模糊理论与模糊控制-第二章

2015年模糊理论与模糊控制_第二章第一页，共130页。三类数学模型确定性数学模型确定性数学模型往往用于描述具有清晰的确定性、归属界线分明、相互间关系明确的事物。“数学分析、微分方程、矩阵分析”随机性数学模型随机性数学模型常用于描述具有或然性或者随机性的事物，这类事物本身是确定的，但是它的发生与否却不是确定的。“概率论、随机过程”模糊性数学模型模糊性数学模型适用于描述含义不清晰、概念界线不分明的事物，它的外延不分明，概念的归属上不明确。“模糊数学、模糊逻辑”第二页，共130页。2.1模糊集合1、模糊概念模糊性通常是指对概念的定义以及语言意义的理解上的不确定性。例如，“大苹果”、“老年人”、“高温”、“大量”等语辞所包含的不确定性即为模糊性。显然模糊性强调的不确定性与概率论的随机性是不同的。为了对事物进行识别，必须对事物按不同的要求进行分类。许多事物可以依据一定的标准进行分类。用于这种分类的数学工具就是集合论。解决精确性的集合问题可以用经典集合论。世界上大多数事物具有模糊性。为了描述具有模糊性的事物，引入模糊集合的概念。3第三页，共130页。模糊概念天气冷热雨的大小风的强弱人的胖瘦年龄大小个子高低4第四页，共130页。2.1模糊集合集合“集合”这一概念不能加以精确定义，只能予以描述。一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体本质属性就是这概念的内涵。外延是指符合某一本质属性的全体对象的总和。集合的内涵就是它的基本属性，其外延则指它的全体元素。通常将集合分为有限集和无限集。5第五页，共130页。

2.经典集合（非此即彼）如：A={X|X>6}经典集合：论域—讨论的范围U、V、W集合—U上的一部分叫U上的集合A、B、C元素—A、B、C中的元x、y、z、u、v、w幂集—所有集合的集合P(A)表示方法：定义法 A={x|x为偶数，x<10}列举法 A={2,4,6,8}特征函数法

经典集合的隶属度函数6第六页，共130页。

经典集合的运算：①子集与包含AB或BA②集合的相等A=B③并集（逻辑和）C=AB④交集（逻辑积）C=AB⑤差集（逻辑差）B=A－DB=U－A=AC=Ᾱ⑥空集和全集⑦幂集：对于给定集合A，以它的全体子集为元素组成的集合，称为A的幂集，记作P(A)。7第七页，共130页。

8第八页，共130页。

3.模糊集合经典集合论研究的对象都是清晰的、确定的、彼此可以区分的事物。“非此即彼”有许多事物表现出“亦此亦彼”的特性。模糊性起源于事物的发生、发展和变化性，处于过渡阶段的事物，其最大特征就是性态的不确定性和类属的不分明性，即模糊性。也就是概念外延的不确定性基本概念：边界不很明确的同一类模糊事物或模糊概念的“集合”，称为“模糊集合”。集合中元素的取值范围称为论域。模糊集合论：用清晰的数学方法

描述、研究模糊事物的数学理论。“沙堆悖论”：一粒沙子肯定不叫一堆，两粒不叫一堆，三粒也不叫⋯⋯1亿(108)粒沙子肯定得叫一堆。从沙堆每次减少一粒沙子，剩下的应该还叫一堆。如果从沙堆上每次拿去一粒，沙堆的沙子逐渐减少：由108粒、108－1粒、108－2粒⋯⋯减少到何时才不叫一堆呢？“堆”的界线是多少粒沙子呢？类似的悖论还有很多。9第九页，共130页。

定义2.1：

模糊集合（FuzzySets）论域(UniverseofDiscuss)U上的模糊集合F是指，对于论域U中的任意元素u∈U，都指定了[0,1]闭区间中的某个数F(u)∈[0,1]与之对应，称为u对F的隶属度(DegreeofMembership)，通常将模糊集合表示为。这就定义了一个映射F：这个映射称为模糊集合的隶属函数(MembershipFunction)。在不混淆的情况下，将模糊集合简记为F。μF∶U→[0,1]

u→μF(u)10第十页，共130页。上述定义表明：1.U本身是普通集合；论域U上的子集F为模糊集合，由隶属函数μF(u)来表征2.μF(u)的取值范围为闭区间[0,1]μF(u)的大小反映了u对于集合F的从属程度μF(u)的值接近于1，表示u从属于F的程度很高μF(u)的值接近于0，表示u从属于F的程度很低模糊集合完全由隶属函数所描述当μF(u)的值域变为{0,1}时，隶属函数μF(u)蜕化为经典集合的特征函数，模糊集合也就蜕化为经典集合。经典集合是模糊集合的特殊形式，模糊集合是经典集合的推广μF∶U→[0,1]

u→μ(u)11第十一页，共130页。3.模糊集合由其隶属函数来刻画隶属函数是模糊数学的最基本概念，借助于它才能对模糊集合进行量化。图2.1普通集合对温度的定义图2.2模糊集合对温度的定义12第十二页，共130页。例：我们以人的年龄为论域，讨论“年轻”、“中年”、“老年”这三个模糊集合的划分情况，分别用模糊集合A、B、C来表示。它们的论域都是［1，100］，论域中的元素是u，我们规定模糊集合A、B、C的隶属函数μA(u)、μB(u)、μC(u)如图所示。13第十三页，共130页。例：模糊集合A表示“接近于４的数”，A的隶属函数可能是：左边三角形隶属函数

右边为高斯型隶属函数同一个模糊概念可以用不同的Ｆ集合即隶属函数表述这是人们主观性的多样性、人类语言模糊性的反映，表现出了模糊数学的精确性。14第十四页，共130页。定义2.2：设A是论域U上的模糊集合支集（Support）SuppA={u|u∈U，μF(u)>0},称SuppA为模糊集合集合A的支集；例如，模糊集合B（“中年”）的支集是开区间（35，60）。核（Kernel）KerA＝{u|u∈U，μF(u)=1}，称KerA为模糊集合A的核；把KerA≠的模糊集合称为正规模糊集。模糊集合A的支集和核，都是经典集合。数λ与集合A的数积λ∈[０，1]，u∈U。集合“λA”满足下述条件：(λA)(x)＝λ∧A(x)，称λA为数λ与集合A的数积。15第十五页，共130页。16第十六页，共130页。4.模糊集合的表示方法（1）当U为离散有限域U={u1，u2，…，un}时，模糊集合F通常有以下三种表示方法。扎德（Zadeh）表示方法式中的μF(ui)/ui不代表分式，表示论域U中元素ui及其隶属函数μF(ui)之间的对应关系。符号“＋”也不表示“加法”运算，而是表示模糊集合在论域U上的整体。列举表示方法向量法F=［μF(u1)，μF(u2)，…，μF(un)］注意：隶属度等于零的项不能舍弃，必须依次列入。③序偶表示法:F={(u1，μF(u1))，(u2，μF(u2))，…，(un，μF(un))}17第十七页，共130页。例:

在论域U={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中讨论“小的数”F这一模糊概念，分别写出上述三种模糊集合的表达式。

解

根据经验，定量地给出“小的数”这一模糊概念的隶属函数。

Zadeh表示法：

向量表示法：

F=[1，0.9，0.7，0.5，0.3，0.1，0，0，0，0]

序偶表示法：

F={(1，1)，(2，0.9)，(3，0.7)，(4，0.5)，(5，0.3)，

(6，0.1)，(7，0)，(8，0)，(9，0)，(10，0)}

18第十八页，共130页。（2）当论域U为离散无限域时，通常有两种表示方法。可数情况：扎德表示方法不可数情况：扎德表示法（3）当U为连续无限论域时，模糊集合F表示为扎德表示方法隶属函数的解析式表达

19第十九页，共130页。

例

以年龄为论域，设U=[0，200]，扎德给出了“年轻”Y与“年老”O两个模糊集合的隶属度函数：采用扎德表示法，“年轻”Y与“年老”O模糊集合可写为20第二十页，共130页。

“年轻”与“年老”隶属函数曲线21第二十一页，共130页。例：设“智能玩具”这一模糊概念属于论域E，其外延是一个模糊集合A，若某超市有卖的五件智能玩具：{e1、e2、e3、e4、e5}，对A的隶属度分别为：μA(e1)=0.5,μA(e2)=0.8,μA(e3)=0.4,μA(e4)=0.3,μA(e5)=0.0

Zadeh表示法：

向量表示法：

F=[0.5，0.8，0.4，0.3，0.0]

序偶表示法：22第二十二页，共130页。2.2模糊集合的隶属函数确定隶属函数的原则隶属函数是人们对客观事物中介过渡的定性描述，这种描述本质上是客观的。由于模糊理论研究的对象具有模糊性和经验性，每个人对同一模糊概念的认识和理解存在差异，因此，隶属函数的确定又含有一定的主观因素。尽管确定隶属函数的方法带有主观因素，但主观的反映和客观的存在是有一定联系的，是受到客观制约的。因此，隶属函数的确定应遵守一些基本原则。23第二十三页，共130页。（1）隶属函数的确定应遵守一些基本原则表示隶属函数的模糊集合必须是凸模糊集合定义：

凸模糊集合设实数论域中模糊集合A在任意区间[x1，x2]上，对所有的实数x∈[x1，x2]都满足

μA(x)≥min{μA(x1)，μA(x2)}

则称A为凸模糊集合，否则即为非凸模糊集合。24第二十四页，共130页。例：某专家根据他本身的经验对“舒适”温度的隶属函数定义如下：隶属度为1.0的温度点为20℃，即在20℃左右是“舒适”；越是偏离这个温度，其隶属度越小，即舒适的程度越小；至于30℃的隶属度是0.5而不是0.45，只能由经验确定。但是，这种经验并不意味着可以任意确定，因为可以称得上专家的经验，那肯定不是一种具有任意性的经验，通常都是指具有相当成功把握和代表性的经验。25第二十五页，共130页。通常，某一模糊概念的隶属函数的确定应首先从最适合这一模糊概念的点下手，然后向两边延伸。延伸时其隶属函数的值必须单调递减，不允许有波浪形。否则会产生明显不合逻辑的状态。图

隶属函数向最大值两边延伸的差别图26第二十六页，共130页。变量所取隶属函数通常是对称和平衡的一般情况下，描述变量的模糊集合安排得越多，模糊控制系统的分辨率就越高，其系统响应的结果就越平滑；但模糊规则会明显增多，计算时间增加，设计困难加大。如果描述变量的模糊集合安排得太少，则其系统的响应可能会太不敏感，并可能无法及时提供输出控制跟随小的输入变化，以使系统的输出在期望值附近振荡。实践表明，一般取3～9个模糊集合为宜，并且通常取奇数个，在“零”、“适中”或“正常”集合的两边，模糊集合通常是对称的。27第二十七页，共130页。隶属函数要符合人们的语义顺序，避免不恰当的重叠在相同论域上使用的具有语意顺序关系的若干模糊集合，例如“冷”、凉”、“适中”、“暖”、“热”等模糊子集其中心值位置必须按这一次序排列，不能违背常识和经验。隶属函数由中心值向两边模糊延伸的范围也有一定的限制，间隔的两个模糊集合的隶属函数尽量不重叠。右图中“凉”和“热”由“适中”所间隔。但“凉”和“热”存在着严重的重叠现象。28第二十八页，共130页。论域中的每个点应该至少属于一个隶属函数的区域，同时，它一般应该属于至多不超过两个隶属函数的区域；对同一个点没有两个隶属函数会同时有最大隶属度；当两个隶属函数重叠时，重叠部分的任何点的隶属函数的和应该小于等于1。29第二十九页，共130页。为了定性研究隶属函数之间的重叠，Motorola公司的Marsh提出重叠率和重叠鲁棒性的概念，并用这两个指数来描述隶属函数的重叠关系。30第三十页，共130页。例：

计算下图所示模糊集合的重叠率及重叠鲁棒性解：①图(a)模糊集合A1与A2无重叠。因此，重叠率等于0；重叠鲁棒性也等于0。31第三十一页，共130页。②由图(b)可知，模糊集合A1与A2的重叠范围为70－60=10，附近隶属函数的范围为80－50=30。用ξ表示重叠率，用σ表示重叠鲁棒性：32第三十二页，共130页。由图(c)可知，模糊集合A1与A2的重叠范围为U－L=65－60=5，

A1

，A2附近隶属函数的范围为75－50=25，因此，33第三十三页，共130页。对于重叠指数的选择，一般取重叠率为0.2～0.6为宜；重叠鲁棒性的值通常比重叠率稍大一点，一般为0.3～0.7。重叠率和重叠鲁棒性越大，模糊控制模块就更具有模糊性，而低重叠指数适用于有较大明确相关性的输入输出系统。34第三十四页，共130页。（2）确定隶属函数的方法模糊统计法对论域U上的一个确定元素u0，考虑n个有模糊集合A属性的普通集合A*以及元素u0对A*的归属次数。u0对A*的归属次数和n的比值就是元素u0对模糊集合A的隶属度：例：对于“青年人”这一模糊集合，27岁属于“青年人”的隶属度是多少呢？对n=129人进行调查，其中101人认为27岁完全属于青年人，因此，27岁属于“青年人”Y模糊集合的隶属度是35第三十五页，共130页。专家经验法：由专家的实际经验给出模糊信息的处理算式或相应权系数来确定函数的方法。二元排序法：通过对多个事物之间两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些事物对该特征的隶属函数的大致形状。可分为相对比较法、对比平均法、优先关系排序法和相似优先比较法等。36第三十六页，共130页。相对比较法：设论域U中的元素为u1，u2，…，un，要对这些元素按某种特征进行排序。首先要在二元对比中建立比较等级，然后再用一定方法进行总体排序，以获得诸元素对于这个特性的隶属度函数。用该方法确定隶属度函数的具体步骤如下：设论域U中一对元素(u1，u2)，其具有某特征的等级分别为和

，意思就是，在u1和u2的二元对比中，若u1具有某特征的程度用来表示，则u2具有该特征的程度表示为。并且该二元比较级的数对(，)必须满足：

0≤

≤1，0≤

≤137第三十七页，共130页。令即有这里u1，u2∈U。若由g(ui/uj)为元素构成矩阵，并设g(ui/uj)当i=j时，取值为1，则得到矩阵

G

，被称为“相及矩阵”，如38第三十八页，共130页。对于n个元素u1，u2，…，un，也按同理可以得到G

矩阵，表示式为若对相及矩阵G的每一行取最小值，如第i行取值gi=min[g(ui/u1),g(ui/u2),…,g(ui/ui-1),1,g(ui/ui+1),…,g(ui/un)]然后按其值gi(i=1，2，…，n)大小排序，即可得到元素u1，u2，…，un对某特征的隶属函数。39第三十九页，共130页。例：论域C=(c1，c2，c3，c0)，其元素c0代表某名牌产品，而c1，c2，c3则代表同类产品，若考虑这些同类产品与名牌产品相似这一模糊概念，可以用对比排序法来确定c1，c2，c3相似于c0的隶属度函数。解：首先对每两个元素建立比较等级。c1和c2相比较，对c0的相似度分别为0.8和0.5；c2和c3相比较，对c0的相似度分别为0.6和0.9；c1和c2相比较，对c0的相似度分别为0.7和0.3。这样c1，c2和c3两两对比的相似度为40第四十页，共130页。计算相及矩阵G的元素g(ci/cj)则有：

当i=j=1，2，3时

g(ci/cj)=1

当i=1，j=2，3时

g(c1/c2)=0.8/max(0.8，0.5)=1

g(c1/c3)=0.7/max(0.7，0.3)=1

当i=2，j=1，3时

g(c2/c1)=0.5/max(0.8,0.5)=0.625g(c2/c3)=0.6/max(0.6,0.9)=0.667

当i=3，j=1，2时

g(c3/c1)=0.3/max(0.3,0.7)=0.429g(c3/c2)=0.9/max(0.6,0.9)=141第四十一页，共130页。构成相及矩阵G，对每行元素取最小值，得到按大小排序1>0.625>0.429。得到结果是c1最相似于c0(隶属度为1)，c2次之(隶属度为0.625)，c3差别最大(隶属度为0.429)。要求同时比较C论域中所有元素，并直接给出每个元素对某一模糊概念的隶属函数往往是相当困难的，因为这要考虑到诸多因素。如果对C论域中所有元素两两进行比较，则能较容易而又客观地比较出两者中究竟哪一个对于同一模糊概念的隶属度高。因此，对比排序法亦称为“二元对比法”。42第四十二页，共130页。典型函数法：根据问题的性质，应用一定的分析与推理，选用某些典型函数作为隶属函数。43第四十三页，共130页。（3）常用隶属函数的图形基本的隶属函数图形可分成三类：左大右小的偏小型下降函数（称做Z函数）、对称型凸函数（称作Π函数）和右大左小的偏大形上升函数（称做S函数）。图

基本隶属函数图形44第四十四页，共130页。图

直线型隶属函数三角形函数梯形函数45第四十五页，共130页。46第四十六页，共130页。47第四十七页，共130页。2.3模糊集合的运算1.模糊集合的逻辑运算

(1)模糊集合的相等：若有两个模糊集合A和B，对所有的u∈U，均有μA(u)=μB(u)，则称模糊集合A与模糊集合B相等，记作A＝B。

(2)模糊集合的包含：若有两个模糊集合A和B，对所有的u∈U，均有μA(u)≤μB(u)，则称模糊集合A包含于模糊集合B，或称A是B的子集，记作A＝B。

(3)模糊空集：对所有的u∈U，均有μA(u)=0，则称A为模糊空集。

(4)模糊全集：对所有的u∈U，均有μA(u)=1，则称A为模糊全集。48第四十八页，共130页。

(5)模糊集合的并集：并集(C=A∪B)的隶属函数μC对所有u∈U被逐点定义为取大运算，即

μC(u)=max{μA，μB}

还可以表示为

μA∪B(u)=μA(u)∨μB(u)

(6)模糊集合的交集：交集(C=A∩B)的隶属函数μC对所有u∈U被逐点定义为取小运算，即

μC(u)=min{μA，μB}

还可以表示为

μA∩B(u)=μA(u)∧μB(u)

(7)模糊集合的补运算：模糊集合补集的隶属函数

μA

c(u)，对所有u∈U被逐点定义为

μA

c(u)=1－μA(u)

49第四十九页，共130页。例：设U={u1，u2，u3，u4}中，若有A，B两个模糊集合

，B=(0.5，0.4，0，0.7)。求AB、AB、AC、AAC和AAC。解：50第五十页，共130页。A(x)=1/[1+2(x+2)2]；B(x)=exp(0.2(x1)2)51第五十一页，共130页。A(x)=1/[1+2(x+2)2]；B(x)=exp(0.2(x1)2)52第五十二页，共130页。例：在水的温度论域U={0，10，20，30，40，50，60，70，80，90，100}中，有两个模糊集合，“水温中等”M及“水温高”H：计算M∪H、M∩H及M

c。解：

53第五十三页，共130页。54第五十四页，共130页。模糊集合的“并”运算模糊集合的“交”运算模糊集合的“补”运算55第五十五页，共130页。2.模糊集合的代数运算模糊集合除了“交”、“并”、“补”等基本运算以外，还有如下一些代数运算法则。设A，B为U中的两个模糊集合，隶属函数分别为μA，μB，则可以由隶属函数按以下的定义进行模糊集合的代数运算

代数积：

AB←→μA·B(u)=μA(u)μB(u)

代数和：若有三个模糊集合A、B、C，对所有的u∈U，均有

μC(u)=μA(u)+μB(u)－μA(u)·μB(u)

则称C为A、B的代数和。56第五十六页，共130页。有界和：有界差：

A

B有界积：

μAB57第五十七页，共130页。例：仍以糊集合“水温中等”M及“水温高”H为例，计算M与H的代数积及M与H的代数和。解：①M与H的代数积：

根据A·BμA·B(u)=μA(u)·μB(u)

58第五十八页，共130页。②M与H的代数和：根据A+BμA+B(u)=μA(u)+μB(u)－μA(u)·μB(u)

59第五十九页，共130页。3.模糊集合运算的基本性质幂等律A∩A=A；A∪A=A

交换律A∪B=B∪A；A∩B=B∩A结合律(A∪B)∪C=A∪(B∪C)；(A∩B)∩C=A∩(B∩C)分配律(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)

吸收律(A∪B)∩A=A；(A∩B)∪A=A同一律A∪U=U；A∩U=A双重否定律(Ac)c=A对偶律(A∪B)c=Ac∩Bc；(A∩B)c=Ac∪Bc

经典集合中的“互补律”不在成立，

A∩Ac

A和Ac可相互交叠。

60第六十页，共130页。例：由四妹子构成的论域，U={a，

b，c，d}，设模糊集合A=“高个子”隶属函数为：B=“可爱”，隶属函数为：B=(0.8，0.2，0.9，1)求A∩B和A∪B，并说明他们的含义。解：A∩B=(0.90.8，10.2，0.60.9，01)

=(0.8，0.2，0.6，0)=A∩B的意义是“高个可爱”，运算结果表明A∩B(a)=0.8，

a是个“可爱的高个妹子”；A∩B(c)=0.6，c和“高个可爱”有点靠近；A∩B(b)=0.2，A∩B(d)=0，c

、d不属于“高个可爱”。由A，B隶属函数可以看出，A(c)=0，B(c)=1。61第六十一页，共130页。A∪B=(0.90.8，10.2，0.60.9，01)=(0.9，1，0.9，1)=A∩B的意义是“高或可爱”，运算结果表明四个妹子要么是高个子，要么可爱。62第六十二页，共130页。5.模糊集合与普通集合的关系

λ截集模糊集合A本身是一个没有确定边界的集合，但是如果约定，凡u对A的隶属度达到或超过某个λ水平者才算A的成员，那么模糊集合A就变成了普通集合Aλ。

定义：设A为论域U上的一个模糊集合，任取λ∈[0，1]，记

Aλ={u∈U|μA(u)≥λ}

称Aλ为A的λ截集，其中λ称为阈值或置信水平。又记

Aλ

+={u∈U|μA(u)>λ}

称Aλ+为A的λ强截集。

63第六十三页，共130页。右图给出了λ1，λ2(λ1>λ2)对应的λ截集，（）图形。(b)、(c)为、

的特征函数描述。

当λ=1时，得到的最小的水平截集A1称为模糊集合A的核。当λ=0+时，得到最大的水平截集称为模糊集合A的支集，记为

supA={u|u∈U，μA(u)>0}

若A的核非空，则称A为正规模糊集，否则称为非正规模糊集。64第六十四页，共130页。例：设是有限论域U上的一个模糊集，于是A1={u4}

A0.5={u1,u2,u3,u4}

A0={u1,u2,u3,u4,u5}特征函数的向量形式来表示：

A1=[0,0,0,1,0]Aλ是经典集合

65第六十五页，共130页。

分解定理

分解定理说明，任何一个模糊集合可由一类普通集合套来表示。

定义：设Aλ是普通集合，λ∈[0，1]，做数量积运算，得到一个特殊的模糊集合λAλ，其隶属函数为分解定理：设A为论域U上的模糊集合，Aλ是A的截集，则有66第六十六页，共130页。例：设

67第六十七页，共130页。

分解定理亦可从右图得到直观的说明，图中给出λ1A1、λ2A2的图形，设想λ取遍区间[0，1]中的实数时，按模糊集合求并运算的法则，∪λAλ(u)恰好取各λ点隶属函数的最大值，将这些点连成一条曲线，正是A的隶属函数μA。

A是模糊集合，Aλ是普通集合，它们之间的联系和转化由分解定理用数学语言表达出来了。这个定理也说明了模糊性的成因，大量的甚至无限多的清晰事务重叠在一起，总体上就形成模糊事务。68第六十八页，共130页。

扩张原理

在给定的论域U上，可以有多个模糊集合，记U上的模糊集合的全体为P(U)，称P(U)为U上模糊集合的幂集。显然，P(U)是一个普通集合。

若A为论域U上的一个模糊集合，在一个普通映射

f∶U→V

下，A的像是什么？若已知B∈P(V)，它在U上对应的模糊集合是怎样的呢？也就是说，一个普通映射能否诱导到模糊集合之间的映射，问题的关键在于如何确定这些模糊集合的隶属函数。为此，有扩张原理如下。69第六十九页，共130页。定义：

扩张原理设有普通映射f∶U→V，由f可以诱导出两个映射

f∶P(U)→P(V)，f

－1∶P(V)→P(U)

A|→f(A)，B|→f

－1(B)

f(A)称为A在f之下的像，f－1(B)为B的逆像。它们的隶属函数分别为。70第七十页，共130页。例：设U={1，2，…，6}，V={a，b，c，d}，

，论域U上有模糊集合求B=f(A)及f

－1(B)。解：根据扩张原理类似地，得[f(A)](b)=0.4，[f(A)](c)=0.2由于f-1(d)

=，所以[f(A)](d)=0，于是71第七十一页，共130页。扩张原理示意图(a)论域U到V的映射；(b)模糊集合A的像72第七十二页，共130页。由此可见，求扩张模糊集合f(A)，可用如下办法：

当V为有限论域时，可根据扩张原理算出V上各点对f(A)的隶属度，然后再按照模糊集合表示法写出f(A)。

类似地求f－1(B)。根据扩张原理，[f－1(B)](u)=μB(v)，由此得：f－1(B)(1)=μB(a)=1

f－1(B)(2)=μB(a)=1

f－1(B)(3)=μB(a)=1

同理

f－1(B)(4)=μB(b)=0.4 f－1(B)(5)=μB(b)=0.4

f－1(B)(6)=μB(c)=0.2

因此B的逆像集合73第七十三页，共130页。2.4模糊关系及其运算（1）

经典关系

关系是客观世界存在的普遍现象，它描述了事物之间存在的某种联系。例如，人与人之间有父子、亲戚、同事关系；数与数之间有大于、等于、小于等关系；元素与集合之间有属于、不属于等关系。

两个客体之间的关系称为二元关系，三个以上客体之间的关系称为多元关系。经典关系只表示元素之间是否关联。74第七十四页，共130页。1.集合的直积由两个集合X和Y的各自元素x与y组成的序偶(x，y)的全体，称为X和Y的直积，记为X×Y，即

X×Y={(x，y)|x∈X，v∈Y}

一般情况下，X×Y≠Y×X。

例：

X={0，1}，Y={4，5，6}，则

X×Y={(0，4)，(0，5)，(0，6)，(1，4)，(1，5)，(1，6)}

Y×X={(4，0)，(4，1)，(5，0)，(5，1)，(6，0)，(6，1)}75第七十五页，共130页。2.经典二元关系如果对集合X，Y的元素之间的搭配[(x，y)，x∈X，y∈Y]施加某种限制，这时构成的集合是直积X×Y的一个子集合。该子集具有某种特定性质，其性质的内容包含于搭配的限制之中，它反映X，Y元素之间的某种特定关系。定义

设X与Y是两个非空集合。集合X，Y的直积X×Y的一个子集R称为X到Y的一个二元关系，简称关系。

对于直积X×Y的序偶(x，y)，要么(x，y)具有关系R，记为(x，y)∈R，要么(x，y)不具有关系R，记为(x，y)R。因此，关系R的特征函数为若X=Y，则直积X×Y的子集R称为X上的二元关系，或称X上的关系。

76第七十六页，共130页。3.关系矩阵

关系R可以用矩阵来表示，称为关系矩阵。其中元素rij基于特征函数μR(u，v)的定义，即

例：

X=Y={1，2，3，4，5，6}，X×Y中的X>Y的关系可以用矩阵R表示：

77第七十七页，共130页。（2）

模糊关系

关系是描述客观事物之间联系的重要概念。经典关系R描述了事物之间“有”与“无”的肯定关系，但有些事物不能简单地用肯定或否定的词汇明确表达它们之间的关系。如“A与B很相似”、“X比Y大很多”、“他比他能干”等，这些语句是日常生活中人们常常会遇到的。它们表达了客观事物之间另一种不明确、不确定的关系，称为模糊关系。模糊关系可以看作是经典关系的推广和发展。它比经典关系的含义更丰富、更符合客观实际的多数情况。

经典关系元素间的确定关系“有”与“无”模糊关系元素间关联的程度“多”与“少”78第七十八页，共130页。

当X=Y时，则称R是X的模糊关系。

当论域为n个集合Xi(i=1，2，…，n)的子集X1×X2×…×Xn时，所对应的模糊关系R称为n元模糊关系。

对于(x，y)∈X×Y，μR(x，y)表达x对y有关系R的程度或x对y的关系R的相关程度。

定义：

模糊集合X和Y的直积X×Y={(x，y)|x∈X，y∈Y}中的模糊子集R被称为X到Y的模糊关系，又称为二元模糊关系，其特性用隶属函数描述如下：

μR∶X×Y→[0，1]

79第七十九页，共130页。

设X是m个元素构成的有限论域，Y是n个元素构成的有限论域。对于X到Y的一个模糊关系R，可以用一个m×n阶矩阵表示为或

R=[rij]，rij=μR(xi，yj)80第八十页，共130页。我们称一个矩阵是模糊矩阵，如果它的每个元素属于[0，1]。令

Fm×n={R=[rij]；0≤rij≤1}Fm×n表示m×n阶模糊矩阵的全体。在有限论域之间，普通关系与布尔矩阵建立了一一对应的关系，模糊关系与模糊矩阵建立了一一对应的关系，通常都把模糊矩阵和模糊关系看做一回事，均以R表示。81第八十一页，共130页。（3）

模糊关系的表示方法模糊关系也是模糊集合，所以模糊关系也可用模糊集合的表示方法。

1.二元模糊集合表示法用模糊集合表示模糊关系如下：例：设集合X={1，2，3}，Y={1，2，3，4，5}，从X到Y的一个模糊关系R可表示为82第八十二页，共130页。2.二元模糊关系表表示法模糊关系R可用模糊关系表来表示。

例：上例中模糊关系R的模糊关系表如下表所示。YX123451000.50.8120000.50.8300000.583第八十三页，共130页。3.二元模糊矩阵表示法当X，Y是有限集合时，定义在X×Y上的模糊关系R可用模糊矩阵来表示。

上例中模糊关系R的矩阵表示为84第八十四页，共130页。4.二元模糊关系图表示法用图直观表示模糊关系时，将xi，yj作为节点，在xi到yj的连线上标上μR(xi，yj)的值，这样的图称为模糊关系图。例：甲、乙二人博弈，具有相同的策略集合：X=Y={剪刀，石头，布}，“甲胜”定为1；“平局”定为0.5；“甲负”定为0。二人胜、负关系可用模糊关系图表示，如下图所示。

0.5

11

剪刀石头布剪刀石头布0.50.5185第八十五页，共130页。5.二元模糊关系函数表示法当论域是无限不可数集时，它们的模糊关系无法用列表法和矩阵法表示，只能用隶属函数表示。例：设集合U、V∈R(实数)，在U×V上的一个模糊子集R1表示“u远大于v”的关系：若取u、v∈[-20,100]，令x＝u－v，x表示“u远大于v”的程度。86第八十六页，共130页。（4）

模糊关系的运算由于模糊矩阵本身是表示一个模糊关系的子集R，因此根据模糊集合的并、交、补运算的定义，模糊矩阵也可作相应的运算。

设模糊矩阵R

和Q

是R=(rij)m×n，Q=(qij)m×n(i=1,2,…,m；j=1,2,

…,n)

相等：

R=Q，rij=qij

包含：

RQ，rijqij

并运算：R∪Q=(rij∨qij)

交运算：R∩Q=(rij∧qij)

补运算：

RC=1rij87第八十七页，共130页。例:

设，。

试求R∪Q，R∩Q

及Rc。

解:

88第八十八页，共130页。

89第八十九页，共130页。（5）

模糊关系的合成1.经典关系合成九个苹果，能被两对父子（四个人）整分吗？似乎不行。但若这两对父子中有一定关系，其中一个人既是父亲又是儿子，这种情况就是可能的。这时祖父、爸爸和孙子三个人正好是两对父子，正好能整分九个苹果。这是因为祖孙是两个“父子关系”的合成，若用a、b、c分别表示爷爷、父亲和孙子，用R1

和R2分别表示两个“父子关系”，则(a，b)∈R1且(b，c)∈R2，祖孙关系R3(a，c)可以认为是R1(a，b)和R2(b，c)的合成，记作：R3＝R1◦R2，符号“◦”表示将两边的关系进行合成运算。

90第九十页，共130页。一般地，设论域U上的三个集合X、Y、Z∈P(U)，P和Q

为两个经典关系：P∈

P(X×Y)，Q∈

P

(Y×Z)，则由P和Q合成的关系R∈P

(X×Z)，可记作：R＝P◦QR(x，z)＝(P◦Q)(x，z)＝{(x，z)|y，(x，y)∈P，(y，z)∈Q}91第九十一页，共130页。

这种运算方法跟两个矩阵的乘积运算方法相比较，可以看出两个关系矩阵的合成运算就像做两个普通矩阵的乘积一样，只是把矩阵乘积运算中元素间的“相乘”改为“取小”、“相加”改为“取大”。通常把这种合成运算称为“取大-取小（max-min）合成法”，记作“∨∧法”。92第九十二页，共130页。2.模糊关系合成如果已知两个模糊关系，“a

比b

高”和“b比c高”，把它们进行合成，便可得出新的模糊关系“a

比c高很多”，可见模糊关系也可以进行合成。把经典关系合成推广到模糊关系中，就可以得到模糊关系合成的定义。

定义：

设P是X×Y中的模糊关系，Q是Y×Z中的模糊关系，则由模糊关系P到模糊关系Q的合成，就是X到Z的一个模糊关系，记为P◦Q。93第九十三页，共130页。

94第九十四页，共130页。例：设，。求Q=R。S

。95第九十五页，共130页。

96第九十六页，共130页。例：设，。求Q=R◦S

。97第九十七页，共130页。就关系合成而言，当前一个模糊关系的后域与后一个模糊关系的前域为同一论域时，两个关系的合成才能得出有意义的结果。因此，R◦S有意义，而S◦R没有意义。矩阵的合成运算和普通矩阵运算一样，不遵从交换律，这是关系具有“方向性”的反映。如甲比乙“高得多”，则乙比甲就不能是“高得多”，应是“矮得多”。98第九十八页，共130页。例：某个大家庭中第三代有孙子a和孙女b，第二代有父亲c和母亲d，这两代间的外貌“相像”关系为R1；第二代的父母与第一代祖父e和祖母f、外祖父g和外祖母h间的“相像”的关系为R2。已知模糊关系R1和R2分别为：试问第三代孙子、孙女与祖父母、外祖父母的“相像”程度如何？99第九十九页，共130页。解：用模糊矩阵表示，孙子孙女与祖父母、外祖父母的“相像”关系是R＝R1◦R2，即：结果中R(a，f)＝0.7和R(b，h)＝0.7的取值较大，表明孙子较像祖母，孙女较像外祖母。100第一百页，共130页。（6）

模糊关系矩阵的截矩阵模糊矩阵是模糊关系的一种数学表示，也是一种模糊集合。把模糊集合的λ截集概念推广到模糊矩阵上，可以得出λ截矩阵。下面先给出模糊矩阵的λ截矩阵定义。

101第一百零一页，共130页。取某个模糊矩阵的λ截矩阵，实际上就是以小于1的正实数λ为界，把矩阵中凡是rij＞λ的元素变为1，否则取为0，于是使模糊矩阵（模糊关系）变成经典矩阵（经典关系）。由于模糊矩阵R的λ截矩阵Rλ中元素只能取0或1，显然它是布尔矩阵。

模糊矩阵的截矩阵，可以使模糊关系转化成经典关系。

102第一百零二页，共130页。2.5模糊向清晰的转换模糊集合转化为数值的常用方法

把模糊集合转化成单个数值，即选定一个清晰数值去代表某个表述模糊事物或概念的模糊集合，这是用途最多的一种模糊到清晰的转化方法，它在模糊控制中几乎是不可或缺的。一个模糊集合映射成单个数值时，这个数值应该是模糊集合中的点，在某种意义上能代表这个模糊集合。这种转换称为模糊集合的“清晰化”或“反模糊化”(defuzzification)。

清晰化方法有许多种，无论何种方法都应该是“言之有理、计算方便”，并具有连续性和代表性，下面介绍几种常用的清晰化方法。103第一百零三页，共130页。面积重心法（centroid）

面积重心法，是求出模糊集合隶属函数曲线和横坐标包围区域面积的重心，选这个重心对应的横坐标值，作为这个模糊集合的代表值。

104第一百零四页，共130页。

面积中心法直观合理、言之有据，但计算略显繁杂。从理论上说，应该计算输出范围内一系列连续点的重心，即但实际中一般计算输出范围内整个采样点(即若干离散值)的重心。这样在不花太多时间的情况下，用足够小的采样间隔来提供所需要的精度，是一种较好的折中方案。105第一百零五页，共130页。面积平分法（bisector）

面积平分法是先求出模糊集合隶属函数曲线和横坐标包围区域的面积，再找出将该面积等分成两份的平分线对应的横坐标值，用该值代表该模糊集合。

106第一百零六页，共130页。最大隶属度法（maximum）

最大隶属度方法是一种最简单的方法，用隶属度最大点对应的元素值代表这个模糊集合。不过要求这种情况下其隶属函数曲线一定是正规凸模糊集合(即其曲线只能是单峰曲线)。但是这种方法往往有以偏代全之嫌，没能把隶属函数的全部信息包含进去。并且，模糊集合有时是由多个模糊子集的并形成的，其隶属函数曲线中有多处的隶属度都取最大值，这就要对这些取最大值的元素进行合理的组合，构建出一个点来代表这个模糊集合。

构建该模糊集合代表点的常用方法有下述三种，它们都是在最大隶属度的基础上进行的。107第一百零七页，共130页。平均值法（mom）如果在模糊集合的论域上，有多个点都取最大隶属度值，则取这些点的平均值umom的横坐标作为模糊集合的代表点，称为最大隶属度平均值法。

108第一百零八页，共130页。

最大值法（lom）如果在模糊集合的论域上，有多个点u的隶属度都取最大值，可取这些点中坐标绝对值最大的点ulom作为模糊集合的代表点，称为最大隶属度最大值法。设A(uj)＝max(A(u))，j＝1，2，⋯，n，有n个点的隶属度都取最大值，则取绝对值最大的点max(|uj|)＝|uk|作为模糊集合的代表点，即：：ulom=uk109第一百零九页，共130页。

最小值法（lom）如果在模糊集合的论域上，有多个点u的隶属度都取最大值，可取这些点中坐标绝对值最小的点usom作为模糊集合的代表点，称为最大隶属度最小值法。设A(uj)＝max(A(u))，j＝1，2，⋯，n，有n个点的隶属度都取最大值，则取绝对值最大的点min(|uj|)＝|uk|作为模糊集合的代表点，即：：usom=uk110第一百一十页，共130页。系数加权平均法

系数加权平均法是指将模糊集合中隶属度元素进行加权平均后作为模糊集合的代表点当输出变量为离散单点集时，则为系数ki的选择要根据实际情况而定，不同的系数就决定系统有不同的响应特性。通过选择和调整该系数来改善系统的响应特性，这种方法具有灵活性。111第一百一十一页，共130页。隶属度限幅元素平均法

用确定的隶属度值α对隶属函数曲线进行切割，再对切割后等于该隶属度的所有元素进行平均，用这个平均值作为输出执行量，这种方法就称为隶属度限幅α－cut元素平均法。112第一百一十二页，共130页。例：当取α为最大隶属度值时，表示“完全隶属”关系，这时α＝1.0。在“水温适中”的情况下，40℃和50℃的隶属度是1.0，求其平均值得到输出代表量：当α=0.5时，表示“大概隶属”关系，切割隶属函数曲线后，从30℃到70℃的隶属值都包含在其中，所以求其平均值得到输出代表量：

113第一百一十三页，共130页。

114第一百一十四页，共130页。解:按照题设，画出A(u)曲线。115第一百一十五页，共130页。(1)面积重心法题中A(u)不是连续函数，而是分段函数，所以用Sj表示第j个分段函数曲线与横轴包围的梯形面积，uj表示Sj的面积中心，即把uj看成等厚平板时重心的横坐标值。可算出图中最左边三角形的面积S1＝0.5×(0.9＋0)×(－