上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精上海市曹杨二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题含解析2019—2020学年曹杨二中高二上期末数学试卷一、填空题1。三个平面最多把空间分割成个部分．【答案】8【解析】试题分析：两个平面相交把空间分成四部分，第三个平面从中间截开,把每一部分一分为二，故可把空间分成八部分．考点:空间两个平面的位置关系．2.若线性方程组的增广矩阵是，解为，则_______；【答案】12【解析】【分析】根据增广矩阵还原出相应的线性方程组,然后将代入线性方程组即可得到的值，即可得答案．【详解】由题意，此增广矩阵对应的线性方程组为:将代入方程组得：∴.故答案为：。【点睛】本题主要考查线性方程组与增广矩阵的对应关系，以及根据线性方程组的解求参数,属于基础题.3。若行列式中元素的代数余子式的值为5,则______；【答案】【解析】【分析】由题意可知求得，代入即可求得的值．【详解】由题意可知求得，∴.故答案为：.【点睛】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义及行列式的运算，考查计算能力，属于基础题．4.已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,侧面积为6，则该圆锥的体积等于____．【答案】【解析】【分析】分别求得底面积和高，利用圆锥的体积公式求解即可。【详解】设圆锥的底面半径为R,因为轴截面是等边三角形,所以母线长为2R，高为，侧面积S＝，解得:R＝，所以，圆锥体积为：V＝＝3.故答案为.【点睛】本题主要考查了圆锥的体积的计算，属于基础题。5.．四面体的外接球球心在上，且，，在外接球面上两点间的球面距离是．【答案】【解析】【详解】因为四面体的外接球球心在上,且，，所以在外接球面上两点间的球面距离是.6。在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，二面角A﹣BD﹣A1的大小为_____．【答案】【解析】【分析】连接,交于,连，可得是二面角A﹣BD﹣A1的平面角,在直角三角形中可求得结果.详解】连接,交于，连，如图所示:因为,且在底面内的射影是,所以由三垂线定理可得，所以是二面角A﹣BD﹣A1的平面角，设正方体的棱长为1，则，,所以，因为，所以.故答案为：.【点睛】本题考查了三垂线定理,考查了求二面角，关键是作出二面角的平面角，属于基础题。7。若正四棱锥的底面边长为3，高为2。则这个正四棱锥的全面积为______；【答案】24【解析】【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再由正方形及三角形面积公式求解．【详解】如图所示，四棱锥为正四棱锥，高,底面边长．过作，垂足为，连接，则斜高．正四棱锥的全面积是．故答案为:。【点睛】本题考查正四棱锥的全面积求法，考查计算能力，是基础题．8。已知是棱长为的正四面体.则异面直线与间的距离为_______；【答案】【解析】【分析】连结、，推导出，,由此能证明线段是异面直线与的公垂线段．在中，求出的长度即可.【详解】如图，取为的中，为的中点，连结、，由、为等边三角形，，．同理，．又与、都相交，故线段是异面直线与的公垂线段．在中，,，故异面直线与的距离为．【点睛】本题考查两条异面直线的公垂线长的求解，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想．9。若数列满足，，，则______；【答案】【解析】【分析】根据递推关系，少递推一项再相减，从而得到，再利用累乘法求得答案。【详解】∵，∴，两式相减得：，∴，∴，∴。故答案为：。【点睛】本题考查数列的递推关系求通项,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意累乘法的运用.10.某几何体的一条棱在主视图、左视图和俯视图中的长分别1，2，3，则这条棱的长为______;【答案】【解析】【分析】由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，利用三视图中的三个投影是三个面上的对角线，即可求出棱长的值．【详解】如图所示，由棱和它在三视图中的投影扩展为长方体，则三视图中的三个投影，是三个面上的对角线，设这个长方体的长、宽、高分别是、、，对角线长为，则，,，，，．故答案为：．【点睛】本题考查棱的三视图,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意构造长方体模型进行求解.11。对于实数,用表示其小数部分，例如，,若,，则数列的各项和为______；【答案】【解析】【分析】根据的定义得数列的特点，再利用无穷递减等比数列的求和公式，进行求和。【详解】根据的定义得:或，∴。故答案为：。【点睛】本题考查无穷递减等比数列求各公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将所有项的和分成奇数项和与偶数项的和。12。下图是一座山的示意图。山呈圆锥形.圆锥的底面半径为10公里.侧棱长为40公里.是上一点，且公里。为了发展旅游业，要建设一条最短的从绕山一周到的观光铁路这条铁路从出发到的最短距离为_______公里;【答案】【解析】【分析】将圆锥的侧面展开，求得其展开图的扇形的圆心角为，利用勾股定理可求得的长度。【详解】如图所示为圆锥的侧展图，∵,∴，∴.故答案为：。【点睛】本题考查圆锥的侧展图、弧度计算、勾股定理，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查空间想象能力和运算求解能力.二、选择题13。在学习等差数列时，我们由，.,……，得到等差数列的通项公式是。像这样由特殊到一般的推理方法叫做（）A。不完全归纳法 B.完全归纳法C.数学归纳法 D.分析法【答案】A【解析】【分析】本题由题干可知由特殊到一般性的推理属于归纳推理．【详解】本题由前三项的规律猜想出一般项的特点属于不完全归纳法，但本题并不是数学归纳法，故选：A．【点睛】本题主要考查归纳法的特点，以及数学归纳法与不完全归纳法的区别．14.执行如图所示的程序框图。则输出的的值为（）A。 B。8 C。14 D。18【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟计算即可．【详解】第一次,，,不满足条件，第二次，，，不满足条件，第三次，,,满足条件，输出，故选：B．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键．15。设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成角为，直线与平面所成角为，二面角的平面角为,则（）A。 B.C. D。【答案】B【解析】【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解，而后比较大小。而充分利用图形特征,则可事倍功半。【详解】方法1：如图为中点，在底面的投影为，则在底面投影在线段上,过作垂直，易得，过作交于，过作，交于，则，则，即，，即，综上所述,答案为B。方法2：由最小角定理，记的平面角为（显然）由最大角定理，故选B.方法3：（特殊位置)取为正四面体,为中点，易得，故选B。【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法.16。已知平面与互相垂直，与交于，和分别是平面，上的直线.若，均与既不平行。也不垂直,则与的位置关系是（）A.可能垂直,但不可能平行 B.可能平行，但不可能垂直C。可能垂直，也可能平行 D。既不可能垂直，也不可能平行【答案】D【解析】【分析】利用反证法，结合线面平行、垂直的判定定理与性质定理推导出与题设的矛盾，从而证明结论．【详解】①假设，与既不垂直，也不平行，，过在内作直线，，，，,又，，，，这与与既不垂直，也不平行矛盾,不可能垂直于，同理：也不可能垂直于；②假设,则，,,这与和与既不垂直,也不平行矛盾，故、不平行．故选:D．【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直的判定及性质，考查转化与化归思想，考查空间想象能力．三、解答题17.如图,某公司制造一种海上用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成,其中圆柱筒的高为2米，球的半径为0。5米.(1）求“浮球”的体积（结果精确到0.1立方米）;（2)假设该“浮球”的建造费用仅与其表面积有关,已知圆锥形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元,求该“浮球"的建造费用（结果精确到1元）。【答案】(1）；（2）220元【解析】【分析】(1)根据球的半径得到上下两个半球的体积之和,再由柱体体积公式算出圆柱筒的体积，相加即得该“浮球”的体积大小；（2）计算球的表面积公式和圆柱侧面积公式，结合条件,即可得到结论．【详解】（1)球的半径为0。5米，两个半球的体积之和为，圆柱的高为2米，，该“浮球”的体积是：；（2)圆柱筒的表面积为；两个半球的表面积为,圆柱形部分每平方米建造费用为20元，半球形部分每平方米建造费用为30元，该“浮球”的建造费用为元．【点睛】本题给出由两个半球和一个圆柱筒接成的“浮球”，计算了它的表面积和体积，着重考查了球、圆柱的表面积公式和体积公式等知识，属于中档题．18。如图。在四棱锥中，平面,且，，，，,.(1）求异面直线与所成角的大小；（2)求点到平面的距离。【答案】(1）；（2）;【解析】【分析】(1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角大小．（2)求出平面的一个法向量，利用向量法能求出点到平面的距离。【详解】（1)以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，设异面直线与所成角为，则，所以异面直线与所成角大小为。（2）设平面的一个法向量为，,,，，则，取,得，∴点到平面的距离.【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想,是中档题．19。已知数列的前项和为，且,.（1）求证:数列是等比数列；(2）求当为何值时，取最小值，并说明理由。【答案】(1)见解析；(2)12;【解析】【分析】(1）根据递推关系，多递推一项再相减，得，再利用定义证明数列为等比数列;（2)由（1）得关于的表达式，再判断的单调性，即可得答案.【详解】（1）∵，∴，两式相减得:，,∴，∴数列是等比数列。（2）由（1）得：数列以为首项，以为公比的等比数列,∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴时,取最小值.【点睛】本题考查利用数列的递推关系证明等比数列、数列的单调性判断，考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式的求解.20.如图，在三棱柱中，平面，，分别是的中点。（Ⅰ）证明：；(Ⅱ)证明：平面；（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.【答案】（Ⅰ)证明见解析；（Ⅱ）证明见解析;（Ⅲ）。【解析】【详解】分析:(Ⅰ）先证明平面，再证明.(Ⅱ)取的中点，连接、．先证明DE∥AM，再证明平面.(Ⅲ)利用向量法直线与平面所成角的正弦值。详解：（Ⅰ）因为⊥平面，平面,所以．因为,，，平面，所以平面．因为平面，所以．（Ⅱ）取的中点,连接、．因为、分别是、中点,所以ME∥,且ME．在三棱柱中，，且，所以ME∥AD，且ME=AD，所以四边形ADEM是平行四边形，所以DE∥AM．又平面，平面，所以平面．（Ⅲ）在三棱柱中，，因为，所以．在平面内，过点作，因为，平面，所以，平面．建立空间直角坐标系C-xyz，如图．则，，，，,.，，．设平面的法向量为，则，即，得，令，得，故．设直线DE与平面所成的角为θ，则sinθ＝,所以直线与平面所成角的正弦值为.点睛:本题主要考查空间位置关系的证明和线面角的向量求法，意在考查空间位置关系证明中的转化能力和运算能力.21.给定整数（)，设集合，记集合．(1）若,求集合；(2）若构成以为首项，（)为公差的等差数列，求证:集合中的元素个数为；（3)若构成以为首项，为公比的等比数列,求集合中元素的个数及所有元素之和．【答案】（1）（2)见解析（3）【解析】【分析】(1)由新定义和集合的列举法，可得所求集合；（2）运用等差数列为递增数列，以及性质,即可得到所求个数；(3）由等比数列的通项公式和性质，结合新定义计算可得所求结论．【详解】（1)因,当时,∴．（2）因为构成以为首项，（)为公差的等差数列，所以有(）,以及（)．此时，集合中的元素有以下大小关系：．因此，集合中含有个元素．（3）由题设，．设集合，．①先证中的元素个数为，即从集合中任取两个元素，它们的和