结构动力学第四章结构动力学的求解

结构动力学第四章结构动力学的求解第1页，共52页，2023年，2月20日，星期二4．1无阻尼自由振动特性：质量矩阵1）反映系统的动能

2）正定但也有例外：存在纯静态模态，使（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）3）对称刚度矩阵1）反映系统的势能2）半正定存在刚体模态，此时弹性势能为零3）对称第2页，共52页，2023年，2月20日，星期二齐次方程的解：令得到讨论特征值和特征向量的性质：

满足则（前乘特征向量的共轭转置）可知都是实数，取化为（广义特征值问题）第3页，共52页，2023年，2月20日，星期二（1）当质量矩阵式正定、刚度矩阵半正定时，可以找到非零的，满足：

于是有：

（2）当质量矩阵半正定时，则可以改写为由解出得到纯静态模态,有：

（３）加权正交性质：设和都是特征解对得到（模态质量和模态刚度）归一化是对角元为固有频率组成的对角矩阵第4页，共52页，2023年，2月20日，星期二固有振动：单模态振动多模态时：自由振动时：模态坐标变换得到：解为：其中

第5页，共52页，2023年，2月20日，星期二

对于给定的初始条件和，可得到

解出参数向量

系统的自由振动可以写为

其中代表各自由度分别具有单位初始位移和单位初始速度引起的系统自由振动。第6页，共52页，2023年，2月20日，星期二4．2无阻尼系统的受迫振动频域分析（1）动刚度矩阵和频响函数矩阵考察受正弦激励的系统 取特解

得到

式中

称作系统的动刚度矩阵其中正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。具有柔度系数的量纲，从而第7页，共52页，2023年，2月20日，星期二（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘和右乘得

从而有

求逆，得到频响函数矩阵的模态展开式

频响函数矩阵的元素为

模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：第8页，共52页，2023年，2月20日，星期二

系统在该频带内呈现单自由度系统的振动性态。第9页，共52页，2023年，2月20日，星期二时域分析

根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题（1）单位脉冲响应矩阵 应用模态坐标变换

可转换为N个单自由度系统的零状态响应问题

系统第j个自由度受单位脉冲后第r阶模态坐标的响应为

第10页，共52页，2023年，2月20日，星期二解出

得系统响应为

注意这是单位脉冲响应矩阵的第j列，故单位脉冲响应矩阵为

这正是单位脉冲响应矩阵的模态展开式。此外也可推出其中依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是．是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上第11页，共52页，2023年，2月20日，星期二（2）任意激励下的响应 有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为

当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为

上述过程中对无阻尼系统用模态坐标解耦、分析、再线性组合的方法来分析了系统的振动问题。该方法一般称作振型叠加法（或模态叠加法），是处理线性振动问题的通用工具。第12页，共52页，2023年，2月20日，星期二无阻尼振动系统

实质：线性常微分方程组的求解通解=齐次解+特解再根据初始条件确定待定系数。1）实模态：频率和模态向量全是实的；（刚体模态、纯静态模态）2）模态的加权正交性质；3）模态叠加法，实在对系统的解耦；4）频响函数：第13页，共52页，2023年，2月20日，星期二圆板的第７阶模态第14页，共52页，2023年，2月20日，星期二圆顶的第５阶模态第15页，共52页，2023年，2月20日，星期二方盒的第１８阶模态第16页，共52页，2023年，2月20日，星期二4．3比例阻尼系统的振动引入坐标变换

得到其中

阻尼矩阵可以对角化时，称为比例阻尼矩阵．第17页，共52页，2023年，2月20日，星期二Rayleigh阻尼Cauchy阻尼阻尼模型可使阻尼阵对角化的充分条件是正定矩阵和满足下述三式之一第18页，共52页，2023年，2月20日，星期二

解耦后得到：

自由振动得到N个独立模态坐标下的运动

其中第19页，共52页，2023年，2月20日，星期二写作矩阵形式

得到物理坐标下系统的自由振动

其中

如果比例阻尼系统的初始条件满足

其自由振动将是衰减振动

称为第r

阶纯模态自由振动。第20页，共52页，2023年，2月20日，星期二受迫振动 （1）频响函数矩阵采用复数记法表激励及稳态响应，为

代入阻尼系统的振动方程，有

阻尼系统的频响函数矩阵为其中元素是复数，其幅值施加单位幅值正弦激励后系统第i个自由度上的稳态响应幅值；而辐角的物理意义是上述响应超前激励的相位角。的物理意义是：在系统的第j个自由度上第21页，共52页，2023年，2月20日，星期二将固有振型矩阵和分别左乘、右乘动刚度矩阵得到单位脉冲响应系统单位脉冲响应矩阵的模态展开式

重新写为：

其中是比例阻尼系统由单位初速度引起的自由振动矩阵。任意激励下的响应系统在任意初始条件和激励下的响应表达式为

第22页，共52页，2023年，2月20日，星期二比例阻尼振动系统

1）实模态：复频率和实模态向量；

2）模态的加权正交性质；

3）模态叠加法，在实模态空间实现对系统的解耦；

4）频响函数：５）衰减振动第23页，共52页，2023年，2月20日，星期二4．4一般粘性阻尼系统的振动其中、和均为N阶的对称矩阵。

自由振动时，设解的形式为a.特征值可以是实数，也可以是复数。实特征值对应临界阻尼或过阻尼系统。b.与共轭复特征值相对应，特征向量是共轭成对的复特征向量，它们各自只能确定到相差一个复常数因子的程度。系统的运动：把特征值改写为：则系统可能发生的运动为第24页，共52页，2023年，2月20日，星期二可改写为

特征：各点的振动有相位差。无阻尼或比例阻尼时，系统各点同时到达幅值最大点；一般阻尼时，不是同时到达。第25页，共52页，2023年，2月20日，星期二直观上观察，可以从固有振动的实验看到，形成的节线的粗细，其实和阻尼的大小有关。例如一仪器架的共振实验：

阻尼很小时阻尼略大时第26页，共52页，2023年，2月20日，星期二求解时的问题：由于不满足阻尼矩阵的对角化条件，所以无法利用无阻尼状态时的特征解对方程进行解耦。引入状态空间，状态空间向量为：原方程化为：其中特征方程为：特征向量记为：第27页，共52页，2023年，2月20日，星期二特征向量之间具有下述加权正交关系：

和特征值之间的关系为：回到物理空间中，则加权正交关系为引入线性变换得到2N个解耦的一阶微分方程组初始条件则为第28页，共52页，2023年，2月20日，星期二系统的自由振动

由物理坐标描述的自由振动 系统的单位初位移响应和单位初速度响应矩阵应定义为

受迫振动第29页，共52页，2023年，2月20日，星期二（1）脉冲响应矩阵 先考虑初始静止系统，若其第j个自由度在时刻受到单位冲量，则后系统的初始条件为其中系统的自由振动为这是单位脉冲响应矩阵的第j列，于是单位脉冲响应矩阵的模态展开式为 第30页，共52页，2023年，2月20日，星期二（2）频响函数矩阵一般阻尼系统的频响函数矩阵仍为

频响函数矩阵的模态展开式

（3）任意激励下的响应第31页，共52页，2023年，2月20日，星期二注意到：

于是第32页，共52页，2023年，2月20日，星期二一般粘性阻尼振动系统

1）复模态：频率和模态向量都是复的；

2）复模态的加权正交性质；

3）复模态叠加法，在状态空间通过复模态变换实现对系统的解耦；4）频响函数：５）衰减振动。第33页，共52页，2023年，2月20日，星期二4.5数值计算方法固有振动的分析（归结为特征问题的求解）动响应的求解（常微分方程组的求解，可归结为卷积的求解）一、固有振动的数值方法Rayleigh法a）Rayleigh商Rayleigh变分原理：第34页，共52页，2023年，2月20日，星期二b）如果、是特征解对，则：c）任意的，可展开：第35页，共52页，2023年，2月20日，星期二加上二阶小量。d）如果，则：为e）从可知第36页，共52页，2023年，2月20日，星期二2.Rayleigh-Rith法取任意的L个向量，组成于是

根据变分原理，可知等价于求解：其中求解得到，就可得到：第37页，共52页，2023年，2月20日，星期二３．逆迭代法如果、是特征解对，则或构造迭代格式取初始迭代向量，考察迭代一步后：第38页，共52页，2023年，2月20日，星期二于是n次迭代后，得到假设：于是：

所以：第39页，共52页，2023年，2月20日，星期二ａ．如果所取的初始向量中，，（即：），则ｂ．重频时：ｃ．如果则这样就可以求解到所有的特征向量，但真正实现时仍有困难，因为是数值运算，无法得到严格的加权正交的初始向量。一般只能求少数的前几阶。第40页，共52页，2023年，2月20日，星期二设想：如果在求得第一阶频率和振型后，改变系统的频率构成，把已经求解得到的低阶频率移走，或者变为高阶，这样再进行类似的迭代，就可以求出其它阶次的频率和振型。设已知，改变原系统，构造：

于是：其它的不变：这样就可以比较精确地得到全部的特征向量，已经求解得到特征向量的误差不影响以后的求解，而且可以方便求解重频问题。第41页，共52页，2023年，2月20日，星期二４．子空间迭代法综合了Rayleigh-Ritz法和逆迭代法：ａ．初始向量：ｂ．逆迭代一次：ｃ．ｄ．求解得到ｅ．构造新的进入循环．收敛准则：考察特征值或特征向量或特征方程的误差。（全部特征向量）第42页，共52页，2023年，2月20日，星期二二、动响应的数值求解

基本思路：一是将本应为求每一瞬时都应该满足方程的位移向量函数，改为仅要求在离散的时间点上满足；二是在每个时间步内的位移、速度和加速度被假设为某种变化规律，三是将时间离散化并使间隔足够小，把微分方程近似为代数方程，从时刻已求出（或时已知）的响应求解下一时刻

时的响应，依次递推。1）线性加速度法研究运动微分方程的初值问题

系统在下一时刻的运动满足第43页，共52页，2023年，2月20日，星期二Taylor级数展开加速度在间隔内随时间线性变化，这隐含着外激励线性变化的假设。

未知向量为和解出

可得

其中

第44页，共52页，2023年，2月20日，星期二于是得到

由此解出这类方法的一个突出问题是计算精度与计算时间的矛盾。为保证精度，时间步长应取得足够小，但小了会增加递推步数，计算时间就要长。此外，递推步数增加还会增加累积误差。因此，评价直接积分法的重要标准之一是它允许使用的最大积分步长。一种算法若在任意步长时解都不会发散，则称该算法是无条件稳定的；如果仅在一定步长范围内解才不发散，就称作条件稳定的。一个算法首先应是稳定的。其次，随着递推次数增加，算法的累积误差应被限制在允许范围内，或阶段性地消除。线性加速度法思路简单，容易理解，但只是条件稳定的。

第45页，共52页，2023年，2月20日，星期二2）Wilson-法

该方法基于对作另一种形式的展开。如图所示，把加速度线性变化公式的范围扩展到。引入

则有

第46页，共52页，2023年，2月20日，星期二积分，然后取得：可得

解出，得到在时刻的运动微分方程

第47页，共52页，2023年，2月20日，星期二得到时刻系统位移应满足的线性代数方程

其中

若已知和而不知道，可采用线性外插

解出，然