线函数的泛函数。364月-23§6-6泛函及其极值——变分法(4)确切的值弧长是宗量函数的泛函数374月-23§6-6泛函及其极值——变分法(5)由于L

一般也是x，y

的函数，因此；在控制系统中，自变量是时间t

，宗量函数是状态矢量积分型泛函384月-23§6-6泛函及其极值——变分法(6)2.泛函的极值——变分变分——求泛函极大值或极小值的问题称之为变分问题变分法——求泛函极值的方法称之为变分法泛函数在任意一条与接近的曲线上所取的值不小于，即△则称：泛函在曲线上达到极小值。泛函极小值定义：394月-23§6-6泛函及其极值——变分法(7)泛函极大值定义：△两个函数的接近问题：如果定义域中的一切x

都成立：与则称；函数有零阶接近度特点：具有零阶接近度的两条曲线的形状差别可能很大404月-23§6-6泛函及其极值——变分法(8)如果满足：与则称函数有k

阶接近度特点：接近度阶次越高，两条曲线的形状差别越小。

414月-23§6-6泛函及其极值——变分法(9)线性泛函：424月-23§6-6泛函及其极值——变分法(10)⒊泛函的变分泛函的增量：宗量的变分的线性连续泛函的高阶无穷小项△定义：泛函增量的线性主部为泛函的变分434月-23泛函可微定义：若泛函有变分且其增量可用下式表示△则泛函J

是可微的泛函的变分也可定义为：且等于§6-6泛函及其极值——变分法(11)444月-23§6-6泛函及其极值——变分法(12)证明：454月-23§6-6泛函及其极值——变分法(13)464月-23§6-6泛函及其极值——变分法(14)泛函变分的规则：474月-23§6-6泛函及其极值——变分法(15)例题6-3求泛函的变分解：由式△得线性主部：484月-23§6-6泛函及其极值——变分法(16)泛函的变分：另一解法：由式得到：494月-23§6-6泛函及其极值——变分法(17)结果：与前一种方法求得的结果相同⒋泛函极值定理若可微泛函在上达到极值，则在上的变分＝0504月-23§6-6泛函及其极值——变分法(19)二、泛函极值的必要条件——欧拉方程1.关于求泛函的极值问题求的极值确定一个函数使Min2.求泛函极值的几何意义寻求一条曲线给定的连续可微函数沿该曲线的积分达到极小（大）值极值曲线514月-23§6-6泛函及其极值——变分法(20)3.定理取得极值的必要条件是：为二阶微分方程

的解性能泛函终点始点展开式二阶连续可导至少二次连续可微524月-23§6-6泛函及其极值——变分法(21)证明：任意连续可微在极值曲线附近有一容许曲线则代表了～之间所有可能的曲线534月-23§6-6泛函及其极值——变分法(22)将式代入得到分析：每一条不同的曲线，性能泛函J

对应着不同的值寻求使

J

达到极值的曲线考察的变动对于J

变化的影响544月-23§6-6泛函及其极值——变分法(23)分析：曲线的变动，是ε变化的结果结论：性能泛函J

成了ε的函数，并在上达到极值。有下式成立：式6-101554月-23§6-6泛函及其极值——变分法(24)对ε求导并利用式6-101式6-100式6-102564月-23§6-6泛函及其极值——变分法(25)上式左端第2项：代入到式6-102中因设端点固定574月-23§6-6泛函及其极值——变分法(26)泛函数取得极值的必要条件欧拉（Euler）方程欧拉方程是一个二阶微分方程极值曲线是满足欧拉方程的解以上为微分处理的方法：将性能泛函J

看作ε的函数，然后用微分求极值。实际应用中，采用变分法来求泛函的极值584月-23§6-6泛函及其极值——变分法(27)性能泛函在ε=0的邻域内展开成泰勒级数一次以上高次项泛函的增量：594月-23§6-6泛函及其极值——变分法(28)

的一阶变分

的一阶变分△J

的线性主部604月-23§6-6泛函及其极值——变分法(29)泛函取得极值的必要条件为：欧拉方程横截条件在固定端点问题中，所以，泛函数取得极值的必要条件就是欧拉方程。614月-23§6-6泛函及其极值——变分法(30)求解欧拉方程有2个积分常数待定；固定端点：——两个边界条件自由端点：有1个或2个端点是自由的，因此缺少1个或2个边界条件，可由横截条件来补充；——始端自由终端自由——624月-23§6-6泛函及其极值——变分法(31)例题6-5受控对象的微分方程为求：最优控制，使下列目标泛函取得极小值。—为边界条件解：将微分方程代入到目标泛函中解此微分方程：————欧拉方程为：634月-23§6-6泛函及其极值——变分法(32)将边界条件代入得到：解出积分常数极值曲线为：双曲正弦函数最优控制为：644月-23§6-6泛函及其极值——变分法(33)三、多元泛函的极值条件含标量未知函数的泛函极值问题设——n

维变量多元泛函的目标函数成为：及和的标量函数⒈多元泛函的目标函数矢量的情况654月-23§6-6泛函及其极值——变分法(34)2.求多元泛函的极值条件思路——令：中的任意一个进行变分其余n–1个变量保持不变，或其变分为0因此，J

就成了只依赖的泛函数，J

取得极值的必要条件——欧拉方程例如664月-23§6-6泛函及其极值——变分法(35)由于

i

是中任意一个；取得极值的必要条件是下列方程组成立：．．．．．．欧拉方程边界条件674月-23§6-6泛函及其极值——变分法(36)欧拉方程的矢量形式为：边界条件：对自由端点，其边界条件为：自由终端：自由始端：684月-23§6-6泛函及其极值——变分法(37)边界条件为：求泛函例6-6的极值曲线解：被积函数首先将看成常数，得到关于的偏导数694月-23§6-6泛函及其极值——变分法(38)得到欧拉方程为：704月-23§6-6泛函及其极值——变分法(39)再将看成常数，得到关于的偏导数得到欧拉方程为：714月-23§6-6泛函及其极值——变分法(40)联立解方程组：由边界条件得到：极值曲线为：724月-23§6-6泛函及其极值——变分法(41)四、可变端点问题（以下开始为非考试范围）始端和终端或是固定，或是自由；前面讨论问题的前提：但：始端时刻和终端时刻都是固定不变始端固定〔和给定〕，终端时刻沿给定曲线（靶线）变动。现在讨论问题的前提：734月-23§6-6泛函及其极值——变分法(42)现在的问题：寻求一条连续可微的极值曲线，当它由给定的端点性能泛函：——待求量给定终端约束曲线取得极值744月-23§6-6泛函及其极值——变分法(43)分析：是变动的，因此其变分必须落在终端约束曲线上终止状态求泛函的极值：确定最优轨迹确定最优终端时刻定理：设轨迹从固定始端到达给定终端曲线使性能泛函754月-23§6-6泛函及其极值——变分法(44)取得极值的必要条件是：———————欧拉方程——终端横截条件二阶连续可导至少两次连续可微一阶连续可导764月-23§6-6泛函及其极值——变分法(45)证明：极值曲线对应的终端为包含在内的一束邻近曲线终端为由于变动必须定义一个与相应的终端时刻集合每一条轨迹的都不同代入774月-23§6-6泛函及其极值——变分法(46)根据极值条件：784月-23§6-6泛函及其极值——变分法(47)注意：和不是相互独立的受约束于终端条件————由式6-128式6-129代入对ε求导，并令ε→0794月-23§6-6泛函及其极值——变分法(48)代入式6-133中804月-23§6-6泛函及其极值——变分法(49)由于